当前位置:首页 >> 高考 >>

2015年高考数学湖南理试题及答案word


教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题5分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知
2 (1-i) =1+i (i 为虚数单位) ,则复数 z =( z

) C. -1 ? i D. -1 ? i

A. 1 ? i 答案:D 解析: z ?

B. 1 ? i

(1 ? i)2 ?2i ?2(i ? 1) ? ? ? ?1 ? i. 1? i 1? i 2


2.设 A, B 是两个集合,则“ A ? B ? A ”是“ A ? B ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:C B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析: A ? B ? ?x | x ? A, 且x ? B? ? A ,得 A ? B ,反之,当 A ? B 时,

A ? B ? A ,故为充要条件。
3.执行如图1所示的程序框图.如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ?

6 7 8 C. 9
A. 答案:B

3 7 4 D. 9
B.

解 析 : 执 行 程 序 框 图 , 进 入 循 环 后 , 的 值 依 次 为 :

1 2 3 S ? , i ? 2 ; S ? ,i ? 3 ; S? 3 5 7

i ,退出循环,输出 ? 4; S?

3 。 7

? x ? y ? ?1 ? 4.若变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为( ?y ?1 ?
A. ?7 答案:A B. ?1 C. 1



D. 2

解析:作出可行域,为图中三角形 ABC 内部(包括边界) ,平行直线 3x ? y ? 0 ,过点 A(?2,1) ,取最小
第 1 页(共 15 页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

值-7。 5.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是( A.奇函数,且在 ? 0,1? 上是增函数 C.偶函数,且在 ? 0,1? 上是增函数 答案:A 解析: 函数的定义域为 (?1,1) , f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? f ( x) , 故函数 f ( x ) 为奇函数, 当0 ? x ?1 时, f ( x) ?
'

) B.奇函数,且在 ? 0,1? 上是减函数 D.偶函数,且在 ? 0,1? 上是减函数

1 1 ? ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (0,1) 上是增函数。 1? x 1? x
3
3

a ? ? 2 6.已知 ? x ? ? 的展开式中含 x 的项的系数为 30,则 a =( x? ?
A. 3 答案:D 解析: Tr ?1 ? C5r ( x )5?r ? ? 故选(D) 。 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷 10000 个点, 则落入阴影部分 (曲 线 C 为正态分布 N ? 0,1? 的密度曲线)的点的个数的估计值为( A. 2386 C. 3413 B. 2718 D. 4772 ) B. ? 3 C. 6



D. ?6

? ?a ? r r ? ? C5 (?a) x ? x?

r

5? 2 r 2

, 由

5 ?2 r 3 1 ? , 解得 r ? 1 , 由 C5 (?a ) ? 3 0 2 2

, 得 a ? ?6 ,

附:若 ? ? N ? ,? 2 ,则

?

?

P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6826 P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9544
答案:C 解析:由 P(?1 ? X ? 1) ? 0.6826 ,得 P(0 ? X ?1) ?0.3413 ,则阴影部分的面积为 0.3413,故估计落入 阴影部分的点的个数为 10000 ?

0.3413 ? 3413 ,故选(C) 。 1? 1

8.已知点 A, B, C 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动,且 AB ? BC .若点 P 的坐标为 ? 2,0 ? ,则

??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PC 的最大值为(
第 2 页(共 15 页)


山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜
B.7

圆您梦想
C.8 D.9

www.jb1000.com

A.6 答案:B

解 析 : AC 为 Rt ?ABC 的 斜 边 , 则 AC 为 圆 x 2 ? y 2 ? 1 的 一 条 直 径 , 故 AC 必 经 过 原 点 , 则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PC ? 2PO ,即 PA ? PB ? PC ? 2 PO ? PB ,又 PB ? OB ? OP ,
所以 PA ? PB ? PC ? 2 PO ? OB ? OP ? OB ? 3OP ? OB ? 9OP ? 6OB ? OP ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ?

