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湖北武汉市八校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题


湖北省八校
2016 届高三第一次联考 数学试题(理科)
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | log2 ( x ?1) ? 2} ,则 (CR A) ? B ? ( A. (1,3) B. (?1,3) C. (3,5) D. (?1,5) ) )

2.命题“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题为( A.若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0 C.若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0

B.若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 D.若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0

4.函数 f ( x) ? ? A. ?

?2 x ? 2, x ? 1, ?log 2 ( x ? 1), x ? 1,
C. ?5

则 f ?f ? D.

? ? 5 ?? ?? ? ( ? ? 2 ??
1 2



1 2

B. ? 1

5.等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,且 A.1 B.2 C.2015
? 1 2

S2016 S2015 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差为( 2016 2015



D.2016

6.若 a ? ln 2 , b ? 5

,c ?

1 ? sin xdx ,则 a, b, c 的大小关系( 4 ?0



3
A.a ? b ? c 7.已知 sin ? A.

b?a?c B.

c?b?a C.

b?c?a D.


2 3

1 ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ,则 cos ? 2? ? ? ? ( 3 3? ?6 ? ?
B. ?

5 18

5 18

C.

7 9

D. ?

7 9

4

8.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,

6
第 8 题图

则该几何体的体积等于( A. 12 3 B. 16 3
2

) C. 20 3 D. 32 3

9.已知函数 f ( x) ? sin (? x) ?

1 , (? ? 0) 的周期为 ? ,若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) ,所得图 2


象关于原点对称,则实数 a 的最小值为( A. ?

3? B. 4

? C. 2
??? ?

? D. 4

E P

D

10.如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,点 P 是 ?CDE 内(包括边界) 的一个动点,设 AP ? ? AF ? ? AB(?, ? ? R) ,则 ? ? ? 的取值范围是 ( )

??? ?

??? ?

F

C

A. ? , 4 ? 2

?3 ?

? ?

B. ?3, 4?

C. ? , ? 2 2

?3 5? ? ?

D. ? , 2 ? 4

?3 ?

? ?
A
第 10 题图

11.若一个四棱锥底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为 9,当其外接球表面积最小时,它的高为( ) A.3 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 )

B

12.关于函数 f ( x) ?

2 ? ln x ,下列说法错误的是( x

A. x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点 B.函数 y ? f ( x) ? x 有且只有 1 个零点 C.存在正实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立 D.对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知平面直角坐标系中, b ? (3, 4) , a ? b ? ?3 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影是 14.若函数 f ( x) ? ? 数a ? .

?

? ?

?

?



? x ? 1,0 ? x ? 2 , g ( x) ? f ( x) ? ax, x ???2,2? 为偶函数,则实 ??1, ?2 ? x ? 0
? ?x ? 2 y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? ?y ? x ? 2

B

15.设实数 x , y 满足约束条件 ?



K

? 16.如图所示,已知 ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 6 , BC ? 8 , D 为边 AC 上的一

点, K 为 BD 上的一点,且 ?ABC ? ?KAD ? ?AKD ,则 DC ?



C

D 第 16 题图

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步

骤. 17. (本小题满分 12 分)在等比数列 {an } 中, a3 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log 2

3 9 , S3 ? . 2 2

6 a2 n ?1

,且 {bn } 为递增数列,若 cn ?

1 1 ,求证: c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? . 4 bn ? bn ?1

18. (本小题满分 12 分)如图, ?ABC 中,三个内角 B 、 A 、 C 成等差数列,且 AC ? 10 , BC ? 15 . (1)求 ?ABC 的面积; (2)已知平面直角坐标系 xOy ,点 D(10, 0) ,若函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? ) ( M ? 0, ? ? 0, ? ? 过 A 、 C 、 D 三点,且 A 、 D 为 f ( x ) 的图象与 x 轴相邻的两个交点,求 f ( x ) 的解析式.

?
2

) 的图象经

y C

A

O

B

x

第 18 题图

19. (本小题满分 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)小明同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发球,如图 1 所示,网 球场前半区、后半区总长为 23.77 米,球网的中间部分高度为 0.914 米,发射器固定安装在后半区离球网底部 8 米处中轴线上,发射方向与球网底部所在直线垂直. 为计算方便,球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算,发射器和网球大小均忽略不计.如图 2 所 示,以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 xOy , x 轴在地平面上的球场中轴线上, y 轴垂直于地 平面,单位长度为 1 米.已知若不考虑球网的影响,网球发射后的轨迹在方程 y ?

