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2015年高二数学精选作业(20)


2015 年高二数学精选作业(20)
一、选择题

?2x-y+1≥0, 1.z=x-y 在?x-2y-1≤0,的线性约束条件下,取得最大值的可行解为 ?x+y≤1
( A.(0,1) C.(1,0) 【解析】 B.(-1,-1) 1 1 D.( , ) 2 2 可以验证这四个点均是可行解. )

1 当 x=0,y=1 时,z=-1;当 x=-1,y=-1 时,z=0;当 x=1,y=0 时,z=1;当 x= , 2

y= 时,z=0.排除 A、B、D.
【答案】

1 2

C

?y≤2, 2.(2012·广东高考)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1,则 z=3x+y 的最大值为( ?x-y≤1,
A.12 C.3 【解析】 利用线性规划求最值. B.11 D.-1

)

可行域如图中阴影部分所示.先画出直线 l0:y=-3x,平移直线 l0,当直线过 A 点时 z=3x+y ?y=2, ?x=3, 的值最大,由? 得? ?x-y-1=0, ?y=2. ∴A 点坐标为(3,2). ∴z 最大=3×3+2=11.

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【答案】

B

?x+y≥2, 3. (2013·福州高二检测)已知 O 是坐标原点, 点 A(-1, 1), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1, ?y≤2
上的一个动点,则→ OM·→ OA的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,2] 【解析】 ) B.[0,1] D.[-1,2] 作出可行域,如图所示,

→ OA·→ OM=-x+y. 设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时 z 有最小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2) 时 z 有最大值,zmax=0+2=2, ∴→ OA·→ OM的取值范围是[0,2]. 【答案】

C
2 2

?x≥0, 4.已知 x、y 满足约束条件?y≥0, 则(x+3) +y 的最小值为( ?x+y≥1,
A. 10 C.8 【解析】 B.2 2 D.10 画出可行域(如图所示).

)

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(x+3) +y 即点 A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小, ∴|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10. 【答案】

2

2

D

?x+2y≥2, 5.(2012·山东高考)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, 则目标函数 z=3x-y 的取值范 ?4x-y≥-1,
围是( ) 3 B.[- ,-1] 2 3 D.[-6, ] 2 3 A.[- ,6] 2 C.[-1,6] 【解析】 移,

作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线 3x-y=0,并向上、下平

由图可得,当直线过点 A 时,z=3x-y 取最大值;当直线过点 B 时,z=3x-y 取最小值.由 ?x+2y-2=0, ?4x-y+1=0, 1 ? 解得 A(2,0);由? 解得 B( ,3). 2 ?2x+y-4=0 ?2x+y-4=0 1 3 ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3× -3=- . 2 2 3 ∴z=3x-y 的取值范围是[- ,6]. 2 【答案】 二、填空题

A

?x+y≤3, 6. (2012·课标全国卷)设 x, y 满足约束条件? x≥0, ?y≥0,

x-y≥-1,
则 z=x-2y 的取值范围为________.

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【解析】

利用线性规划知识求解.

作出不等式组的可行域,如图阴影部分所示,

作直线 x-2y=0,并向左上,右下平移,当直线过点 A 时,z=x-2y 取最大值;当直线过点 B 时,z=x-2y 取最小值. ?x-y+1=0, 由? 得 B(1,2), ?x+y-3=0, ?y=0, 由? 得 A(3,0). ?x+y-3=0, ∴zmax=3-2×0=3,zmin=1-2×2=-3, ∴z∈[-3,3]. 【答案】 [-3,3]

?y+x≤1 y 7. (2013·乌鲁木齐高二检测)设实数 x, y 满足不等式组?y-x≤1, 则 的取值范围是________. x+2 ?y≥0
【解析】 0-0 1-0 可看作(-2, 0)与可行域(如图阴影部分)内点(x, y)连线的斜率 k, ≤k≤ , x+2 0+2 0+2

y

1 即 0≤k≤ , 2
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所以

1 的取值范围为[0, ]. x+2 2 1 [0, ] 2

y

【答案】

8.已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 【解析】 ?-1<x+y<4, 由? 得平面区域如图阴影部分所示. ?2<x-y<3

?x+y=-1, 解? 得 C(1,-2),∴zmax=2×1-3×(-2)=8(取不到) ?x-y=3 ?x+y=4, 解? 得 A(3,1), ?x-y=2 ∴zmin=2×3-3×1=3(取不到) 【答案】 三、解答题 (3,8)

?0≤x≤1, 9.设 x,y 满足约束条件?0≤y≤2, 求目标函数 z=2y-2x+4 的最大值和最小值. ?2y-x≥1,
【解】

?0≤x≤1, 作出满足不等式组?0≤y≤2, 的可行域(如图). ?2y-x≥1,

作直线 l0:2x-2y=0,
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即 x-y=0, 把直线 l0 向上平移,函数 z=2y-2x+4 的值随之增大. 当 l 经过点 A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8.

当 l 经过点 B(1,1)时,

zmin=2×1-2×1+4=4.

?x≥0, 10.当 x,y 满足约束条件?y≤x, (k 为负常数)时,能使 z=x+3y 的最大值为 12,试求 k ?2x+y+k≤0
的值. 【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示).

1 1 k k 4k 当直线 y=- x+ z 经过区域中的点 A(- ,- )时,z 取到最大值,等于- . 3 3 3 3 3 令- 4k =12,得 k=-9. 3

∴所求实数 k 的值为-9.

?x-y+5≥0, 11.设 x,y 满足条件?x+y≥0, ?x≤3.
(1)求 u=x2+y2 的最大值与最小值; (2)求 v= 【解】

y

x-5

的最大值与最小值.

画出满足条件的可行域.

(1)令 t=x2+y2,则对 t 的每个值,x2+y2=t 表示一族同心圆(圆心为原点 O),且对同一圆上的 点,x2+y2 的值都相等.由下图可知:
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当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆过 C 点时,u 最大,过(0,0)时 u 最小.又 C(3,8), ∴umax=73,umin=0. (2)v=

y x-5

表示可行域内的点 P(x,y)到定点 D(5,0)的连线的斜率.由图可知,kBD 最大,kCD 最

小.又 C(3,8),B(3,-3), ∴vmax= -3 3 8 = ,vmin= =-4. 3-5 2 3-5

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