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2.2.1向量加法运算及其几何意义(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章)

2.2.1 向量加法运算及其几何意义(教学设计) [教学目标] 一、知识与能力: 1. 掌握向量的加法的定义,会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量; 2. 能准确表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练运用它们进行计算; 二、过程与方法: 1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程; 2.体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观: 培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题. [教学重点] 向量加法定义的理解;向量加法的运算律. [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾,新课导入 1. 物理学中,两次位移 OA, AB 的结果与位移 OB 是相同的。 2. 物理学中,作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得? 3. 引入:两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出,本节将研究向量的加法。 二、师生互动,新课讲解 1 . 已知向量 a,b ,在平面内任取一点 A ,作 AB ? a , BC ? b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b ,即 a+b= AB ? BC ? AC 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

这种求作两个向量的方法叫做三角形法则,简记“首尾相连,首是首,尾是尾” 。 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边作 OABC ,则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

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对于零向量与任一向量 a,规定 a+0=0+a=a 例 1(课本 P81 例 1) 已知向量 a,b,用两种方法(三角形和平行四边形法则)求作向量 a+b。 作法一:在平面内任取一点 O,作 OA ? a, AB ? b,则 OB ? a+b. 作法二:在平面内任取一点 O,做 OA ? a, OB ? b,以 OA 、 OB 为邻边作 OBCA ,则 OC ? a+b。

变式训练 1:当在数轴上表示两个共线向量时,它们的加法与数的加法有什么关系?

2.归纳: 1. 两个向量的和仍是一个向量。 2. 当 a,b 不共线时,a+b 的方向与 a、b 都不同向,且|a+b|<|a|+|b|. 3. 当 a 与 b 共线时, (1)若 a 与 b 同向,则 a+b 的方向与 a、b 同向,且|a+b|=|a|+|b|. (2)若 a 与 b 反向, 当|a|>|b|时, a+b 的方向与 a 相同, 且|a+b|=|a|-|b|; 当|a|<|b|时, a+b 的方向与 b 相同, 且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究:数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b?R,有 a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),任意向量 a,b 的加法是否也 满足交换律和结合律? 要求学生画图进行探索. (1) 如图作 ABCD ,使 AB ? a, AD ? b,则 BC ? b, DC ? a, 因为 AC ? AB ? BC ? a+b, AC ? AD ? DC ? a+b 所以,a+b=b+a

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(2)

如图自平面内任一点 A,作 AB ? a, BC ? b, CD ? c, 因为 AD ? AC ? CD ? ( AB ? BC ) ? CD ? (a+b)+c,
AD ? AB ? BD ? AB ? ( BC ? CD) ? a+(b+c),

所以(a+b)+c=a+(b+c). 例 2: 一艘船以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2km/h,求船实际航行速度的大小与 方向(用与流速间的夹角表示) 。
AB 表示水流的速度, 解: 如图, 设 AD 表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度, 以 AD、 AB 为邻边作平行四边形 ABCD,

则 AC 就是船实际航行的速度, 在 Rt?ABC 中, | AB |? 2km/h, | BC |? 2 3 km/h,所以 | AC |? | AB |2 ? | BC |2 ? 4 , 因为 tan ?CAB ?
2 3 ? 3 ,所以 ?CAB ? 60? , 2

答:船实际航行速度的大小为 4km/h,方向与流速间的夹角为 60?。 变式训练 2:摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具,设它在静水中的航行速度是每小时 25 千米,如果当时的水流速 度是每小时 15 千米, 那么该摩托艇向下游航行时, 每小时能行________千米, 它向上游航行时, 每小时能行___________ 千米.(40、10) 课堂练习 1: (课本 P84 练习 NO:1;2;3;4) 例 3:(tb0140403)化简 AB + DF ? CD ? BC ? FA (答: 0 )

变式训练 3、(tb0140603)已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, AC ? c, BC ? b ,则| a + b + c |为( ) 。 (A)0 (B)3 (C) 2 (D)2 2

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三、课堂小结,巩固反思: 1. 在学习向量加法概念时,要结合物理学理解向量加法的意义; 2. 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角线形法则,并能做出已知两个向量的和向量; 3. 要理解向量加法的交换律和结合律,能说出这两个向量运算律的几何意义; 四、课时必记: 1、向量的几何意义。 2、三角形法则与平行四边形法则。 五、分层作业: A 组: 1、(课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:1) 2、(课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:2) 3、(课本 P91 习题 2.2 A 组 NO:6) B 组: 1、(课本 P91 习题 2.2 B 组 NO:1) 2、(课本 P91 习题 2.2 B 组 NO:2) 3、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为 4 km / h ,求水流 的速度. (答:2km/h) 4、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为 8km,求河 水的流速. (答:1km/h) 5、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v2 ,船的实际航行的速度的大小为

4km / h ,方向与水流间的夹角是 60 ? ,求 v1 和 v2 .
(答:v1=2 3 km/h;v2=2km/h) 6、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小最大是 km/h (答:7;3) km/h,最小是

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