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福建省宁德市2017届高三毕业班第二次质量检查数学(文)试题 Word版含答案


2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 4 至 6 页,满分 150 分. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)已知集合 A ? ? x | x( x ? 3) ? 0? , B ? ?0,1, 2,3, 4? ,则 A ? B ? (A) ?0,1, 2,3? (B) ?1, 2,3? (C) ?1, 2? (D) ?2,3?

(2)甲、乙两名选手参加歌手大赛时,5 名评委的打分用茎叶图表示如图, x1 , x2 分别表示甲、 乙选手分数的中位数, s1 , s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差,则 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (3)已知 cos(? ? ? ) ? (A) ? (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2 5 甲 8 4 1 2 7 8 9 乙 6 7 0 3 4

5 , ? ? ? 0, ? ? ,则 sin 2? ? 5

4 5

(B)

4 5

(C) ?

3 5

(D)

3 5

(4)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1, 2,3 ,蓝色卡片两张,标号分别 为 1, 2 , 从以上五张卡片中任取两张, 则这两张卡片颜色不同且标号之和不小于 4 的概率 为 (A)

1 10

(B)

3 10

(C)

2 5

(D)

7 10

(5)下列函数中,既是奇函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为 (A) y ? x sin x (B) y ? ln x (C) y ? x(2 ? x ) (D) y ? e x ? e? x (6)阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,则 输出的结果是 开始
k ?1
a? 2 ,b ? 0 3
2 a ? k ? ( )k 3
k ? k ?1

-1-

b?a

b ? 1? a



(A) 1

8 9 2 (C) 3 1 (D) 2
(B) (7)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 与 y 轴交于 A, B 两点, 8 b2

F1 , F2 为该椭圆的左、右焦点,则四边形 AF1 BF2 面

积的最大值为 (A) 4 (B) 4 3 (C) 8 (D) 8 3 2 是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方 2 式.我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的 廊桥等建筑都用到了榫卯结构.如图所示是一种榫 卯构件中榫的三视图,其表面积为 (A) 12 ? 24? (B) 12 ? 20? (C) 14 ? 24? (D) 14 ? 20? (9)若函数 f ( x) 同时满足以下三个性质: ① f ( x) 的最小正周期为 ? ; 俯视图 4 正视图 4 侧视图 4

(8)榫卯(s?n m?o)是我国古代工匠极为精巧的发明,它 1

? ? ② f ( x) 在 ( , ) 上是减函数; 4 2 ? ③ 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? ) ? f (? x) ? 0 . 则 f ( x) 的解析式可能是 4 ? (A) f ( x) ? sin(2 x ? ) (B) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 4
(C) f ( x) ? cos(2 x ?

3? ) 4

? (D) f ( x) ? ? tan( x ? ) 8

(10)直角梯形 ABCD 中, AD / / BC , AB ? AD , BC ? 2 AB ? 2 AD ? 2 2 ,若沿 BD 折成直 二面角 A ? BD ? C ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积为 (A) ?? (B) ?? (C) ?? (D) ???

-2-

(11)已知 F 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, P 是 y 轴正半轴上一点,以 OP a 2 b2 ???? ? ???? 为直径的圆与 C 的渐近线在第一象限的交点为 M ,若 FM ? 5MP ,则 C 的离心率为
(B) 5 (C) 6 (D)
7

(A) 3

?? x ? 1, x ? 1, 1 ( 12 )已知函数 f ( x) ? ? x g ( x) ? ,若对任意 x ?? m, ?? ? (m ? 0) ,总存在两个 x ?2 ? 2, x ? 1,

x0 ? ?0, 2? ,使得 f ( x0 ) ? g( x) ,则实数 m 的取值范围是

(A) ?1, ?? ?

(B) ? 0,1?

?1 ? (C) ? , ?? ? ?2 ?

? 1? (D) ? 0, ? ? 2?

2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学 第 II 卷 注意事项: 第 II 卷共 3 页,须用黑色签字笔在答题卡上书写作答.若在试卷上作答,答案无效.

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)若复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 ? i) z ? 3 ? i ,则 z ? (14)已知向量 a ? (1, ?1) , b ? (?2, y) ,若 a / / b ,则 a ? b = (15)若函数 f ( x) ? 是_____. (16)一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 600 的方向航行 30 n mile 后到海岛 B ,然后从 B 出发沿 南偏东 600 的方向航行 50 n mile 到达海岛 C . 如果下次航行此船沿南偏东 ? 角的方 . .

