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山东省临沂十八中2013届高三第二次(3月)周测数学(理)试题


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一、选择,每题 5 分,共 60 分 1.已知集合 S ? x x ? 1 ? 2, x ? R , T ? ? x A. ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ?

?

?

?

C. ?x | ?1 ? x ? 4, x ? Z ? 2.已知复数 z ?

? 5 ? 1, x ? Z ? ,则 S ? T 等于 ? x ?1 ? B. ? x | ?1 ? x ? 3, x ? Z ?
D. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

A. 2i C. i D. ? i 3.甲乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲乙两人的平均成绩分 别是 x甲,x乙 ,则下列正确的是 A. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定
8 甲 7 2 7 8 6 8 8 2 9 1 8 0 乙

2 ? 2i ,则 z 的共轭复数等于 1? i B. ? 2i

4.下列说法中,正确的是 A.命题“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题; B.命题“ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ”的否定是: ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ” “ ; C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题; D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件. 5.已知正项等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 , a3 a7 ? 4a6 ,则 S 6 ?
2

开始 输入 M,N

A. 2 6.已知 M ?
1

B.

61 32

C.

31 16

D.

63 32

M ?N




? 1 dx, N ? ? 2 cosxdx , ?0 x ? 1 0 由如右程序框图输出的 S 为

S?N
输出 S

S?M

A.

1

B. ln 2

C.

7.为得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

? 2

D.

0

结束

) 的导函数图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有点的 ...

1 ? 倍,向左平移 6 2 3 5? 1 5? C.纵坐标伸长到原来的 2 倍,向左平移 D.纵坐标缩短到原来的 倍,向左平移 12 2 6
A.纵坐标伸长到原来的 2 倍,向左平移 B.纵坐标缩短到原来的 8.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信 息 , 设 定 原 信 息 为 a 0 a1 a 2 , ai ? ?0,1?(i ? 0,1,2), 传 输 信 息 为 h0 a 0 a1 a 2 h1 , 其 中

?

h0 ? a 0 ? a1 , h1 ? h0 ? a 2 , ? 运算规则为 0 ? 0 ? 0,0 ? 1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ? 1 ? 0. 例如原信息 为 111 ,则传输信息为 01111 ,传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错,则下
列接受信息一定有误的是 A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011 9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表 面积为
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16 ? 3 4 C. ? 3

A.

19 ? 3 19 D. ? 12

B.

K]

10.直线 y ?

m x 与圆 x 2 ? y 2 ? mx ? ny ? 4 ? 0 交于 M 、 N 两点,且 M 、 N 关于直 2 线 x ? y ? 0 对称,则弦 MN 的长为
A. 2
2

B. 3

C. 4

D. 5 ( )

11.若函数 f ( x) ?| x ? 4 x ? 3 | ? x ? a 恰有三个不同的零点,则实数 a 的值是 A.-1 B. ?

3 3 D.-1 或- 4 4 12.设 f (x) 是 R 上的可导函数,且满足 f ?(x) ? f (x) ,对任意的正实数 a ,下列不等式恒成立
C.1 或 的是 A. f (a) ? e f (0) ;
a

3 4

B. f (a) ? e f (0) ;
a

C. f (a) ?

f (0) ; ea

D. f (a) ?

f (0) ea

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置上.) 13.二项式 ( x ?

2 6 ) 的展开式中的常数项是__________. x

x2 y2 ? 2 ? 1 的左焦点 F 作⊙O: x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,记切点为 A,B,双曲 2 a b 线左顶点为 C,若 ?ACB ? 120? ,则双曲线的离心率为____________.
14.过双曲线 15.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同 学不能分配到 A 班,那么不同的分配方案方法种数为______________(用数字作答). 16.关于函数 f ( x) ? lg
x ,有下列结论:①函数 f (x) 的定义域是(0,+∞) ;②函数 f (x) x ?1
2

是奇函数;③函数 f (x) 的最小值为- lg 2 ;④当 0 ? x ? 1 时,函数 f (x) 是增函数;当

x ? 1 时,函数 f (x) 是减函数.
其中正确结论的序号是 .(写出所有你认为正确的结论的序号)

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三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 三个角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 p ? (a,2b) , q ? (sin A,1) ,且 p // q . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若△ABC 是锐角三角形, m ? (cos A, cos B), n ? (1, sin A ? cos A tan B) ,求 m ? n 的取值范 围.

