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湖北省黄冈中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷【word解析版】


2014-2015 学年湖北省黄冈中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x∈N|x<6},则下列关系式错误的是() A.0∈A B.1.5?A C.﹣1?A D.6∈A

2. (5 分)函数 A.(﹣∞,1] B.(0,1]

x 的定义域为() C.(0,1)
2

D.[0,1]

3. (5 分)设集合 U=R,集合 A={x|x ﹣2x>0},则?UA 等于() A.{x|x<0 或 x>2} B.{x|x≤0 或 x≥2} C.{x|0<x<2}

D.{x|0≤x≤2}

4. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(

)的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.18

5. (5 分)与函数 y=10 A.y=x﹣1

lg(x﹣1)

的图象相同的函数是() C. D.

B.y=|x﹣1|

6. (5 分)已知 0<a<b<1,则() A.3 <3
b b a

B.loga3>logb3

C.(lga) <(lgb)

2

2

D. ( )< ( )

a

7. (5 分)已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=2x ﹣2x+1,则 f(﹣ 1)=() A.3 B. ﹣3 C. 2 D. ﹣2 8. (5 分)函数 y=ln(1﹣x)的图象大致为()

2

1

A.

B.

C. D. 2 9. (5 分)已知 f:x→x 是集合 A 到集合 B={0,1,4}的一个映射,则集合 A 中的元素个 数最多有() A.3 个 B. 4 个 C. 5 个 D.6 个 10. (5 分)a>0,a≠1,函数 f(x)= 围是() A. 或 a>1 B.a>1 C. D. 或 a>1 在[3,4]上是增函数,则 a 的取值范

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. α 11. (5 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象过点(4,2) ,则 α=.

12. (5 分)计算:

+lg0.01﹣ln

+

=.

13. (5 分)已知集合 A=

且 A=B,则 a+b=.

14. (5 分)设奇函数 f(x)的定义域为[﹣5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则 不等式 f(x)<0 的解集是.

15. (5 分)设 a 为常数且 a<0,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x+ ﹣2,若 f(x)≥a ﹣1 对一切 x≥0 都成立,则 a 的取值范围为.
2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)记关于 x 的不等式 (1)若 a=1,求 S∪T 和 S∩T; (2)若 S?T,求 a 的取值范围. 17. (12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx(a,b∈R) ,若 f(1)=﹣1 且函数 f(x)的图象 关于直线 x=1 对称. (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在[k,k+1](k≥1)上的最大值为 8,求实数 k 的值. 18. (12 分)已知函数 f(x﹣1)=lg .
2

<0(a>0)的解集为 S,不等式|x﹣1|<1 的解集为 T.

(1)求函数 f(x)的解析式,并判断 f(x)的奇偶性; (2)解关于 x 的不等式:f(x)≥lg(3x+1) . 19. (12 分)某上市 股票在 30 天内每股 的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式, 并求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

20. (13 分) 已知指数函数 y=g (x) 满足: g (﹣3) = , 定义域为 R 的函数 f (x) = 是奇函数. (1)求函数 g(x)与 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)的单调性并证明之; (3)若关于 x 的方程 f(x)=m 在 x∈[﹣1,1]上有解,求实数 m 的取值范围.

3

21. (14 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,且当 x >0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; 2 (3)若 f(6)=7,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x )<3 对任意的 x∈[﹣1,+∞) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年湖北省黄冈中学高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x∈N|x<6},则下列关系式错误的是() A.0∈A B.1.5?A C.﹣1?A D.6∈A 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 明确集合 A 中元素上属性,利用列举法将集合 A 表示出来,然后选择.解答: 解:由题意,A={0,1,2,3,4,5},故选 D. 点评: 本题考查了集合与元素得关系,注意正确运用符号以及集合 A 中元素得属性;属 于基础题.