2 3 x ? (2a ? 1) x2 ? 4ax 在区间 ? a ? 1, 3a ? 内有极值,则 实 数 a 的 取 值 范围 3

-3-

向,直接从 A 出发到达 C ,则 cos ? 的值为____________. 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? c (c ? R) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 (1 ? Sn ) ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

(18)(本小题满分 12 分) 某渔业公司为了解投资收益情况,调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近 10 个月的利润 情况.根据所收集的数据得知,近 10 个月总投资养鱼场一千万元,获得的月利润频数 分布表如下: 月利润(单位: 千万元) 频数 -0.2 2 -0.1 1 0 2 0.1 4 0.3 1

近 10 个月总投资远洋捕捞队一千万元,获得的月利润频率分布直方图如下: 频率/组距 1.5 1 0.5

-0.4 -0.2 0

0.2 0.4 0.6

月利润(千万元)

(Ⅰ)根据上述数据,分别计算近 10 个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润; (Ⅱ)公司计划用不超过 6 千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队,假设投资养鱼场 的资金为 x ( x ? 0) 千万元,投资远洋捕捞队的资金为 y ( y ? 0) 千万元,且投资养鱼场 的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的 2 倍.试用调查数据,给出公司分配投资金额 的建议,使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最大.

-4-

(19)(本小题满分 12 分) 如图所示的多面体中,四边形 ABCD 是正方 形,平面 AED ? 平面 ABCD , EF // DC ,
E F C

1 ED ? EF ? CD ? 1, ?EAD ? 300 . 2
(Ⅰ)求证: AE ? FC ; (Ⅱ)求点 D 到平面 BCF 的距离.
A

D

B

(20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 E : y 2 ? 4 x 的准线为 l ,焦点为 F , O 为坐标原点. (Ⅰ)求过点 O, F ,且与 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)过 F 的直线交抛物线 E 于 A, B 两点, A 关于 x 轴的对称点为 A? ,求证:直线 A?B 过定点.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) , g ( x) ?

x . ex

1 (Ⅰ)若函数 f ( x) 的最小值为 ? ,求实数 a 的值; e
(Ⅱ)当 a ? 0, x ? 0 时,求证: g ( x) ? f ( x) ?

2 . e

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题 号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? m+t cos ? , 在直角坐标系 xOy , 直线 l 的参数方程是 ? ( t 是参数) . 在以 O 为极点,x 轴 ? y ? t sin ? .

正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C : ? ? 4cos? . (Ⅰ)当 m ? ?1 , ? =300 时,判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)当 m ? 1 时,若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,设 P(1,0) ,且 PA ? PB ? 1 ,求直

-5-

线 l 的倾斜角.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 2 x ? t ? t ? R ? . (Ⅰ)当 t ? 3 时, 解关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 ; (Ⅱ) ?x ? R , 使得 f ( x) ? ?5 ,求 t 的取值范围.

2017 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文科数学参考答案及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分 细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)C (7)C (2)D (8)A (3)A (9)B (4)B (10)C (5)D (11)C (6)B (12)A

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 5 ; (14) ?4 ; (15) ?1, ?? ? ;
1 (16) . 7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17)本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识;考查推理论证与运算求 解能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)∵ Sn ? 3n ? c , ∴ a1 ? S1 ? 3 ? c, a2 ? S2 ? S1 ? 6, a3 ? S3 ? S2 ? 18 , ············· 3 分 ∵ ?an ? 是等比数列,

-6-

∴ a22 ? a1a3 ,即 36 ? 18(3 ? c) , ····················· 4 分 解得 c ? ? 1 . ∴ a1 ? 2, q ? ···························· 5 分

a2 ? 3, a1

∴ an ? 2 ? 3n?1 . ···························· 6 分 (Ⅱ)∵ Sn ? 3n ? 1, bn ? log3 (1 ? Sn ) ? n , anbn ? 2n ? 3n?1 , ·········· 7 分 ∴ Tn ? 2 ? 30 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? (2n ? 2) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 , ①········· 8 分 ∴ 3Tn ? 2 ? 31 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? ? ? (2n ? 2) ? 3n?1 ? 2n ? 3n , ② ········· 9 分 ①-②得,

(1 ? 3)Tn ? 2 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n?1 ? 2n ? 3n ············ 10 分

?

