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2011届高考数学二轮复习专题七第2讲统计、统计案例


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专 题 七 概 率 与 统 计 、 算 法 初 步 、 复 数

第2讲

统计、统计案例

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1.统计 (1)抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. (2)利用样本频率分布估计总体分布 ①频率分布表和频率分布直方图. ②总体密度曲线. ③茎叶图.
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(3)用样本的数字特征估计总体的数字特征 ①众数、中位数. x1+x2+…+xn ②平均数 x = . n ③方差与标准差 1 2 方差 s = [(x1 - x )2 +(x2 - x )2 +…+(xn - n x )2]. 标准差 s= 1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]. n

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2.变量之间的相关关系 (1)散点图. (2)线性相关性 回归直线方程为y=bx+a,则 ? n n ? ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y ? i=1 ? ^ i=1 = ?b = n n ? 2 ? ?xi- x ? ?x2-n x 2 ? i i=1 i =1 ? ?^ ^ ? a= y -b x ?
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^ ^ ^

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3.统计案例 (1)回归分析的基本思想及其初步应用 ①随机误差; x , )称为样本点的中心; ②( y ③总偏差平方和;④残差;⑤残差平方和;⑥ 回归平方和;⑦残差分析;⑧残差图. (2)用相关指数可以刻画回归的效果, 其计 算公式是

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?
i=1

n

^ 2 ?yi-yi?

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R2=1-

? ?yi- y ?2
i=1

n

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(3)独立性检验的基本思想及其初步应用 n?ad-bc?2 K2= , ?a+b??c+b??a+c??b+d? 其中 n=a+b+c+d 为样本容量. 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可 以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两 个分类变量的独立性检验.
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典例精析 题型一 抽样方法
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例1 (2010年高考湖北卷)将参加夏令营的600名学生 编号为:001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一 个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名 学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301 到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区 被抽中的人数依次为( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9

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【解析】∵总体数为600,样本的容量是50, ∴600÷50=12. 因此,每隔12个号能抽到一名,由于随机抽得第一 个号码为003,按照系统抽样的操作步骤在第Ⅰ营 区应抽到25人,第Ⅱ营区应抽到17人,第Ⅲ营区应
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抽到8人,故选B. 【答案】B

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【题后点评】(1)解决有关随机抽样问题首先要 深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围,如分 层抽样,适用于数目较多且各部分之间具有明显 差异的总体. (2)系统抽样中编号的确定和分层抽样中各层人
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数的确定是高考重点考查的内容.

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变式训练 1.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从 中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职

工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组
(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出 的号码为22,则第8组抽出的号码应是_________.

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若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取
_______人.

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解析:(1)设第 1 组抽出的号码为 n,则第 5 组抽 200 出的号码是 n+4× =n+20=22,故 n=2. 40 200 所以第 8 组抽出的号码是 2+7× =37. 40 (2)40 岁以下年龄段应抽取的人数占总抽取人数 的 50%, 40 岁以下年龄段应抽取 40×50%=20 人. 故

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答案:37

20

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题型二

频率分布直方图或频率分布表

例2 (2010年高考北京卷)从某小学随机抽取100名 同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频 率分布直方图(如图).由图中数据可知a=______.若 要从身高在[120,130),[130,140),[140, 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人
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参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生
中选取的人数应为________.

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【解析】 ∵0.005×10+0.035×10+a×10 +0.020×10+0.010×10=1,∴a=0.030. 设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组 x 各有 x,y,z 人,∴ =0.030×10,∴x=30, 100 同理 y=20,z=10. 10 ∴从[140,150]中抽取 ×18=3. 30+20+10

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【答案】

0.030

3
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【题后点评】解决该类问题时,应正确理解图表 中各量的意义,通过图表掌握信息是解决该类问 题的关键.频率分布指的是样本数据在各个范围内 所占的比例的大小,一般用频率分布直方图反映

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样本的频率分布.