2. (5 分)函数 A.(﹣∞,1] B.(0,1]

x 的定义域为() C.(0,1) D.[0,1]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶次根式下大于等于 0,对数函数的真数大于 0 建立不等式关系,然后解之即 可求出函数的定义域. 解答: 解:要使原函数有意义,则 解得:0<x≤1 所以原函数的定义域(0,1]. 故选:B 点评: 本题主要考查了对数函数的定义域及其求法, 以及偶次根式的定义域, 属于基础题. 3. (5 分)设集合 U=R,集合 A={x|x ﹣2x>0},则?UA 等于() A.{x|x<0 或 x>2} B.{x|x≤0 或 x≥2} C.{x|0<x<2}
4
2

D.{x|0≤x≤2}

考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 首先将集合 A 化简,然后求补集. 解答: 解:A={x|x>2 或 x<0},则则?UA={x|0≤x≤2}, 故选 D 点评: 本题考查了集合得运算;首先将每个集合化简,如果是描述法数集,可以利用数轴 直观解答.

4. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(

)的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.18

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题;分类法. 分析: 当 x>1 时,f(x)=x +x﹣2; 当 x≤1 时,f(x)=1﹣x ,故本题先求 值.再根据所得值代入相应的解析式求值.[来源:学,科,网] 解答: 解:当 x>1 时,f(x)=x +x﹣2,则 f(2)=2 +2﹣2=4, ∴ ,
2 2 2 2 2



当 x≤1 时,f(x)=1﹣x , ∴f( )=f( )=1﹣ = .

故选 A. 点评: 本题考查分段复合函数求值, 根据定义域选择合适的解析式, 由内而外逐层求解. 属 于考查分段函数的定义的题型. 5. (5 分)与函数 y=10 A.y=x﹣1
lg(x﹣1)

的图象相同的函数是() C. D.

B.y=|x﹣1|

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 欲寻找与函数 y=10 有相同图象的一个函数, 只须考虑它们与 y=10 不是定义域与解析式都相同即可. 解答: 解:函数 y=10 的定义域为{x|x>1},且 y=x﹣1 对于 A,它的定义域为 R,故错; 对于 B,它的定义域为 R,故错; 对于 C,它的定义域为{x|x>1},解析式也相同,故正确; 对于 D,它的定义域为{x|x≠﹣1},故错;
5
lg(x﹣1) lg(x﹣1) lg(x﹣1)



故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的概念、 函数的定义域等以及对数恒等式的应用, 属于基础题. 6. (5 分)已知 0<a<b<1,则() A.3 <3
b b a

B.loga3>logb3

C.(lga) <(lgb)

2

2

D. ( )< ( )

a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 常规题型;综合题. 分析: 因为是选择题,所以可利用排除法去做.根据指数函数 y=3 为增函数,y=( )
x x

为减函数,排除 A,D,根据对数函数 y=lgx 为(0,+∞)上的增函数,就可得到正确选项. x 解答: 解:∵y=3 为增函数,排除 A, ∵y=( ) 为减函数,排除 D ∵y=lgx 为(0,+∞)上的增函数,∴lga<lgb<0,排除 C 故选 B 点评: 本题主要考查指数函数与对数函数单调性的判断, 另外对于选择题, 解答时可利用 排除法去做. 7. (5 分)已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=2x ﹣2x+1,则 f(﹣ 1)=() A.3 B.﹣3 C. 2 D.﹣2 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别将 x 赋值为 1 和﹣1,利用已知等式,集合函数得奇偶性,两式相加解得. 解答: 解:令 x=1,得 f(1)+g(1)=1, 令 x=﹣1,得 f(﹣1)+g(﹣1)=5, 又 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(﹣1)=f(1) ,g(﹣1)=﹣g(1) , 两式相加得:f(1)+f(﹣1)+g(1)+g(﹣1)=6, f(1)+f(1)+g(1)﹣g(1)=6,即 2f(1)=6, 所以 f(﹣1)=3; 故选 A. 点评: 本题考查了函数奇偶性得运用,利用方程得思想求得,属于基础题. 8. (5 分)函数 y=ln(1﹣x)的图象大致为()
2 x

6

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 作图题. 分析: 根据对数函数图象的性质, 我们易画出自然对数的性质, 然后根据函数的平移变换, 及对称变换法则,我们易分析函数解析式的变化情况,然后逐步变换图象即可得到答案. 解答: 解:函数 y=lnx 的图象如下图所示:

将函数 y=lnx 的图象关于 y 轴对称, 得到 y=ln (﹣x) 的图象, 再向右平移 1 个单位即得 y=ln (1﹣x)的图象.