2(1 ? 3n ) ? 2n ? 3n 1? 3

? (1 ? 2n) ? 3n ? 1. ························ 11 分

1 1 ∴ Tn ? (n ? ) ? 3n ? . ························· 12 分 2 2
(18)本题主要考查不等式、统计基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)近 10 个月养鱼场的月平均利润为

?0.2 ? 2 ? 0.1?1 ? 0 ? 2 ? 0.1? 4 ? 0.3 ?1 ? 0.02 (千万元).……………………….. 3 分 10
近 10 个月远洋捕捞队的月平均利润为
?0.3 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 ? 0.1 ? 1 ? 0.1 ? 0.2 ? 1 ? 0.3 ? 0.2 ? 1.5 ? 0.5 ? 0.2 ? 1 ? 0.16 (千万元).

·································· 6 分

?x ? 0 ?y ? 0 ? x , y , ………………………………………..8 分 (Ⅱ)依题意得 满足的条件为 ? x ? y ? 6 ? ? ?x ? 2 y
设两个项目的利润之和为 z ,则 z ? 0.02 x ? 0.16 y ,…………….………………….9 分 如图所示,作直线 l0 : 0.02 x ? 0.16 y ? 0 ,平移直线 l0 知其过点 A 时, z 取最大值, ·································· 10 分
y

A
l0
x

-7-

O

B

由?

?x ? y ? 6 ?x ? 4 , 得? , 所以 A 的坐标为 (4, 2) ,……………………………………..11 分 x ? 2 y y ? 2 ? ?

此时 z 的最大值为 0.02 ? 4 ? 0.16 ? 2 ? 0.4 (千万元) , 所以公司投资养鱼场 4 千万元,远洋捕捞队 2 千万元时,两个项目的月平均利润之和最大. ………………………………………………………………………………………………..12 分 (19)本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识;考查空间想 象能力、运算求解能力及推理论证能力,满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)? 四边形 ABCD 是正方形,
?CD ? AD ,

又 平面ADE ? 平面ABCD , 平面ADE ? 平面ABCD ? AD , CD ? 平面ABCD ,
? CD ? 平面ADE , ·························· 2 分

又 AE ? 平面ADE ,
? CD ? AE , ···························· 3 分

DE ? 1 , ?EAD ? 30? , ? 在 ?ADE 中, AD ? 2,

由余弦定理得, AE ? 3 ,? AE 2 +DE 2 ? AD 2 ,? AE ? ED . ········· 4 分 又 CD ? ED=D ,
? AE ? 平面EFCD . ·························· 5 分

又 FC ? 平面EFCD
? AE ? FC .

···························· 6 分

(Ⅱ)连结 DF ,由(Ⅰ)可知, AE ? 平面CDEF ,

? 四边形 ABCD 是正方形 ? AB // DC
又 DC ? 面CDEF , AB ? 面CDEF
? AB // 面CDEF

? A 到 面CDEF 的距离等于 B 到 面CDEF 的距离. 即 B 到面 DFC 的距离为 AE.
·································· 7 分 在直角梯形 EFCD 中, EF =1, DE=1, DC=2 ,
? FC= 2 ,

····························· 8 分

-8-

1 ? S?CDF ? ? DC ? DE ? 1 , 2

1 3 VB ?CDF ? S?CDF ? AE ? ··········· 9 分 3 3

在直角梯形 EFBA 中, EF =1, AE= 3, AB=2, 可得 BF=2, 在等腰 ?BFC 中, BC ? BF ? 2 , FC ? 2
? S ?BFC ? 1 14 7 ? 2? ? , 2 2 2

····················· 10 分
E F

设点 D 到平面 BFC 的距离为 d,
1 3 , ? VD ? BCF ? VB ?CDF ,即 VD ? BCF ? S?BFC ? d ? 3 3
D A B C

?d =

3 S?BFC

?