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变式训练 2.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车 辆驾驶员血液酒精度在20~80 mg/100 mL(不含80) 之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下
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驾驶证,并处200元以上500元以下罚款;血液酒精浓
度在80 mg/100 mL(含80)以上时,属醉酒驾车,处 十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证, 并处500元以上2000元以下罚款.据《法制晚报》报道, 2009年8月15日至8月28日,全国查处酒后驾车和醉酒
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驾车共28800人,

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如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行 检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾

车的人数约为(
A.2160 C.4320


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B.2880 D.8640

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解析:选C.由题可知,属于醉酒驾车的酒精含量 为80 mg/100 mL及以上,其占有的频率为

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(0.01+0.005)×10=0.15,所以查处的醉酒驾车
的人数为28800×0.15=4320人,故选C.

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题型三

茎叶图

例3 (2010年高考天津卷)甲、乙两人在10天中每 天加工零件的个数用茎叶图表示如图所示,中间一
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列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示
零件个数的个位数,则这10天中甲、乙两人日加工 零件的平均数分别为_________和________.

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1 【解析】 x 甲= ×(19+18+20+21+23+ 10 22+20+31+31+35)=24, 1 x 乙 = ×(19+17+11+21+24+22+24 10 +30+32+30)=23.

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【答案】24

23

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【题后点评】(1)茎叶图的优点是保留了原始数 据,便于记录及表示,能反映数据在各段上的分
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布情况.
(2)在作茎叶图或读茎叶图时,首先要弄清楚
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“茎”和“叶”分别代表什么.

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变式训练 3.某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其 与原有的一个优良品种B进行对照试验.两种小麦各种 植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品种A:357,359,367,368,375,388,392,399, 400,405,412,414,415,421,423,423,427, 430,430,434,443,445,445,451,454 品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,
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394,394,395,397,397,400,401,401,403,
406,407,410,412,415,416,422,430

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(1)作出品种A、B亩产数据的茎叶图;
(2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (3)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳 定性进行比较,写出统计结论.
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解:(1)茎叶图如图所示:
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(2)由于每个品种的数据都只有25个,样本容量 不大,画茎叶图方便,茎叶图不仅清晰地展示了数 据的分布情况,便于比较,没有任何信息损失,而 且还可以随时记录新的数据.
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(3)通过观察茎叶图可以看出:
①品种A的亩产平均数比品种B大; ②品种B的亩产量比品种A的亩产量更集中.

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题型四

众数、中位数、平均数、方差、标准差

例4 (2009年高考上海卷)在发生某公共卫生 事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内 没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天, 每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、

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乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该
标志的是( )

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A.甲地:总体均值为3,中位数为4 B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0 C.丙地:中位数为2,众数为3 D.丁地:总体均值为2,总体方差为3
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专 题 七 概 率 与 统 计 、 算 法 初 步 、 复 数

【解析】 逐项验证,由 0,0,0,2,4,4,4,4,4,8 可知,A 错; 由 0,0,0,0,0,0,0,0,2,8 可知,B 错; 由 0,0,1,1,2,2,3,3,3,8 可知,C 错. D 中 x =2, ?x1-2?2+?x2-2?2+…+?x10-2?2 =3, 10 即(x1 -2)2 +(x2 -2)2 +…+(x10 -2)2 =30,显然(xi -2)2≤30(i=1,2,…,10), 即 xi≤7.故选 D.
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【答案】

D

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【题后点评】求解选择题时要善于从题目的特点

出发,灵活选用简洁、恰当的方法进行求解,特
值排除法是解决选择题的一种重要方法,例如本 题通过列举具体的数值;一一进行检验,排除了 错误选项,获得了正确答案.

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专 题 七 概 率 与 统 计 、 算 法 初 步 、 复 数

变式训练 4.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,

5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数
如下表 学生 1号 2号 3号 4号 5号
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甲班
乙班

6
6

7
7

7
6

8
7

7
9

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则以上两组数据的方差中较小的一个为s2=__________.

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1 解析: x 甲= (6+7+7+8+7)=7, 5 1 2 s 甲= [(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2] 5 2 = . 5 1 x 乙= (6+7+6+7+9)=7, 5 1 2 s 乙= [(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2] 5 6 2 2 2 2 = .由于 s甲<s乙,∴s = . 5 5 2 答案: 5

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题型五

回归分析与独立性检验

例5 (本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用
简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人, 结果如下:
性别 男 女
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是否需要志愿者
需要 40 30

不需要

160

270

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(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助 的老年人的比例;

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否
需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法 来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的 老年人的比例?说明理由.