12 ? 9 ? 22 ? 6 ?1? 2cos ?POB = 37 ?12cos ?POB ? 37 ? 12 =7 ,当且仅当 ?POB ? 1800 时取 ??? ? ??? ? ??? ? “等号” ,故 PA ? PB ? PC 的最大值为 7.
?? ? x 的 图 象 向 右 平 移 ? ? 0 ? ? ? ? 个 单 位 后 得 到 函 数 g ( x) 的 图 象 , 若 对 满 足 9 . 将 函 数 f ( x) ? s i n 2 2? ?
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 有 x1 ? x2 min ?
A.

?
3

,则 ? =( C.



5? 12

B.

?
3

?
4

D.

?
6

答案:D 解析:向右平移 ? 个单位后,得到 g ( x) ? sin(2 x ? 2? ) ,又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 ,∴不妨

2 x1 ?


?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m? ,∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? ,又∵ x1 ? x2

min

?

?
3



?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

,故选 D.

10.某工件的三视图如图3所示.现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新 工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为

新工件的体积 ? ? ? 材料利用率= 原工件的体积 ? ? ?

A.

8 9?
4

B.

16 9?
12

C.

?

2 ?1

?

3

?

D.

?

2 ?1

?

2

?

答案:A 解析:由三视图知,原工件为圆锥,体积为 ? ? ?1 ? 2 ?
2

1 3

2? ,要使长方体新工件的体积最大,则其 3

下底在圆锥的底面内,上底是平行于圆锥底面的截面的内接正方形,作轴截面, AB 为底面正方形的对角

第 3 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

线,设长方体底面边长为 a ,高为 h ,则

2a 2 ? h , h ? 2 ? 2a , 长 方 体 体 积 为 ? 2 2 2 2 2 2 时, V ? ? 0 ,当 a ? 时, V ? ? 0 , 3 3

V ? a2 h ? ? 2a3 ? 2a 2 , V ? ? ?3 2a 2 ? 4a ,当 0 ? a ?
故函数 V ? a h ? ? 2a ? 2a 在 ? 0, ?
2 3 2

? ?

?2 2 ? 2 2? 2 2 ,2? 上是增函数, 在? 上是减函数, 故当 a ? 时,V ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? ?

16 3 2 ?2 2? ? 2 2 ? 16 8 取最大值,最大值为 ? 2 ? ,故原工件的材料利用率为 27 ? 。 ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 27 2? 9? ? ? ? ? 3

二、填空题:本小题共5小题,每小题5分,共25分. 11. ? ( x ? 1)dx =
0 1

.

答案:0 解析:

?

1 ( x ? 1)dx ? ( x 2 ? x) 2 0 ? 0. 0 2
2

12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图4所示:

若将运动员按成绩由好到差编为1~35 号, 再用系统抽样方法从中抽取7人, 则其中成绩在区间 ?139,151? 上的运动员人数是 答案:4 .

] 的人数为 20 ,再由系统抽样的性质可知人数为 20 ? 解析:由茎叶图可知,在区间 [139,151
13.设 F 是双曲线 C : 则 C 的离心率为 答案: 5

7 ? 4 人. 35

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点.若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为其虚轴一个端点, a 2 b2
.

解析:不妨设 F ? ?c,0 ? , PF 的中点为 (0, b) ,由中点坐标公式可知 P(c, 2b) ,又点 P 在双曲线上,则

第 4 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

c 2 4b 2 c2 ? ? 1 ? 5 ,即 e ? 5 。 ,故 a 2 b2 a2
14.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和.若 a1 ? 1 且 3S4 , 2S2 , S3 成等差数列,则 an = 答案: 3
n ?1

.

解析:因为 3S1 , 2S2 , S3 成等差数列,所以 4S2 ? 3S1 ? S3 ,即 4(a1 ? a2 ) ? 3a1 ? a1 ? a2 ? a3 ,化简,得

a3 ? 3 ,即等比数列的公比 q ? 3 ,故 an ? 1? 3n?1 ? 3n?1 。 a2
15 .已知函数 f ( x) ? ? 是 .