1 1 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表 2 80

示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.发射器的射程是指网球落地点的横坐标. (1)求发射器的最大射程; (2) 请计算 k 在什么范围内, 发射器能将球发过网 (即网球飞行到球网正上空时, 网球离地距离大于 1 米) ? 若发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面 2.55 米处的击 球点正好击中网球,试问击球点的横坐标 a 最大为多少?并请说明理由.

第 20 题图

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e , x ? R .
x

(1)若直线 y ? kx 与 f ( x ) 的反函数的图象相切,求实数 k 的值; (2)设 a, b ? R ,且 a ? b , A ? f ? 小,并说明理由.

f (a) ? f (b) f (a) ? f (b) ? a?b? ,C ? ,试比较 A, B, C 三者的大 ?, B ? 2 a ?b ? 2 ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点,作 AD ? BC 于点 D , BF 与 AD 交 于点 E , BF 与 AC 交于点 G . (1)证明: AE ? BE ; (2)若 AG ? 9 , GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4

极坐标与参数方程

已知曲线 C 的极坐标方程为 2? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,将曲线 C1 : ?

? x ? cos ? ( ? 为参数)经过伸缩变换 y ? sin ? ?

? x? ? 3 x 后得到曲线 C2 . ? ? y? ? 2 y
(1)求曲线 C2 的参数方程; (2)若点 M 在曲线 C2 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5

不等式证明选讲

已知函数 f ( x) ? x ?10 ? x ? 20 ,且满足 f ( x) ? 10a ? 10 (a ? R) 的解集不是空集. (1)求实数 a 的取值集合 A ; (2)若 b ? A, a ? b ,求证: a b ? a b .
a b b a

黄冈中学 黄石二中 华师一附中 湖北省 鄂南高中 八校 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆 州 中 学 2016 届高三第一次联考 数学试题(理科)参考答案

一、选择题 二、填空题 三、解答题 17.

ADBAB DCCDB AC 3 7 1 10 ? ? 5 3 2

(1) q ? 1 时, an ?

3 ; 2

??????2 分

[来源:Zxxk.Com]

1 q ? 1 时, an ? 6 ? (? ) n ?1 2 1 (2)由题意知: an ? 6 ? (? ) n ?1 2 1 n ∴ a2 n?1 ? 6 ? ( ) 4
∴ bn ? 2n ∴ cn ?
1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2n ? (2 n ? 2) 4 n ? (n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 (1 ? )? 4 n ?1 4

??????4 分 ??????6 分

??????8 分 ??????10 分 ??????12 分

∴ c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ?

18.

(1)在△ABC 中, B ? 60? 由余弦定理可知:
? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc co s 6 0

??????1 分

??????2 分

∴ c 2 ? 10c ? 125 ? 0

?c ? A B ? 5 ? 5 6
又∵ AO ? 10 ? cos60? ? 5

??????4 分

? BO ? 5 6
1 ( 5? 5 6 ?) 2 (2)T=2×(10+5)=30, ? ∴?? 15 ? S? ABC ? 25 5?3 2 (? 3 2 . ?????? 3) 6分

??????8 分

? ∵ f (?5) ? Msin( ? (?5) ? ?) ? 0 15 ? ? ?s i n ? ( ? ? ) ?, 0?? ? ? ? k ?, k ? Z 3 3 ? ? ? ? ? ,?? ? 。 2 3 ? ?f(0) ? Msin ? 5 ,3 3 ?M ? 1 0 ? ? ?f(x) ? 1 0 s i nx(? ) 15 3

??????10 分

??????12 分
[来源:Z#xx#k.Com]

19.

(1)证明:∵长方形 ABCD 中,AB= 2 2 ,AD= 2 ,M 为 DC 的中点, ∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.

∵平面 ADM⊥平面 ABCM, 平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD? 平面 ADM ∴AD⊥BM; ??????6 分

???? ??? ? (2)建立如图所示的直角坐标系,设 DE ? ? DB ,

? 则平面 AMD 的一个法向量 n ? (0,1,0) ,

???? ???? ? ??? ? ME ? MD ? ? DB ? (1 ? ?, 2?,1 ? ?),
???? ? ?? AM ? (?2,0,0) ,设平面 AME 的一个法向量为 m ? ( x, y, z),
?2 x ? 0 2? 取 y=1,得 x ? 0, y ? 1, z ? , ? 1? ? ?2? y ? (1 ? ? ) z ? 0 ?? 2? 所以 m ? (0,1, ) ,??????9 分 1? ? ?? ?? ? 1 m?n 5 因为 cos ? m, n ?? ?? ? ? ,求得 ? ? , 2 | m|?| n | 5
所以 E 为 BD 的中点.