故选 C 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,图象变换,其中根据图象变换法则, 根据函数解析式之间的关系,分析出变化方法是解答本题的关键. 9. (5 分)已知 f:x→x 是集合 A 到集合 B={0,1,4}的一个映射,则集合 A 中的元素个 数最多有() A.3 个 B. 4 个 C. 5 个 D.6 个 考点: 专题: 分析: 解答: 映射. 计算题;函数的性质及应用. 2 由映射的概念知,找出令 x =0,1,4,找到可能的 x 即可. 2 解:令 x =0,1,4,
7
2

解得:x=0,± 1,± 2, 故最多有 5 个, 故选 C. 点评: 本题考查了映射的概念,属于基础题. 10. (5 分)a>0,a≠1,函数 f(x)= 围是() A. 或 a>1 B.a>1 C. D. 或 a>1 在[3,4]上是增函数,则 a 的取值范

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;综合题. 2 分析: 对 a 分 a>1 与 0<a<1,利用复合函数的单调性结合函数 g(x)=|ax ﹣x|的图象 列出符合条件的不等式组,解之即可. 2 解答: 解:∵a>0,a≠1,令 g(x)=|ax ﹣x|作出其图象如下:

∵ 函数 f(x)=

在[3,4]上是增函数,

若 a>1,则



,解得 a>1;

若 0<a<1,则

,解得 ≤a< ;

故选 A. 点评: 本题考查对数函数图象与性质的综合应用,利用复合函数的单调性结合函数 g(x) 2 =|ax ﹣x|的图象列出符合条件的不等式组是关键,属于难题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象过点(4,2) ,则 α= .
α

8

考点: 专题: 分析: 解答: 解得

幂函数的性质. 函数的性质及应用. 根据幂函数的图象过点(4,2) ,代入幂函数的解析式求得即可. α 解:∵4 =2, ,

故答案为: 点评: 本题主要考查幂函数的图象和性质,属于基础题.

12. (5 分)计算:

+lg0.01﹣ln

+

=﹣ .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数、对数的性质和运算法则求解. 解答: 解: = 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查对数、指数的化简求值,解题时要认真审题,注意对数、指数的性质和运 算法则的合理运用. +lg0.01﹣ln . +

13. (5 分)已知集合 A=

且 A=B,则 a+b=3.

考点: 集合的相等. 专题: 集合. 分析: 由集合元素的互异性可知:﹣a≠|a|且 a≠0,可得 a>0.A={﹣a,a,4},B={﹣a, b b 1,2 },于是 a=1 且 4=2 解出即可. 解答: 解:由集合元素的互异性可知:﹣a≠|a|且 a≠0, ∴a>0. b ∴A={﹣a,a,4},B={﹣a,1,2 }, b 故 a=1 且 4=2 解得 a=1,b=2, 故 a+b=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了集合的互异性,考查了推理能力,属于基础题.

9

14. (5 分)设奇函数 f(x)的定义域为[﹣5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则 不等式 f(x)<0 的解集是{x|﹣2<x<0 或 2<x≤5}.

考点: 函数奇偶性的性质;函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象,结合图象解题. 解答: 解:由奇函数图象的特征可得 f(x)在[﹣5,5]上的图象. 由图象可解出结果. 故答案为{x|﹣2<x<0 或 2<x≤5}.

点评: 本题是数形结合思想运用的典范,解题要特别注意图中的细节:x≠5.

15. (5 分)设 a 为常数且 a<0,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x+ ﹣2,若 f(x)≥a ﹣1 对一切 x≥0 都成立,则 a 的取值范围为[﹣1,0) . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 通过讨论 x 的范围,得到不等式,解出即可求出 a 的范围. 2 解:当 x=0 时,f(x)=0,则 0≥a ﹣1,解得﹣1≤a≤1,所以﹣1≤a<0 ,则
2