? x3 , x ? a ? ,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x)? b有两个零点,则 a 的取值范围 2 ? ?x , x ? a

答案: (??,0) ? (1,??) . 解析:分析题意可知,问题等价于方程 x3 ? b( x ? a) 与方程 x 2 ? b( x ? a) 的根的个数和为 2 ,若两个方

? 1 3 ?b ? a ? 程各有一个根:则可知关于 b 的不等式组 ? b ? a 有解,从而 a ? 1 ; ? ?? b ? a ?
? 1 ? 3 若方程 x ? b( x ? a) 无解,方程 x ? b( x ? a) 有 2 个根:则可知关于 b 的不等式组 ?b ? a 有解,从而 ? ?? b ? a
3 2

a ? 0; ,综上,实数 a 的取值范围是 (??,0) ? (1,??) .
三、解答题:本大题共6小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (1) (本题满分6分)选修4-1:几何证明选讲 如图5, 在 ? O 中, 相交于点 E 的两弦 AB , CD 的中点分别是 M , N , 直线 MO 与直线 CD 相交于 F 点, 证明: ① ?MEN ? ?NOM ? 180? ② FE ?FN ? FM ?FO

第 5 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

证明:①如图 a 所示,

因为 M,N 分别是弦 AB,CD 的中点, 所以 OM ? AB,ON ? CD, 即 ? OME= 90 , ? ENO= 90 , ? OME+ ? ENO = 180o 。
o o

又四边形的内角和等于 360o ,故 ? MEN+ ? NOM= 180o . ②由①知,O,M,E,N 四点共圆,故由割线定理即得 FE ? FN ? FM ? FO (2) (本题满分6分)选修4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ?5? t ? ? 2 ( t 为参数) 已知直线 l : ? .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C ?y ? 3 ? 1 t ? 2 ?
的极坐标方程为 ? ? 2cos? ①将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; ②设点 M 的直角坐标为 5, 3 ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B ,求 MA ?MB 的值. 解:① ? ? 2cos ? 等价于 ? 2 ? 2? cos? 。将 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos ? ? x 代入 ? 2 ? 2? cos? ,得曲线 C 的直线坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 。
2 2

?

?

? 3 x ? 5? t ? ? 2 ( t 为参数)代入 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,得 t 2 ? 5 3t ?18 ? 0 ,设这个方程的两个根分别 ②将 ? ? 3? 1t ? ? 2
为 t1 , t2 ,则由参数 t 的几何意义知 MA MB ? t1t2 ? 18 。 (3) (本题满分6分)选修4-5,不等式选讲 设 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ?
第 6 页(共 15 页)

1 1 ? ,证明: a b
山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

①a?b? 2 ② a2 ? a ? 2与b2 ? b ? 2 不可能同时成立. 证明:由 a ? b ?

1 1 a?b ? ? , a ? 0, b ? 0, 得 ab ? 1 。 a b ab

①由基本不等式及 ab ? 1 ,有 a ? b ? 2 ab ? 2 ,即 a ? b ? 2 。
2 2 2 ②假设 a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 同时成立,则由 a ? a ? 2 及 a ? 0 ,得 0 ? a ? 1 ;同理, 0 ? b ? 1 。从而

ab ? 1 ,这与 ab ? 1 矛盾。故 a 2 ? a ? 2 与 b2 ? b ? 2 不可能同时成立。
17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , a ? b tan A ,且 B 为钝角. (1)证明: B ? A ?

?
2



(2)求 sin A ? sin C 的取值范围. 解(1)由 a=btanA 及正弦定理,得

? +A). 2 ? ? ? ? 又 B 为钝角,因此 +A ? ( ,A) ,故 B= +A,即 B-A= . 2 2 2 2
sinB=sin( (2)由(1)知,C= ? -(A+B)= ? -(2A+ 于是 sinA+sinC=sinA+sin(
2

sin A b sin B ? ? ,所以 sinB=cosA,即 cos A a cos B

? ? ? ?? )= -2A>0,所以 A ? ? 0, ? , 2 2 ? 4?