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附:
P(K2≥k) 0.0500.0100.001k
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k

3.8416.63510.828
2

n?ad-bc? K= ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

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专 题 七 概 率 与 统 计 、 算 法 初 步 、 复 数

【规范解答】

(1)调查的 500 位老年人中有

70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中, 70 需要帮助的老年人的比例的估计值为 =14%.4 500 分 500×?40×270-30×160?2 (2)K2= ≈9.967. 200×300×70×430 由于 9.967>6.635, 所以有 99%的把握认为该 地区的老年人是否需要帮助与性别有关…..8 分

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(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需 要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的 比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地 区老年人中男、 女的比例, 再把老年人分成男、 女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机 抽样方法更好?.12 分
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【思维升华】(1)独立性检验的关键是准确计算K2,
而计算K2时,要正确绘制2×2列联表. (2)两个变量的独立性检验,在统计学中有着广泛的 应用,学习时一定要结合实际问题,从现实中寻找 例子,增强学习数学的动力.
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变式训练 5.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了124 人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的 休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运 动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外
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33人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系.

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解:(1)2×2列联表如下
休闲方式 看电视 性别 女 男 总计 43 21 64 27 33 60 70
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运动

总计
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54 124

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(2)假设“休闲方式与性别无关”, 124×?43×33-27×21?2 计算 K2= ≈6.201, 70×54×64×60 因为 K2>5.024,所以有理由认为假设“休闲 方式与性别无关”是不合理的, 即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有 关”
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方法突破 转化与化归 例 (2009年高考福建卷)某校开展“爱我海西、 爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A给出的 分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个 最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发
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现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员
计算无误,则数字x应该是_______.

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作品A

8
9

8

9 9
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2 3 x 2 1 4

【解析】 若最高分为 90+x,则平均分为 89×2+92+93+92+91+94 ≈91.43,不合题 7 意, 故最低分为 88,最高分为 94,平均分为 89×2+90×5+2×2+3+x+1 =91, 7 解得 x=1.

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【答案】

1
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【题后点评】本题体现一种数表与数字的转化, 研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系,通过互相变换获得转化途径,本 节中的频率分布表和直方图也是一种转化过程.

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考情分析 从近几年高考情况来看,本讲高考命题具有以下特点: 1.在选择题、填空题中主要考查抽样方法、各种统计
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图表、样本数字特征、茎叶图等内容,每份试卷中有
1~2题,多为容易题和中档题. 2.对于独立性检验和回归分析,一般较少考查,即使 考查,难度也不会太大,多数情况下是考查两种统计 分析方法的简单知识,以计算和判断为主.
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1.(2010 年高考湖南卷)某商品销售量 y(件) 与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能 是(
^ ^

) A.y=-10x+200 B.y=10x+200 C.y=-10x-200 D.y=10x-200
^ ^

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解析:选A.由负相关定义得斜率小于0,排除B、 D,又因x,y均大于0,排除C.故选A.

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2. (2010 年高考陕西卷)如图, 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数 分别为 x A 和 x B,样本标准差分别为 sA 和 sB, 则( )
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A. x A> x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB

B. x A< x B,sA>sB D. x A< x B,sA<sB
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解析: B.由图直接观察可得 x A< x B, 选 sA>sB.

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3.(2010年高考福建卷)将容量为n的样本中的数据

分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组
数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数 据的频数之和等于27,则n等于____________.

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解析:由第一组至第六组频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且六组频率之和为1,可得各组 频率依次为0.1,0.15,0.2,0.3,0.2,0.05,前三组数据 的频数之和=n×(0.1+0.15+0.2)=27,n=60. 答案:60
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4.(2010年高考广东卷)某市居民2005~2009年家 庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:

万元)的统计资料如下表所示:
年份
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2005

2006

2007

2008

2009
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收入x

11.5

12.1

13

13.3

15

支出Y

6.8

8.8

9.8

10

12

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根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 ________,家庭年平均收入与年平均支出有________ 线性相关关系.

解析:居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次
为:11.5、12.1、13、13.3、15,由中位数定义知年 平均收入的中位数是13.画出散点图,由图可知家庭 年平均收入与年平均支出有正的线性相关关系. 答案:13 正

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