当 x>0 时,﹣x<0,

由对勾函数的图象可知,当
2 2

时,有 f(x)min=﹣2a+2

所以﹣2a+2≥a ﹣1,即 a +2a﹣3≤0,解得﹣3≤a≤1,又 a<0 所以﹣3≤a<0,综上所述:﹣1≤a<0, 故答案为:[﹣1,0) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性问题,考查了对勾函数的单调性,是一道基础题.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)记关于 x 的不等式 (1)若 a=1,求 S∪T 和 S∩T; (2)若 S?T,求 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)先根据已知条件求出 S= (0,a) ,T=(0,2) ,所以 a=1 时,S=(0,1) .所 以根据并集及交集的运算即可求出 S∪T,S∩T; (2)若 S?T,则 a 需满足:0<a≤2,所以 a 的取值范围便是(0,2]. 解答: 解:S=(0,a) ,T=(0,2) ; (1)a=1 时,S=(0,1) ,所以: S∪T=(0,2) ,S∩T=(0,1) ; (2)若 S?T,则: 则 0<a≤2; ∴a 的取值范围为(0,2]. 点评: 考查解分式不等式、绝对值不等式,以及并集、交集的运算,及子集的概念. 17. (12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx(a,b∈R) ,若 f(1)=﹣1 且函数 f(x)的图象 关于直线 x=1 对称. (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在[k,k+1](k≥1)上的最大值为 8,求实数 k 的值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用二次函数的对称轴以及函数值,直接求 a,b 的值; (2)判断函数 f(x)在[k,k+1](k≥1)上的单调性,然后通过最大值为 8, 即可求实数 k 的值. 解答: 解: (1)由题意可得:f(1)=a+b=﹣1 且 解得:a=1,b=﹣2…(6 分) 2 2 (2)f(x)=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1 因为 k≥1,所以 f(x)在[k,k+1]上单调递增…(7 分) 所以 …(9 分) …(4 分)
2

<0(a>0)的解集为 S,不等式|x﹣1|<1 的解集为 T.

解得:k=±3…(11 分) 又 k≥1,所以 k=3…(12 分) 点评: 本题考查二次函数的基本性质,闭区间的最值的求法,函数单调性的应用,考查计 算能力. 18. (12 分)已知函数 f(x﹣1)=lg .

(1)求函数 f(x)的解析式,并判断 f(x)的奇偶性;
11

(2)解关于 x 的不等式:f(x)≥lg(3x+1) . 考点: 指、对数不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)换元法易得 f(x)=lg (﹣1<x<1) ,再由奇偶性的判定可得;

(2)原不等式可化为 x(x﹣1) (3x﹣1)≤0 且 x≠1,解之可得. 解答: 解: (1)令 t=x﹣1,则 x=t+1 代入已知式子可得 ∴f(x)=lg (﹣1<x<1) ,

∵f(x)的定义域关于原点对称, 且 ∴f(x)是奇函数 (2)原不等式可化为 由 3x+1>0 得 ,由 可得 , ,



,即





即 解得:x≤0 或 ∴原不等式的解集为 ,又 ,

且 x≠1,

点评: 本题考查对数不等式的解法,涉及函数的奇偶性,属中档题. 19. (12 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式, 并求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

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考点: 根据实际问题选择函数类型;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 应用题. 分析: (1)根据图象可知此函数为分段函数,在(0,20]和因为 Q 与 t 成一次函数关系, 根据表格中的数据,取出两 组即可确定出 Q 的解析式; (3)根据股票日交易额=交易量× 每股较易价格可知 y=PQ,可得 y 的解析式,分别在各段 上利用二次函数求最值的方法求出即可.

解答: 解: (1)

(2)设 Q=at+b(a,b 为常数) ,将(4,36)与(10,30)的坐标代入, 得 .
*

日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q=40﹣t,0<t≤30,t∈N .

(3)由(1) (2)可得



当 0<t≤20 时,当 t=15 时,ymax=125; 当 上是减函数,y<y<y(15)=125.

所以,第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元. 点评: 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,理解分段函数的能力.

20. (13 分) 已知指数函数 y=g (x) 满足: g (﹣3) = , 定义域为 R 的函数 f (x) = 是奇函数. (1)求函数 g(x)与 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)的单调性并证明之; (3)若关于 x 的方程 f(x)=m 在 x∈[﹣1,1]上有解,求实数 m 的取值范围.