? -2A) 2

= sinA+cos2A=-2 sin A+sinA+1 =-2(sinA-

1 2 9 ) + 4 8

因为 0<A<

? 2 ,所以 0<sinA< ,因此 4 2
2 1? 9 9 ? <-2 ? sin A ? ? ? ? 2 4? 8 8 ?
2

由此可知 sinA+sinC 的取值范围是(

2 9 , ]. 8 2

第 7 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

18. (本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个 白球的甲箱和装有5个红球、 5个白球的乙箱中, 各随机摸出1个球.在摸出的2个球中, 若都是红球, 则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学 期望. (1)记事件 A1 ={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}

A2 ={从乙箱中摸出的 1 个球是红球}

B1 = {顾客抽奖 1 次获一等奖} B2 ={顾客抽奖 1 次获二等奖}
C={顾客抽奖 1 次能获奖}. 由题意, A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥,且

B1 = A1 A2 , B2 = A1 A2 + A1 A2 ,C= B1 + B2 .
因 P( A1 )=

4 2 5 1 = ,P( A2 )= = ,所以 10 5 10 2
P( B1 )=P( A1 A2 )=P( A1 )P( A2 )=

2 1 1 ? = , 5 2 5

P( B2 )=P( A1 A2 + A1 A2 )=P( A1 A2 )+P( A1 A2 ) =P( A1 )(1- P( A2 ))+(1- P( A1 ))P( A2 ) =

2 1 2 1 1 ? (1- )+(1- ) ? = 5 2 5 2 2

故所求概率为 P(C)= P( B1 + B2 )=P( B1 )+ P( B2 )=

1 1 7 + = . 5 2 10 1 1 ,所以 X~B(3, ). 5 5

(2)顾客抽奖 3 次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 于是

1 4 64 5 5 125 48 1 1 1 4 2 P(X=1)= C3 ( ) ( ) = 5 5 125
0 0 3 P(X=0)= C3 ( ) ( ) =

第 8 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜 12 2 1 2 4 1 P(X=2)= C3 ( ) ( ) = 5 5 125 1 3 1 3 4 0 P(X=3)= C3 ( ) ( ) = 5 5 125

圆您梦想

www.jb1000.com

故 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

64 125

48 125

12 125

1 125

X 的数学期望为 E(X)=3 ?

1 3 = . 5 5

19. (本小题满分 12 分) 如图6, 已知四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 的上、 下底面分别是边长为3和6的正方形. A1 A ? 6, 且 A1 A ? 底 面 ABCD ,点 P, Q 分别在棱 DD1 , BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ (2)若 PQ // 平面 ABB1 A1 ,二面角 P ? QD ? A 的余弦值为

3 ,求四面体 ADPQ 的体积. 7

解法一:由题设知, AA1 ,AB,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,AB,AD, AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴,建立如图 b 所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A(0,0,0)

B1 (3,0,6)

D(0,6,0)

D1 (0,3,6)

Q(6,m,0),其中 m=BQ,

0?m?6。

???? 9 ,3) , AB1 =(3,0 ,6), 2 ??? ? ???? ??? ? 于是 AB1 ? PQ =18-18=0,所以 AB1 ? PQ ,即 AB1 ? PQ .
(1)若 P 是 DD1 的中点,则 P(0, (2)由题设知, DQ =(6,m-6,0), DD1 =(0,-3,6)是平面 PQD 内的两个不共线向量.

????

???? ?

?? ???? ? ? n1 ? DQ ? 0 ? 设 n1 =(x,y,z)是平面 PQD 的一个法向量,则 ? ?? ???? ,即 n ? DD ? 0 ? ? 1 1

第 9 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

?6 x ? (m ? 6) y ? 0 ? ? ?3 y ? 6 z ? 0
取 y=6,得 n1 =(6-m,6,3).又平面 AQD 的一个法向量是 n2 =(0,0,1) ,所以 cos< n1 , n2 >=

n1 ? n2 3 3 = . ? | n1 | ? | n2 | (6 ? m)2 ? 62 ? 32 (6 ? m)2 ? 45
3 3 3 ,因此 = , 2 7 (6 ? m) ? 45 7

而二面角 P-QD-A 的余弦值为

解得 m=4,或者 m=8(舍去) ,此时 Q(6,4,0) 设 DP = ? DD1 (0< ? ? 1),而 DD1 =(0,-3,6) ,由此得点 P(0,6-3 ? ,6 ? ) ,