18. (本小题满分 12 分) 山东省某示范性高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级 开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息 技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也 可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为 不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表: 信息技术 周一 周三 周五 生物 化学 物理 数学

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 2 2 3 2 3

(Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随即变量 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 D ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 1 的 正方形,侧棱 A1 A ? 2 , (Ⅰ)证明: AC ? A1 B ; (Ⅱ)若棱 AA1 上存在一点 P ,使得 AP ? ? PA1 , 当二面角 A ? B1C1 ? P 的大小为 30? 时,求实数 ? 的值.
D1 C1 A1 B1

C

B A

D
第 19 题

20. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 中, a1 ? 1, S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ? ,有

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2 S n ? 2a n ? a n ? 1 .函数 f ( x) ? x 2 ? x ,数列 {bn } 的首项 b1 ?
2

3 1 , bn ?1 ? f (bn ) ? 2 4

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)令 c n ? log 2 (bn ? ) 求证: {c n } 是等比数列并求 {c n }

1 2

通项公式; (Ⅲ)令 d n ? a n ? c n , (n为正整数) ,求数列 {d n } 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 过 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合, F2 作 2 a b CD 与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 S、T 两点,与抛物线交于 C、D 两点,且 ?2 2. ST (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 E 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆 E 上一点,且满足
如图, 椭圆 E :
??? ??? 2 5 ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ,当 | PA ? PB |? 时,求实数 t 的取值范围. OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点) 3

??? 22.已知函数 f ( x) ? e ? kx( x ? R ) F (1)?F (2)? F ( n) ? (e
x

n ?1

? 2) (n ? N * ) .

n 2

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 且对任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

??? (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,求证: F (1)?F (2)? F ( n) ? (e

n ?1

? 2) 2 (n ? N * ) .

n

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高三数学阶段性检测(理)3 月 23 日
参考答案
一、选择题 1、A B 2、A 3、C 4、B 5、D 6、B7、C 8、C 9、B 10、C 11、D 12、

AB1 ? ? 1,1, 3 AC1 ? ? 2,1, 3 ? n1 ? AB1 ? ? x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0 ? , ? ?n1 ? AC1 ? ?2 x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0 ?
令 z1 ?

?

?

?

? ? ?

3 则 y1 ? ?3 , x1 ? 0 ,∴ n1 ? 0,?3, 3 -----------------------6 分 设平面 B1C1 P 的一个法向量为

n2 ? ? x 2 , y 2 , z 2 ? , B1C1 ? ?? 1,0,0 ?
? n2 ? B1C1 ? ? x 2 ? 0 ? ? x2 3z 2 ? y2 ? ?0 ?n2 ? B1 P ? ? ?1 ? ?1 ?

? 1 ? 3? ? B1 P ? ? ? ? ? 1 ,?1, ? ? 1 ? ? ?
∴ n 2 ? ? 0,

? ? ?

? 3 ,1? -----------------8 分 - ? ? ?1 ?

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cos 30? ? cos ? n1 , n2 ? ?

3 ?1 3 ? ?1 ? ? -----10 分 2 3 3 ?1 ? 2 3 2 ?1 ?? ? 1?2 ?? ? 1?2
2

?3 3 ? 3 ? ?1

∴ ? ? 2 --------------------------------------------------------------12 分 20、解: (Ⅰ)由 2 S n ? 2a n ? a n ? 1 得 2 S n ?1 ? 2a n ?1 ? a n ?1 ? 1
2 2 2

① ② ---------1 分

2a n ?1 ? 2(a n ?1 ? a n ) ? (a n ?1 ? a n ) 即: 2(a n ?1 ? a n )(a n ?1 ? a n ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 0
由②—①,得

? (a n ?1 ? a n )(2a n ?1 ------------3 分 ? 2a n ?1 ? 2a n ? 1 1 1 即 a n ?1 ? a n ? ? 数列 ?a n ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 2 1 n ?1 ? 数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2 ----------4 分 1 1 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? f (bn ) ? 知 bn ?1 ? bn ? bn ? , 4 4 1 1 所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 , ------------5 分 2 2 1 1 1 有 log 2 (bn ?1 ? ) ? log 2 (bn ? ) 2 ? 2 log 2 (bn ? ) ,即 c n ?1 ? 2c n ,------6 分 2 2 2 1 而 c1 ? log 2 (b1 ? ) ? log 2 2 ? 1 , 2 故 {c n } 是以 c1 ? 1 为首项,公比为 2 的等比数列. ---------7 分
所以 c n ? 2 n ?1 (Ⅲ) d n ? a n ? c n ? ---------8 分

---------2 分 ? 2a n ? 1) ? 0 由于数列 ?a n ? 各项均为正数,

n ? 1 n ?1 -------9 分 ? 2 ? (n ? 1)2 n ? 2 , 2 ?1 0 n ?3 所以数列 {d n } 的前 n 项和 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? (n ? 1)2 n ? 2
错位相减可得 Tn ? n ? 2 n ?1 21.解: (Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F2 (1, 0) . 所以椭圆 E 的方程为: 解方程组 ? ∴ ----------12 分

x2 y2 ? 2 ? 1. b2 ? 1 b

? y2 ? 4x 得 C(1,2) D(1,-2) 由于抛物线、椭圆都关于 x 轴对称, , . x ?1 ?
????2 分

| F2C | | CD | 2 2 , ∴ S (1, ) . ? ? 2 2 , | F2 S |? 2 2 | F2 S | | ST | 1 1 因此, 2 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 1 并推得 a 2 ? 2 . b ? 1 2b x2 ? y2 ? 1 . 故椭圆的方程为 2
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????4 分

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(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2 1 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? .????6 分 2 2 2 8k 8k ? 2 , x1 ?x2 ? . x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 5 2 5 ∵ PA ? PB < ,∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? , 3 3 64k 4 8k 2 ? 2 20 20 2 ? 4? ]? ∴ (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ?x2 ] ? ∴ (1 ? k )[ , (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 9 9 1 1 1 2 2 ∴ (4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k 2 ? .∴ ? k 2 ? ,????8 分 4 4 2 ∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y ) ,

x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k ? ,y? 1 . ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? 2 t t (1 ? 2k ) t t t (1 ? 2k 2 ) (8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ?2 2 ?2, ∵点 P 在椭圆上,∴ 2 t (1 ? 2k 2 ) 2 t (1 ? 2k 2 ) 2 16k 2 8 2 2 2 2 ∴ 16k ? t (1 ? 2k ) ∴ t ? ,????10 分 ? 8? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 6 2 6 ∴ ?2 ? t ? ? 或 ? t ? 2, 3 3 2 6 2 6 ∴实数 t 取值范围为 (?2,? )?( ,2) .????12 分 3 3 x?
? ? 22.(Ⅰ) f ( x) ? e ? e ,令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 1
x

? 当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (1, ??) 单调递增; ? 当 x ? (??,1) 时, f ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (??,1) 单调递减.????????4 分
(Ⅱ)? f (| x |) 为偶函数,? f (| x |) ? 0 恒成立等价于 f ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立
x ? ? 解法 1:当 x ? 0 时, f ( x) ? e ? k ,令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ln k

(1)当 ln k ? 0 ,即 k ? 1 时, f ( x) 在 (0, ln k ) 减,在 (ln k , ??) 增

? f ( x) min ? f (ln k ) ? k ? k ln k ? 0

,解得 1 ? k ? e ,? 1 ? k ? e
x

? (2)当 ln k ? 0 ,即 0 ? k ? 1 时, f ( x) ? e ? k ? 0 ,? f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,
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? f ( x) min ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合,? 0 ? k ? 1
综上, 0 ? k ? e . ?????????9 分

ex k? x 对 x ? 0 恒成立, 解法 2: 等价于 ex ? x ? 1? e g ? x? ? , g? ? x? ? g? ? x? ? 0 x 则 x2 设 . 当 0 ? x ?1 时 , ; 当 x ?1 时 ,
x

g? ? x? ? 0

;

? x ? 0 时, g ? x ?min ? g ? x ?极小值 ? g ?1? ? e, ? k <e, 又k>0, ? 0 ? k ? e.
(Ⅲ) F ( x) ? e ? e , F (1) ? e ? e , F (n) ? e ? e
x n ?x ?1 ?n

F (1) ? F (n) ? e n ?1 ? e ?1? n ? e1? n ? e ?1? n ? e n ?1 ? 2 F (2) ? F (n ? 1) ? e n ?1 ? e ?2? n ? e 2? n ? e ?1? n ? e n ?1 ? 2 F (n) ? F (1) ? e n ?1 ? 2

? F (1) F (2)? F (n) ? (e

n ?1

? 2) . ...................14 分

n 2

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