13

考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;函数 的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)选设出函数的表达式,代入函数值,求出 a 的值,再进行检验,符合题意; (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,用定义法作差证明即可; (3)先根据函数的单调性求出函数的值域,从而求出 m 的范围. 解答: 解: (1)设 g(x)=a ,则 解得:a=2,所以 g(x)=2 所以
x x

,令 f(0)=0 得

,所以 c=1,

经检验,当 c=1 时,

为奇函数,符合题意,

所以



(2)f(x)在 R 上单调递减, 证明如下:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则

=

=



因为

,所以 , ,

而 x1<x2,所以 x2﹣x1>0, 所以

,即 f(x1)﹣f(x2)>0,f(x1)>f(x2)

所以 f(x)在 R 上单调递减; (3)由(2)知 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,所以 f(﹣1)≤f(x)≤f(1) 即 f(x)在[﹣1,1]上的值域为 ,

要使得关于 x 的方程 f(x)=m 在 x∈[﹣1,1]上有解, 则实数 m 的取值范围为 .

14

点评: 本题考查了函数的解析式的求法, 考查了定义法证明函数的单调性, 考查了求参数 的范围,是一道中档题. 21. (14 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣1,且当 x >0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0) ; (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; (3)若 f(6 )=7,且关于 x 的不等式 f(ax﹣2)+f(x﹣x )<3 对任意的 x∈[﹣1,+∞) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用赋值法,m=n=0 求 f(0) ; (2)设 x1,x2 是 R 上任意两个实数,且 x1<x2,令 m=x2﹣x1,n=x1,通过函数的单调性 的定义直接证明 f(x)在 R 上为增函数; 2 2 (3)由原不等式可化为:f(ax﹣2+x﹣x )+1<3,化为 f[﹣x +(a+1)x﹣2]<f(1) ,对 2 任意的 x∈[﹣1,+∞)恒成立,然后构造函数 g(x)=x ﹣(a+1)x+3,即 g(x)min>0 成 立即可,利用二次函数的性质,通过分类讨论求解实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)解:令 m=n=0,则 f(0)=2f(0)﹣1,解得 f(0)=1…(3 分) (2)证明:设 x1,x2 是 R 上任意两个实数,且 x1<x2,则 令 m=x2﹣x1,n=x1,则 f(x2)=f(x2﹣ x1)+f(x1)﹣1…(5 分) 所以 f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1)﹣1 由 x1<x2 得 x2﹣x1>0,所以 f(x2﹣x1)>1 故 f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x1)<f(x2)…(7 分) 所以 f(x)在 R 上为增函数 (3)由已知条件有:f(ax﹣2)+f(x﹣x )=f(ax﹣2+x﹣x )+1 2 故原不等式可化为:f(ax﹣2+x﹣x )+1<3 2 即 f[﹣x +(a+1)x﹣2]<2 * 而当 n∈N 时,f(n)=f(n﹣1)+f(1)﹣1=f(n﹣2)+2f(1)﹣2 =f(n﹣3)+3f(1)﹣3=…=nf(1)﹣(n﹣1) 所以 f(6)=6f(1)﹣5,所以 f(1)=2 2 故不等式可化为 f[﹣x +(a+1)x﹣2]<f(1)…(9 分) 2 由(2)可知 f(x)在 R 上为增函数,所以﹣x +(a+1)x﹣2<1 2 即 x ﹣(a+1)x+3>0 在 x∈[﹣1,+∞)上恒成立…(10 分) 2 令 g(x)=x ﹣(a+1)x+3,即 g(x)min>0 成立即可 (i)当 即 a<﹣3 时,g(x)在 x∈[﹣1,+∞)上单调递增
2 2 2

则 g(x)min=g(﹣1)=1+(a+1)+3>0 解得 a>﹣5,所以﹣5<a<﹣3…(11 分) (ii)当 有 解得 而 即 a≥﹣3 时

,所以
15

…(13 分)

综上所述:实数 a 的取值范围是 …(14 分) 注: (i) (ii)两种情况少考虑 一种或计算错一种扣两分,最后综上所述错误扣一分 点评: 本题考查函数的恒成立, 构造新函数求解函数的最值, 函数的单调性的判断与应用, 考查计算能力.

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