PQ =(6,3 ? -2,-6 ? ).
因为 PQ//平面 ABB1 A ,所以 PQ ?n3 =0,即 3 ? -2=0,亦 1 ,且平面 ABB 1A 1 的一个法向量是 n1 =(0,1,0) 即? =

2 ,从而 P(0,4,4) 3

于是,将四面体 ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥 P-ADQ,则其高 h=4, 故四面体 ADPQ 的体积

1 1 1 V ? S? ADQ ? h ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 3 2
解法二 (1) 如图 c, 取A 连结 PR,BR,因为 A P 是 D1D 1 A 的中点 R, 1 A ,D 1 D 是梯形 A 1 AD 1D 的两腰,

的中点,所以 PR//AD,于是由 AD//BC 知,PR//BC, 所以 P,R,B,C 四点共面.

? 平面 ABB1 A1 ,因此 由题设知,BC ? AB,BC ? A 1 A ,所以 BC
BC ? AB1 . 因为 tan ?ABR =
1 ○

AR 3 AB1 ?ABR =tan ?A1 AB1 ,因此 = = =tan ?A 1 AB 1 ,所以 tan AB 6 A1 A

?ABR ? ?BAB1 = ?A1 AB1 ? ?BAB1 = 90 o ,
1 即知 AB ? 平面 PRBC,又 PQ ? 平面 PRBC,故 AB ? PQ. 于是 AB1 ? BR,再由○ 1 1

第 10 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

(2)如图 d,过点 P 作 PM// A 1 A 交 AD 于点 M,则 PM//平面 ABB1 A 1.

? 平面 ABCD,所以 OM ? 平面 ABCD,过点 M 作 MN ? QD 于点 N,连结 PN,则 PN ? QD, 因为 A 1A

?PNM 为二面角 P-QD-A 的平面角,所以 cos ?PNM =


3 , 7

MN 3 = ,从而 PN 7

PM 40 . ? MN 3

3 ○

连结 MQ, 由 PQ//平面 ABB1 A 所以 MQ//AB, 又 ABCD 是正方形, 所以 ABQM 为矩形, 故 MQ=AB=6. 1, 设 MD=t,则 MN=

MQ ? MD MQ ? MD
2 2

=

6t 36 ? t
2

.

4 ○

过点 D1 作 D1E / / A1 A 交 AD 于点 E,则 AA 1D 1E 为矩形,所以 D 1 A =6,AE= A 1E = A 1D 1 =3, 因此 ED=AD-AE=3,于是

PM D1 E 6 ? ? ? 2 ,所以 PM=2MD=2t, MD ED 3

3 ○ 4 得 再 由 ○

36 ? t 2 = 3

40 , 解 得 t=2 , 因 此 PM=4. 故 四 面 体 ADPQ 的 体 积 3

1 1 1 V ? S? ADQ ? h ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 3 2

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 长为 2 6 .
第 11 页(共 15 页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

y2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的 a 2 b2

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

(1)求 C2 的方程;

???? ???? (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向.
(i)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率; (ii)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形. 解(1)由 C1 : x2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1) ,因为 F 也是椭圆 C2 的一焦点, 所以

a 2 ? b2 ? 1



又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x2 ? 4 y ,由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为( ? 6,

3 ) ,所以 2 9 6 ? 2 ?1 2 4a b



2 2 1 ,○ 2 得 a =9, b =8,故 C 的方程为 联立○ 1

x2 y 2 ? ?1 9 8
(2)如图 f ,设 A( x1 , y1 )B( x2 , y2 )C( x3 , y3 )D( x4 , y4 ). (i)因 AC 与 BD 同向,且|AC|=|BD|,所以 AC = BD ,从而 x3 ? x1 = x4 ? x2 ,即

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

x1 ? x2 = x3 ? x4 ,于是

? x1 ? x2 ?

2

-4 x1 x2 =

? x3 ? x4 ?

2

-4 x3 x4



设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由?

