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理科数学答案

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长郡中学高二年级 2012 年上学期第一次模块考试

高二理科数学试卷
命题人、审题人:高二理科数学备课组 分值:150 分 时量:120 分钟 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( C )
3 2

A.不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

B. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

D. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

2.如果复数 A.0

1 ? bi 1? i

(b ? R) 的实部和虚部互为相反数,则 b 等于( A )
B.1 C.-1 D.2 ( B ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 父母吸烟 父母不吸烟 83 522 605
2

3.在△ ABC 中,“sinA= A.充分不必要条件 C.充要条件

3 ”是“ A ? ”的 3 2

?

4.为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系,调查了 1520 青少年及其家长,得数据如下 合计 320 1200 1520 子女吸烟 子女不吸烟 合计
2

237 678 915

经过独立性检验计算得 K 的观测值 k ? 附表:

1520 ? ? 237 ? 522 ? 83 ? 678? ? 32.52 . 915 ? 605 ? 320 ?1200

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,则下列结论较准确的一个是( D ) A.子女吸烟与父母吸烟无关 B.有 95% 的把握说子女吸烟与父母吸烟有关
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C.有 99% 的把握说子女吸烟与父母吸烟有关 D.有 99.9% 的把握说子女吸烟与父母吸烟有关

3? ) 与坐标轴围成的面积是( C ) 2 5 A.4 B. C.3 D.2 2 6. (3 ? x) 5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a5 ( x ? 1) 5 , 设 那么 a0 ? a2 ? a4 的值为 ( B )
5.曲线 y ? cos x(0 ? x ? A.123 B.122 C.246 D.244 ) 7.如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y ? f ' ( x) 的图象可能是( A

8.设 a1 , a 2 ,?, a n 是 1,2,?, n 的一个排列,把排在 a i 的左边且比 a i 小的数的个数 2 ? n .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的 称为 a i 的顺序数( i ? 1, , , ) 顺序数为 0.则在由 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的 顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( C ) A.48 B. 96 C. 144 D. 192 【答案】 C 提示:分析知 8 必在第 3 位,7 必在第 5 位; 若 5 在第 6 位,则有: A4 A2 ? 48 ,
3 2

若 5 在第 7 位,则有 C4 A4 ? 96 ,合计为 144 种.
1 4

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. )www.xkb1.com 9.随机变量 ? 服从二项分布,且 ? ~ B(10, 0.8) ,则 D(? ) ?
2

. 1.6

10 . 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (0, ? )(? ? 0) , 若 P(? ? 2) ? 0.023 , 则
A

P ? ? ? 2 ? =__________. 0.954
11. 如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交 圆 O 于 B, C 两点, PA ? 3, PB ? 1,则 ?C ? . 30? 第 11 题图
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P

B

O

C

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12..如图, AB 为 ?O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P ,若 AB ? 3, CD ? 1 ,则

sin ?APD =

.

【解析】连结 AD ,则 sin ?APD ?

AD ,又 ?CDP ? ?BAP , AP PD CD 1 ? ? , 从而 cos ?APD ? PA BA 3 1 2 2 2 所以 sin ?APD ? 1 ? ( ) ? . 3 3

第 13 题图

13.设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的 2 a b
. 5 .

离心率等于

14. 1、 3、 5、 组成没有重复数字且 1、 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 由 2、 4、 6 3 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 15.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中, 黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示: .... n=1 n=2

n=3

n=4 由此推断,当 n ? 7 时,黑色正方形互不相邻着色方案共有 .... 方形相邻着色方案共有 .. 【答案】 34, 94
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种,至少有两个黑色正

种.(结果都用数值表示)

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解析:设 n 个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为 an ,由图可知, ....

a1 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? 5 ? 2 ? 3 ? a1 ? a2 , a4 ? 8 ? 3 ? 5 ? a2 ? a3 ,
由此推断 a5 ? a3 ? a4 ? 5 ? 6 ? 13,

a6 ? a4 ? a5 ? 8 ? 13 ? 21, a7 ? a5 ? a6 ? 13 ? 21 ? 34
故黑色正方形互不相邻着色方案共有 34 种;新课标第一网 .... 由于给 7 个正方形着黑色或白色,每一个小正方形有 2 种方法,所以一共有

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 7 ? 128种方法, 由于黑色正方形互不相邻着色方案共有 21 种, ....
所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有 128 ? 34 ? 94 种着色方案。 .. 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)

1? ? 已知 ? x 2 ? ? 展开式中的二项式系数的和比 (3a ? 2b)7 展开式的二项式系数的和大 128 , x? ?
(Ⅰ)求 n 的值;

n

1? ? (Ⅱ)求 ? x 2 ? ? 展开式中的系数最大的项和系数最小的项 x? ?
解: (Ⅰ)由 2 ? 2 ? 128, n ? 8 ,
n 7

n

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3分

1 r 1? ? r 2 8? r r r 16 ?3 r (Ⅱ) ? x 2 ? ? 的通项 Tr ?1 ? C8 ( x ) (? ) ? (?1) C8 x x x? ?

8

6分

当 r ? 4 时,展开式中的系数最大,即 T5 ? 70x4 为展开式中的系数最大的项; 9 分 当 r ? 3, 或5 时,展开式中的系数最小,即 T2 ? ?56x7 , T6 ? ?56x 为展开式中的系数最小 的项 12 分 17. (本小题满分 12 分) 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘, 已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;
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(Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: (I)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D, E, F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B,丙不胜 C 的事件。 因为 P( D) ? 0.6, P( E ) ? 0.5, P( F ) ? 0.5, 由对立事件的概率公式知

?? ? ?? ?

?? ? ? ?? P(D) ? 0.4, P( E) ? 0.5, P(F ) ? 0.5,
红队至少两人获胜的事件有: DEF , DEF , DEF , DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

??

? ?

??

?? ?? ?? P ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.55. ??????? 6 分
(II)由题意知 ? 可能的取值为 0,1,2,3。

又由(I)知 DEF , DEF , DEF 是两两互斥事件, 且各盘比赛的结果相互独立, 因此 P(? ? 0) ? P( DEF ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.1,

??

?? ??

? ???

??? ???

??? ? ?? ?? ? ??? P(? ? 1) ? P(DEF ) ? P(DEF ) ? P(DEF )

? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.35
P(? ? 3) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.15.
由对立事件的概率公式得

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 0.4,
所以 ? 的分布列为:

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?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

因此 E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.35 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.15 ? 1.6.

????????? 12 分

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 , AD ? DC , AB 1
C1

DC ,且满足

C1

D1

C1

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ? 2
(Ⅰ)求证: DB ? 平面 B1BCC1 ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值.

A1

B1
D C B 1分 3分

解析: (Ⅰ)以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴, A

y 轴, z 轴,建立坐标系,则

D(0,0,0), B(1,1,0), C1 (0, 2, 2) A1 (1,0, 2), B1 (1,1, 2), C(0, 2,0)

??? ??? ? ? BD ? BC ? ?1 ? 1 ? 0 ? BD ? BC ,
??? ???? ? BD ? BB1 ? 0 ? BD ? BB1 .
? DB ? 平面 B1BCC1 .
(Ⅱ)设 n ? ( x, y, z) 为平面 A BD 的一个法向量. 1 由 n ? DA , n ? DB , DA ? (1,0, 2), DB ? (1,1,0) 得 1 1 5分

?

?

???? ? ?

??? ?

???? ?

??? ?

? ?x ? 2z ? 0 ,取 z ? 1 ,则 n ? (?2, 2,1) ? ? x? y ?0
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7分

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又 DC1 ? (0, 2, 2) , DB ? (1,1,0) , 设 m ? ( x , y , z ) 平 面 C1BD 法 向 量 , 由 为 1 1 1

???? ?

??? ?

??

?? ???? ?? ??? ? ? m ? PC1 , m ? DB ,得

?? ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ,取 z1 ? 1,则 m ? (1, ?1,1) ? ? x1 ? y1 ? 0 ?? ? 设 m 与 n 的夹角为 ? ,二面角 A1 ? BD ? C1 的夹角为 ? ,则 ? 为锐角
?? ? m?n 3 3 cos ? ? cos ? ? ?? ? ? ? 3 9? 3 m?n
3 . 3

9分

11 分

所以二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为 19. (本小题满分 13 分)

12 分

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综 合放射性污染指数 f ? x ? 与时刻 x (时) 的关系为 f ? x ? ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? , x ?1 3
2

其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射 2 性污染指数,并记作 M ? a ? . (Ⅰ)令 t ?

? 1? ? ?

x , x??0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标? 解: (Ⅰ)当 x=0 时,t=0

1 ? 2(当且仅当 x ? 1取等号 ) x x 1 1 ?t ? ? ? (0, ] 2 1 1? x 2 x? x
当 0< x≤24 时, x ?
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故 t 的取值范围是 ?0, ? 2 (Ⅱ)当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? 2?

? 1? ? ?
2

……………………4 分

? 1?

2 ? ??t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?
∵ ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, g 2

……………………8 分

? ?

1? ?

且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ? 0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? ? ? 故 M ?a? ? ? . ……………………10 分 ?? 1 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? g ? 0? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 4 2 ?
∴当且仅当 a ? 故当 0 ? a ?

4 时, M ? a ? ? 2 . 9

4 时不超标, 9 4 1 当 ? a ? 时超标. 9 2

……………………13 分

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的上顶点为 A ,右焦点为 F ,直线 AF 与圆 M : 2 a
y A F O 第 8 页P 共 11 页 Q x

x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,
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且 AP ? AQ ? 0 .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解析: (Ⅰ)由已知圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 . 故圆心 M (3,1) ,半径 r ? 3 又 A(0,1) , F (c,0)(c ? 故 AF 方程: 1分

??? ???? ?

a 2 ? 1)
3分

x ? y ? 1 ? x ? cy ? c ? 0 . c

由直线 AF 与圆 M 相切,有

3? c ?c c2 ? 1

? 3

? c 2 ? 2 ,故 a 2 ? 3 .
所求椭圆为

x2 ? y2 ? 1 3

5分

(Ⅱ)由 AP ? AQ? 0 ,知 AP ? AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直.设 AP 方程为

??? ???? ?

1 y ? kx? 1 ,则 AQ 方程为 y ? ? x ? 1 (k ? 0) . k

? y ? kx ? 1 6k 1 ? 3k 2 ? 2 2 2 , ) 由 y ? ?x ,得 (1 ? 3k ) x ? 6kx ? 0 .故点 P(? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? ? y ?1 ?3
6k k 2 ? 3 , ) 同理,点 Q( 2 k ? 3 k2 ? 3

7分

8分

k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 k 2 ?1 ? 直线 l 的斜率为 k ? 3 1 ? 3k 6k 6k 4k ? (? ) 2 2 k ?3 1 ? 3k
直线 l 的方程为: y ?

10 分

k 2 ?1 6k k2 ?3 (x ? 2 )? 2 4k k ?3 k ?3

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即y?

k 2 ?1 1 x? 4k 2

12 分

故直线 l 经过定点 (0, ? ) .

1 2

13 分

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1 ? x 2 ) (Ⅰ)探究函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? ax ,试求 a 的取值范围.
3

(Ⅲ)令 an ?

1 1 1 6n 1 1 ( ) ? ln[( )2 n ? 1 ? ( ) 4 n ],(n ? N ? ) ,试证明: a1 ? a2 ? ? ? an ? . 3 9 2 2 2

解:(1)函数的定义域为 R . 由 f ?( x) ? 1 ?

1 1 ? x2

? 0 ,知 f ( x) 是实数集 R 上的增函数.

2分

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax3 ? x ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ? ax3 ,. 则 g ?( x ) ?

1 ? x 2 (1 ? 3ax 2 ) ? 1 1 ? x2

令 h( x) ? 1 ? x 2 (1 ? 3ax 2 ) ? 1, 则 h?( x) ?

(1 ? 6a) x ? 9ax3 1 ? x2

?

x[(1 ? 6a) ? 9ax 2 ] 1 ? x2

.

3分

(i)当 a ?

1 时, h?( x) ? 0 .从而 h( x) 是 [0, ??) 上的减函数. 6

注意到 h(0) ? 0 , x ? 0 时,h( x) ? 0 .所以 g ?( x) ? 0 , 则 进而 g ( x) 是 [0, ??) 上的减函数. 注意到 g (0) ? 0 ,则 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? ax .
3

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(ii)当 0 ? a ?

1 1 ? 6a 1 ? 6a 时,在 [0, ) 上,总有 h?( x) ? 0 ,从而知,当 x ? [0, ) 时, 6 9a 9a

f ( x) ? ax3 .
(iii)当 a ? 0 时, h?( x) ? 0 ,同理可知 f ( x) ? ax3 . 综上,所求 a 的取值范围是 [ , ??) . (3)在(2)中,取 a ? 则 x ? [0, 即

1 6

7分

1 , 9

1 3 ) 时, x ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ? x 3 , 9 3

1 3 1 x ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ? x ,取 x ? ( ) 2 n , 9 2 1 1 (1 ? ( )n ) 4 ?1, 则? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 4 1 3 1? 4 1 1 (1 ? ( )n ) 4 ?1. ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 4 1 3 1? 4

13 分

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