2 21 7

? 点 D 到平面 BCF 的距离为
解法二: (Ⅰ)同解法一

2 21 . ·················· 12 分 7

(Ⅱ)过点 E 做 EH ? AD交AD于点H , 连结 FD .
? 平面ADE ? 平面ABCD , 平面ADE ? 平面ABCD=AD , EH ? 平面ADE

? EH ? 平面ABCD , 在 Rt ?AED 中, EH =

3 , ············· 7 分 2

又 EF // DC , ? DC ? 面ABCD ,? EF ? 面A B CD

? EF // 面ABCD

? E 到面 ABCD 的距离等于 F 到面 ABCD 的距离 ··············· 8 分
1 1 3 3 ?VF ? BCD ? S ?BCD ? EH ? ? 2 ? ? . 3 3 2 3

9分

E D H

F C

在直角梯形 EFBA 中, EF =1, AE= 3,
DC=2 , AB=2 ,可得 BF =2,
A

B

? S ?BFC ?

1 14 7 ? 2? ? 2 2 2

······················ 10 分

设 D 点到平面 BFC 的距离为 d,
?VD ? BCF ? VF ? BCD ,
3 1 即 S?BCF ? d = 3 3

?d =

3 S?BFC

?

2 21 , 7

-9-

? 点 D 到平面 BCF 的距离

2 21 . ··················· 12 分 7

(20)本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算 求解能力、推理论证能力;考查特殊与一般的思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)抛物线 E : y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程为: x ? ?1 ,焦点坐标为 F(1,0), 设所求圆的圆心 C (a, b) ,半径为 r , ∵圆 C 过 O, F,∴ a ? 1分

1 , ······················· 2 分 2 1 3 ? (?1) ? . ············· 3 分 2 2

∵圆 C 与直线 l : x ? ?1 相切,∴ r ?
2

3 ?1? 由 r ? CO ? ? ? ? b2 ? ,得 b ? ? 2 . ················ 4 分 2 ? 2?

1 2 9 2 ? 过 O, F,且与直线 l 相切的圆的方程为 (x- ) +(y ? 2) = . ······· 5 分 2 4
(Ⅱ)依题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ,
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , (x1 ? x2) , A?( x1 , ? y1 ) , ··············· 6 分

? y ? k ( x ? 1) 联立 ? 2 , 消去 y 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 . ········· 7 分 y ? 4 x ?

? x1 +x2 =

2k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1. ······················ 8 分 k2
y2 ? y1 ( x ? x2 ) , ··············· 9 分 x2 ? x1

∵直线 BA? 的方程为 y ? y2 ?

?令 y ? 0 ,
得x?
? ? x2 y1 ? x1 y2 y1 ? y2

··························· 10 分

x2 k ( x1 ? 1) ? x1k ( x2 ? 1) k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ?1 . ······················ 11 分 ?2 ? ( x1 ? x2 )

直线 BA? 过定点 ? ?1, 0 ? . 解法二: (Ⅰ)同解法一.

······················· 12 分

(Ⅱ)直线 BA? 过定点 M ? ?1, 0 ? . ···················· 6 分 证明:依题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ,
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , (x1 ? x2) , A?( x1 , ? y1 ) , ··············· 7 分

- 10 -

? y ? k ( x ? 1) 联立 ? 2 , 消去 y 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ··········· 8 分 ?y ? 4x

? x1 +x2 =

2k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1. ······················ 9 分 k2
? y1 y x y +x y +y ? y2 ? 2 ?? 2 1 1 2 1 ·············· 10 分 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

? k A?M ? k BM ?

? x2 y1 +x1 y2 +y1 ? y2 = k ( x1 ? 1) x2 +k ( x2 ? 1) x1 + k( x1 +x2 ? 2)

= 2kx1 x2 ? 2k = 2k ? 1 ? 2k =0 . ·············· 11 分
? k A?M ? kBM =0 ,即 k A?M =kBM ,
A?、B、M 三点共线,

? 直线 BA? 过定点 ? ?1, 0 ? .
解法三:(Ⅰ)同解法一.

······················ 12 分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程: x ? my ? 1 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A?( x1 , ? y1 ) . ·· 6 分
? x ? my ? 1 由? 2 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ··················· 7 分 y ? 4 x ?
? y1 +y2 =4m, y1 ? y2 ? ?4 . ························ 8 分

∵ k BA? ?

y2 ? y1 y2 ? y1 4 ? 2 ? , 2 y1 x2 ? x1 y2 y2 ? y1 ? 4 4
4 ( x ? x2 ) . ··············· 9 分 y2 ? y1

∴直线 BA? 的方程为 y ? y2 ?
4 ( x ? x2 )+y2 y2 ? y1 4 x2 4 x +y2 ? y2 ? y1 y2 ? y1

?y ? = ? ?
?

y 2 ? y1 y2 ? 4 x2 4 x? 2 y2 ? y1 y2 ? y1 4 4 x? y2 ? y1 y2 ? y1
4 ( x ? 1) . ·························· 11 分 y2 ? y1

? 直线 BA? 过定点 ? ?1, 0 ? . ······················· 12 分
(21)本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 考查化归与转化思想、函数与方程的思想、数形结合思想.满分 14 分. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? 1 ? ln x( x ? 0) , ··················· 1 分

- 11 -

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e? a ?1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e? a ?1 , ∴ f ( x) 在 (0,e?a ?1 ) 递减,在 (e?a ?1 ? ?) 递增. ··············· 3 分

1 ∴ f ( x)min ? f (e? a ?1 ) ? e? a ?1 (a ? ln e? a ?1 ) ? ?e? a?1 ? ? . ············ 4 分 e
∴ a ? 0 . ······························· 5 分

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 x ln x ? ? , e
1 1 ∴当 a ? 0, x ? 0 时, f ( x) ? x(a ? ln x) ? ax ? x ln x ? x ln x ? ? ,即 f ( x) ? ? . · 7 分 e e
∵ g ( x) ?

x 1? x , g ?( x) ? x ( x ? 0) , ··················· 8 分 x e e

由 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , ∴ g ( x) 在 (0,1) 递增,在 (1, ??) 递减. ·················· 9 分

1 ∴ g ( x) ? g (1) ? , ·························· 10 分 e 1 1 2 2 ∴ g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? f ( x)? ? ? ? ,即 g ( x) ? f ( x) ? . ········ 12 分 e e e e
(22)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解: (Ⅰ)由 ? ? 4cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,又 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 得曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,…………………………… 2 分 所以曲线 C 是以 M (2, 0) 为圆心,2 为半径的圆.
? 3 x ? ?1 ? t, ? ? 2 ( t 为参数) 由直线 l 的参数方程为 ? , ? y ? 1 t, ? ? 2

得直线 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 . …………………………4 分 由圆心 M 到直线 l 的距离 d ?
| 2 ? 0 ? 1| 1? 3 ? 3 ? 2, 2

故直线 l 与曲线 C 相交. ……………………………………………………5 分 (Ⅱ)直线 l 为经过点 P(1, 0) 倾斜角为 ? 的直线,
? x ? 1 ? t cos ? 由? 代入 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,整理得 y ? t sin ? ?
- 12 -

t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 ,………………………………………………………6 分

? ? (2cos ? )2 ? 12 ? 0 ,

设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 2cos ? , t1 ? t2 ? ?3 ? 0 , 所以 t1 , t 2 异号, …………………………………………………………7 分 则 || PA | ? | PB ||?| t1 ? t2 |?| 2cos ? |? 1 ,…………………………………8 分 所以 cos ? ? ?

1 2

又 ? ? ? 0, ? ? ……………………………………………9 分

所以直线 l 的倾斜角 ? ?

? 2? 或 . 3 3

…………………………………10 分

(23)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分.

3 1 ? 3 ? 1 ? ?x ? , ?? ? x ? , ?x ? ? , 2 2 解(Ⅰ)原不等式可化为 ? 2 或? 2 或? .....3分 ? ? ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1 ?2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1 ??2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1.
1 3 1 解得 x ? ? 或 ? ? x ? 或 x ? ? .. 2 4 2
? 综上,原不等式的解集是 ? x x ? ?

.............................4 分

3? ? .........................................5 分 4?

(Ⅱ)解: ?x ? R, 使 f ( x) ? ?5 ,等价于 f min ( x) ? ?5 .......................6 分

? f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? t ? ? 2x ?1? ? ? 2x ? t ? = 1+t ....................7 分
?? 1+t ? f ( x) ? 1+t ,

所以 f ( x) 取得最小值 ? 1+t .....................................8 分
?? 1+t ? ?5 ,

得 t ? 4 或 t ? ?6,

? 6? ? ?4 , ? ?? .................................10 分 ? t 的取值范围是 ? ??,

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