? y ? kx ? 1 2 得 x +16kx-64=0.而 x1 , x2 是这个方程的两根.所以 2 ? x ? 4y
x1 ? x2 =4k, x1 x2 =-4


? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得(9+8 k ) x +16kx-64=0.而 x3 , x4 是这个方程的两根.所以 ?1 ? ? 9 ?8

x3 ? x4 =第 12 页(共 15 页)

16k 64 , x3 x4 =. 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2


山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

将④⑤带入③ ,得 16( k 2 +1)=

? 9 ? 8k ?

16k

2 2

+

4 ? 64 ,即 9 ? 8k 2


16( k 2 +1)=

162 ? 9( k 2 ? 1)

? 9 ? 8k 2 ?

2

所以 9 ? 8k

?

2 2

?

= 16 ? 9 ,解得 k= ?

6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? . 4 4

(ii)由 x2 ? 4 y 得 y ' =

x x ,所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y- y1 = 1 (x- x1 ) ,即 2 2
y= x1 x -

x12 4

.

令 y=0 得 x=

x1 x x ,即 M( 1 ,0),所以 FM =( 1 ,-1).而 FA =( x1 , y1 ? 1 ).于是 2 2 2
FA ? FM =

x12 2

- y1 ? 1=

x12 4

+1>0,

o 因此 ?AFM 是锐角,从而 ?MFD ? 180 ? ?AFM 是钝角.

故直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.

21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? eax sin x x ??0, ??? ,记 xn 为 f ( x) 的从小到大的第 n n ? N* 明: (1)数列 ? f ( xn )? 是等比数列; (2)若 a ?

?

?

?

?

个极值点.证

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N* , xn ? f ( xn ) 恒成立.
山东世纪金榜科教文化股份有限公司

第 13 页(共 15 页)

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

证明: (1) f ' ( x) ? aeax sin x ? eax cos x

? eax (a sin x ? cos x)

? a 2 ? 1eax sin( x ? ? )
其中 tan ? =

1 ? ,0< ? < . a 2
即 x= m? - ? ,m ? N * .

令 f ' ( x) =0,由 x ? 0 得 x+ ? =mx, 对 k ? N,若 2k ? <x+ ? <(2k+1) 若(2k+1) ? <x+ ? <(2k+2)

? ,即 2k ? - ? <x<(2k+1) ? - ? ,则 f ' ( x) >0;

? ,即(2k+1) ? - ? <x<(2k+2) ? - ? ,则 f ' ( x) <0.

因此,在区间( (m-1) ? ,m ? - ? )与(m ? - ? ,m ? )上, f ' ( x) 的符号总相反.于是 当 x= m ? - ? (m ? N )时, f ( x ) 取得极值,所以
*

xn ? n? ? ? (n ? N * ) .
此时, f ( xn ) ? e
a? n? ? ? ?

sin(n? ? ? ) ? (?1)n?1 e

a? n? ?? ?

sin ?. 易知 f ( xn ) ? 0,而

f ( xn?1 ) (?1)n? 2 e ?? ? ? sin ? ? ? ?eax n ?1 a ? n? ? ? ? f ( xn ) (?1) e sin ?
a ? n ?1 ? ? ? ?
a n? ? ? ? 是常数,故数列 ? f ( xn )? 是首项为 f ( x1 ) = e ? sin ? ,公比为 ?eax 的等比数列

(2)由(1)知, sin ? =

1 a ?1
2

,于是对一切 n ? N , xn <| f ( xn ) |恒成立,即
*

n? ? ? ?

1 a ?1
2

e

a ? n? ? ? ?

恒成立,等价于
? a2 ? 1 e ? ? a a ? n? ? ? ?
a n? ? ?

(? )

恒成立(因为 a>0)

et et (t ? 1) ' ' (t) = 设 g(t)= (t)0) ,则 g .令 g =0 得 t=1 ( t) 2 t t
当 0<t<1 时, g (t) < 0 ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递减; 当 t>1 时, g (t) > 0 ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递增.
' '

第 14 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司

教学资源网

世纪金榜

圆您梦想

www.jb1000.com

从而当 t=1 时,函数 g(t)取得最小值 g(1)=e 因此,要是( ? )式恒成立,只需

a2 ? 1 1 . ? g (1) ? e ,即只需 a ? a e2 ? 1

而当 a=

1 e2 ? 1

时,tan ? =

1 ? 2 = e ? 1 ? 3 且 0 ? ? ? .于是 a 2

? ?? ?