[来源:

学§科§网 Z§X§X§K]

??????12 分

20.(Ⅰ)由

1 1 40k kx ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 0 得: x ? 或 x ? 0 ,??????2 分 1? k 2 2 80 40 40 由x? ? ? 20 ,当且仅当 k ? 1 时取等号. 1 2 k? k
因此,最大射程为 20 米; (Ⅱ)网球发过球网,满足 x ? 8 时 y ? 1 . ??????5 分

所以 4k ?

4 (1 ? k 2 ) ? 1 ,即 4k 2 ? 20k ? 9 ? 0 , 5

因此

1 9 ?k? 2 2

??????8 分

依题意:关于 k 的方程

1 1 ?1 9? ka ? (1 ? k 2 )a 2 ? 2.55 在 ? , ? 上有实数解 2 80 ?2 2?
??????9 分

即 a k ? 40ak ? a ? 204 ? 0
2 2 2

2 a 2 k 2? 4 0 a k ? a ? 2 0 4 (a ? 0)

? ?1 6 0 a 02 ? a 42? a 2 ? 2?0 4?
得 a ? 14 , 此时 k ?

0
??????11 分

10 ,球过网了, 7
??????12 分

所以击球点的横坐标 a 最大为 14

(2)不妨设 a ? b,? A ? B ? e

a ?b 2

b ? a ? 2 2 e ? e ? ? a b e ?e ? ? ? 0,? A ? B; ? ?? 2 2
a ?b 2 a ?b b ?a ? ? 2 2 a ? b ? e ? e ? ? ? ?, a ?b

2

? A?C ? e

a ?b 2

a b e a ? eb ? a ? b ? e ? e ? e ? ? ? a ?b a ?b

a ?b 2

e

令 m ? x ? ? 2x ? e ? e ( x ? 0), 则 m? ? x ? ? 2 ? e ? e
x ?x x

?x

? 0, 所以 m ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单减,故 m ? x ? ? m ? 0? ? 0,

a ?b b ?a a ?b 2 取x? , 则 a ? b ? e ? e 2 ? 0,? A ? C; ???????8 分 2

e a ? eb e a ? eb a ? b e a ? eb e a ?b ? 1 2 ? ? ? a b ? a ?b ? 1 ? a ?b , 2 a ?b 2 e ?e e ?1 e ?1
x 2



n ? x? ?

x 2 ?1? x , 2 e ?1



? e ? 1? ? 0,? n x 在 0, ?? 上 单 增 , 故 n x ? n 0 ? 0, 取 x ? a ? b, 则 1 2e x n? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? e x ? 1?2 2 ? e x ? 1?2
a ?b 2 ? 1 ? a ?b ? 0,? B ? C. 2 e ?1 综合上述知, A ? C ? B.
……………………12 分

? 的中点, 22.证明: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF

? ?? 故 BA AF ,??ABF ? ?ACB
又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,

?????2 分 ?????4 分

??BAD ? ?ACB

?? A B F ? ?B A D
?????5 分

? AE ? BE
AB ? 12
直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20 圆的半径为 10

2 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ?16

?????8 分 ?????9 分 ?????10 分
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

x2 y2 ? ?1 23. (1)曲线 C1 的普通方程是: 9 4
(2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0

?????4 分 ?????5 分

设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得:

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

3 4 1 5cos(? ? ? ) ? 10 其中 cos ? ? ,sin ? ? ???9 分 5 5 5

9 8 ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 M ( , ) 5 5

???10 分

24 . (1)要 x ?10 ? x ? 20 ? 10a ? 10 的解集不是空集, 则 ( x ?10 ? x ? 20 )min ? 10a ?10

???2 分 ???5 分

?10 ? 10a ?10,?a ? 0, A ? ? 0, ???
(2) 不妨设 a ? b ,则
a ?b

a a bb ? a ? ?? ? abba ? b ?
? a ? b ? 0,

???7 分

a ?a? ? ? 1, a ? b ? 0, ? ? b ?b?
? a a bb ? a b b a

a ?b

?1
???10 分


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