2? 3? ? e 2 ? 1 ,且当 n ? 2 时, n? ? ? ? 2? ? ? ? ? e2 ? 1 .因此对一切 3 2

n ? N * , axn ?

n? ? ? e2 ? 1

? 1 ,所以 g( axn ) ? g (1) ? e ?

a2 ? 1 .故( ? )式亦恒成立. a

综上所述,若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

第 15 页(共 15 页)

山东世纪金榜科教文化股份有限公司


相关文章:
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版).doc
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)_高考_高中教育_教育专区。2015年高考湖南理科数学试题(含详解纯WORD版) 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南...
2015年湖南高考理科数学试题及答案word精校版(湖南卷).doc
2015年湖南高考理科数学试题及答案word精校版(湖南卷) - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) (理科) 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 ...
2015年高考湖南卷理科数学试题(WORD版).doc
2015年高考湖南理科数学试题(WORD版) - 绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理科) 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 ...
2015年湖南高考理科数学试题(word图文).doc
2015年湖南高考理科数学试题(word图文)_高考_高中教育_教育专区。2015年 湖南 高考 理科 数学试题 word 2015 年湖南高考理科数学试题(答案) 1 2 3 4 5 6 7 ...
2015年高考试题理科数学(湖南卷)Word版部分含解析.doc
2015年高考试题理科数学(湖南卷)Word版部分含解析 - 绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理科) 本试卷包括选择题、填空题和...
2015年湖南省高考理科数学试题word版.doc
2015年湖南省高考理科数学试题word版 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) (理科) 本试题包括选择题, 填空题和解答题三部分, 共 6 页, 时间 120 ...
2015高考试题数学理(湖南卷)word版.doc
2015高考试题数学理(湖南卷)word版 - 绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理科) 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共...
2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版).doc
2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版) - 湖南师大附中张天平整理 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 本试题包括选择题,填空题和...
湖南省2015年高考理科数学试题与答案(word版).doc
湖南省2015年高考理科数学试题答案(word版) - 湖南省 2015 年高考理科数学试题答案 (word 版) 本试题答案共 13 页,满分 150 分,时间 120 分钟, 一、...
2015年湖南省理科高考真题数学卷word版(附答案).doc
2015年湖南省理科高考真题数学word版(附答案) - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖南卷) (理科) 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,...
2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(全WORD版).doc
2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(全WORD版) - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,...
2015年高考真题理科数学(湖南卷) Word版含解析(部分).doc
2015年高考真题理科数学(湖南卷) Word版含解析(部分) - 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,时间 120 分钟,满分 150 分. 一.选择题:本...
2015年高考真题理科数学(湖南卷) Word版含解析(部分).doc
2015年高考真题理科数学(湖南卷) Word版含解析(部分) - 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,时间 120 分钟,满分 150 分. 一.选择题:本...
2015高考真题数学理(湖南卷)Word版含解析_图文.doc
2015高考真题数学理(湖南卷)Word版含解析 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) (理科) 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,时间...
2015高考试题湖南理科数学word.doc
2015高考试题湖南理科数学word - 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分
2015年湖南高考理科数学试题及答案.doc
2015年湖南高考理科数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2015年湖南高考理科数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2013年湖南高考...
142015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版).doc
142015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版) - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页...
2015年湖南高考理科数学试题及答案解析(word精校版).doc
2015年湖南高考理科数学试题及答案解析(word精校版) - 2015 年湖南高考理科数学试题及答案解析 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,时间 120 分钟,...
2015年高考真题(湖南卷)理科数学试卷(Word版,含解析).doc
2015年高考真题(湖南卷)理科数学试卷(Word版,含解析) - 本试题包括选
2015年湖南高考试题理科数学答案_图文.ppt
2015年湖南高考试题理科数学答案_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 2015年湖南高考试题理科数学答案_高考_高中教育_教育专区。 ...
更多相关标签: