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新课标2017春高中数学第2章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质课件新人教A版必修5


新课标导学

数 学
必修5 ·人教A版

第二章
数列 2.4 等比数列
第2课时 等比数列的性质

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

1915 年, 波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个 美妙的“艺术品”,被人们称为谢尔宾斯基三角形,如图所 示. 如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数, 并把它们 按面积大小,从小到大依次排列起来,可以得到一列数: 1,3,9,27,81,??我们知道,这些数构成等比数列,那么等比数列具有哪些独特的 性质呢?

1.回顾学过的等差(等比)数列知识填空: a n +1 q (1)已知{an}为等比数列,则对于任意正整数 n,都有 =________. an an qn-m (2)已知{an}为等比数列,则对于任意正整数 n、m 都有 =________. am (3) 若{an}为等差数列,则
a5+a6 成等差数列. ①a1+a2,a3+a4,________ am+k ,a + (m,k∈N*)成等差数列. ②am,________ m 2k a11 2 ③a7+a9=a5+________ =________ a8.

2.已知{an}是等比数列. 1 1 (1)试探讨{3an},{ },{|an|},{- an}是等比数列吗? an 2 (2)a1+a2,a3+a4,a5+a6 成等比数列吗?a1a2,a3a4,a5a6 成等比数列吗?a1 +a2+?+ak,ak+1+ak+2+?+a2k,a2k+1+a2k+2+?+a3k 成等比数列吗? (3)计算 a5· a11,a3· a13,a1· a15,你发现了什么? 等比数列主要有以下性质: (1)若{an}是公比为 q 的等比数列,c 为非零常数,则数列{can}仍是等比数列, 且公比不变仍为 q.

1 1 (2)若{an}是公比为 q 的等比数列, 则数列{ }是公比为 的等比数列, 数列{|an|} an q 是公比为|q|的等比数列. (3)若数列{an},{bn}是公比分别为 q,q′的等比数列,则数列{an· bn}是公比为 qq′的等比数列. (4)若{an}是等比数列,且 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*).则 am· an=ap· aq,特 别地,当 m+n=2p 时,am· an=a2 p; 若{an}是有穷数列, 则与首末两项等距离的两项积相等, 且等于首末两项之积, 即 a1an=a2an-1=?.

(5)若{an}为等比数列,公比为 q,则 an=amqn-m(m,n∈N*). (6)若{an}是等比数列,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来的顺序排列,所得数 列仍是等比数列,且公比为 qk+1. (7)在等比数列{an}中, 连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2) 的等比数列. (8){an}是等差数列,c 是正数,则数列{can}是等比数列. (9){an}是等比数列,且 an>0,则{logaan}(a>0,a≠1)是等差数列.

3.试举例探究公比为q的等比数列{an},当q>1,q=1,q<1不同情形下{an} 的增减变化规律.

等比数列的单调性 增 (1)当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列{an}为递________ 数列;
减 (2)当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列{an}为递________ 数列; (3)当q=1时,数列{an}是常数列; (4)当q<0时,数列{an}是摆动数列.

1 1.(2015· 全国Ⅱ文,9)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2= 4 导学号 54742417 ( C ) A.2 1 C. 2 B.1 1 D. 8

[解析] 由题意可得 1 =a1q= ,选 C. 2

a3a5=a2 4=4(a4-1)?a4=2,所以

a4 q = =8?q=2,故 a2 a1
3

2 .已知 {an}是等比数列,且 an>0 , a2a4 +2a3a5 +a4a6 =25 ,那么 a3 + a5 = 导学号 54742418 ( A ) A.5 C.15 B.10 D.20

2 [解析] 由等比数列的性质,得 a4a6=a2 5,a2a4=a3, 2 ∴(a3+a5)2=a2 + 2 a a + a 3 3 5 5,

=a2a4+2a3a5+a4a6=25, ∴a3+a5=± 5. ∵an>0,∴a3+a5=5.

3.等比数列{an}中,首项为 a1,公比为 q,则下列条件中,使{an}一定为递 减数列的条件是 导学号 54742419 ( C ) A.|q|<1 B.a1>0,q<1 C.a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 D.q>1

[解析]

等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定.由 an+1

-an=a1qn-1(q-1)<0,得 a1>0,0<q<1,或 a1<0,q>1.

4 .(2016· 全国卷Ⅰ理,15)设等比数列{an}满足 a1 +a3 =10 ,a2+a4=5,则
64 a1a2?an 的最大值为________. 导学号 54742420

1 [解析] 设{an}的公比为 q,由 a1+a3=10,a2+a4=5 得 a1=8,q= ,则 a2 2 1 =4,a3=2,a4=1,a5= ,所以 a1a2?an≤a1a2a3a4=64. 2

课堂典例讲练

命题方向1 ?等比数列的性质
在等比数列{an}中, 已知 a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比为整数,
512 则 a10=________. 导学号 54742421

[解析] 由等比数列的性质,得 a3a8=a4a7=-512,
? ?a3+a8=124 由? ? ?a3a8=-512

,得

? ?a3=-4 ? ? ?a8=128

? ?a3=128 或? ? ?a8=-4

.

∵q 为整数,∴a3=-4,a8=128. a8 128 ∴q = = =-32,∴q=-2. a3 -4
5

∴a10=a8· q2=128×4=512.

1 『规律总结』 (1)若{an}为等比数列, 则{ }, {|an|}, {a2 {pan}(p≠0), {anan n}, an
+k

}均为等比数列; an (2)若{an},{bn}均为等比数列,则{anbn},{ }都是等比数列. bn (3)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am· an=ap· aq. (4)若等比数列的下标具有某种规律时,应考虑应用性质求解.

〔跟踪练习 1〕 导学号 54742422
25 (1)在等比数列{an}中,已知 a7a12=5,则 a8a9a10a11=________.

1或64 (2){an}为等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,则 a11=________.

(3)在等比数列{an}中,若 a2· a8=36,a3+a7=15,则公比 q 值的个数可能为 ( D ) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

[解析] (1)解法一:∵a7a12=a8a11=a9a10=5,∴a8a9a10a11=52=25.
17 解法二:由已知得 a1q6· a1q11=a2 1q =5, 34 2 17 2 ∴a8a9a10a11=a1q7· a1q8· a1q9· a1q10=a4 · q = ( a q ) =25. 1 1·

(2)∵a1a9=a3a7=64,∴a3,a7 是方程 x2-20x+64=0 的两根.
? ?a3=4 解得? ? ?a7=16 ? ?a3=16 或? ? ?a7=4

.

①若 a3=4,a7=16,则由 a7=a3q4 得,q4=4,∴a11=a7q4=16×4=64.

1 ②若 a7=4,a3=16,则由 a7=a3q 得,q = , 4
4 4

1 ∴a11=a7q =4× =1.故 a11=64,或 a11=1. 4
4

? a7=36, ?a3· (3)∵a2· a8=a3· a7,∴由? ? ?a3+a7=15,

解得 a3=3,a7=12,或 a3=12,a7=3. 若 a3=3,a7=12,则有 12=3×q4,∴q4=4,∴q2=2,q=± 2. 1 2 1 2 若 a3=12,a7=3,则有 3=12×q ,∴q = ,q = ,q=± . 4 2 2
4 4

∴q 的值可能有 4 个.

命题方向2 ?等比数列的设项技巧
已知四个数前三个成等差,后三个成等比,中间两数之积为 16,首 尾两个数之积为-128,求这四个数. 导学号 54742423
[分析] 求四个数,给出四个条件,若列四个方程组成方程组虽可解,但较麻 烦,因此可依据条件减少未知数的个数.设未知数时,可以根据前三个数成等差 来设,也可以依据后三个数成等比来设,还可以依据中间(或首尾)两数之积来设, 关键是要把握住未知量要尽量少,下一步运算要简捷.

2a a [解析] 设四个数为 -a、 、a、aq, q q
2 a ? ? q =16 则由题意得? ??2a-a?· aq=-128 ? q

? ?a=8 ,解得? ? ?q=4

? ?a=-8 或? ? ?q=4

.

因此所求的四个数为-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.

[点评] (1)根据四个数中前 3 个成等差、 后三个成等比列方程时, 可以据后三 个成等比用 a、q 表示四个数,也可以据前三个成等差,用 a、d 表示四个数,由 a 于中间两数之积为 16,将中间两个数设为 ,aq 这样既可使未知量减少,同时解 q 方程也较为方便. 16 (2)注意到中间两数的特殊地位,可设第三个数为 x,则第二个数为 ,则第 x 32 x3 一个数为 -x,最后一个数为 ,再利用首尾两数之和为-128 可列出关于 x 的 x 16
? x3 ? ?32 ? - x 方程 · 8,则更简捷. ?=-128,解之得 x=± 16 ? ?x ?

『规律总结』 等比数列中的设项方法与技巧 a (1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq 或 ,a,aq. q
2

(2)若四个数成等比数列,可设为 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数, a a 可设 3, ,aq,aq3. q q

〔跟踪练习 2〕 导学号 54742424 (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去 1,1,4,13,则成等差数列,则这
3,6,12,24 四个数为___________.

(2)三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列三个数,又可成为等比数列,
-4,2,8 这三个数的和为 6,则这三个数为________.

[分析] (1)四个数成等比数列,可用第一个数与公比q表示各数,然后按所
给条件列方程组求解. (2)三个数适当排列,不同的排列方法有6种,但这里不必分成6种,因为若

以三个数中哪一个数为等比中项分类,则只有三种情况,因此对于分类讨论问
题,恰当的分类是解决问题的关键.

[解析] (1)设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3,则 a-1,aq-1,aq2-4,aq3 -13 成等差数列,
2 ? ?2?aq-1?=?a-1?+?aq -4? ∴? 2 3 ? 2 ? aq - 4 ? = ? aq - 1 ? + ? aq -13? ? 2 ? ?a?q-1? =3 整理得? 2 ? ?aq?q-1? =6



,解得 q=2,a=3.

因此所求四个数为 3,6,12,24.

(2)由已知,可设这三个数为 a-d,a,a+d,则 a-d+a+a+d=6,∴a=2, 这三个数可表示为 2-d,2,2+d, ①若 2-d 为等比中项, 则有(2-d)2=2(2+d), 解之得 d=6, 或 d=0(舍去). 此 时三个数为-4,2,8. ②若 2+d 是等比中项, 则有(2+d)2=2(2-d), 解之得 d=-6, 或 d=0(舍去). 此 时三个数为 8,2,-4. ③若 2 为等比中项,则 22=(2+d)· (2-d),∴d=0(舍去). 综上可知此三数为-4,2,8.

命题方向3 ?数列的开放探究题
1 已知数列{an}是各项为正数的等比数列,数列{bn}定义为 bn= [lga1 n +lga2+?+lgan-1+lg(kan)],是否存在实数 k,使得数列{bn}为等差数列?并证明 你的结论. 导学号 54742425
[分析] 先利用数列{an}是等比数列,求出数列{bn}的通项公式,再求 bn+1- bn,看使它成为常数的条件是什么?
[解析] 设数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1, 1 bn= [lga1+lg(a1q)+lg(a1q2)+?+lg(ka1qn-1)], n

1 1 解得 bn= [nlga1+ n(n-1)lgq+lgk] n 2 1 1 =lga1+ (n-1)lgq+ lgk, 2 n 1 1 1 1 ∴bn+1-bn=[lga1+ nlgq+ lgk]-[lga1+ (n-1)lgq+ lgk] 2 2 n n+1 1 1 = lgq- lgk. 2 n?n+1? 要使数列{bn}为等差数列,只需 k=1, 故存在实数 k=1,使得数列{bn}成为等差数列.

『规律总结』

1.解答存在型数列开放探究题时,先假设存在,然后依题设

条件和等差(等比)数列的定义、性质,通项及前n项和寻找解题的突破口. 2.①若{an}是等差数列,c是正数,则数列{can}是等比数列;②若{an}是等 比数列,且an>0,则{logaan}(a>0,a≠1)是等差数列,这两个基本性质反映了等 差、等比数列可以互相转化.

〔跟踪练习 3〕 导学号 54742426 在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知 a1=1,且 a1=b1,a2 =b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q; (2)是否存在常数 a, b 使得对一切正整数 n, 都有 an=logabn+b 成立?若存在, 求出 a 和 b;若不存在,说明理由.

[解析] (1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,得
? ?1+d=q ? 2 ? ?1+7d=q ? ?q=6 ,解得? ? ?d=5 ? ?q=1 或? ? ?d=0

(舍去).

(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b 成立, 即有 1+5(n-1)=loga6n-1+b. 整理,得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0. ∵an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立.
? ?5-loga6=0 ∴? ? ?4+b-loga6=0

,∴a= 6,b=1.

5

已知-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1 a2-a1 五个实数成等比数列,则 =________________. 导学号 54742427 b2 1 [错解] ∵-7,a1,a2,-1 成等差数列,∴a2-a1= [(-1)-(-7)]=2, 3

∵-4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, a2-a1 2 ∴b2=(-4)· (-1)=4,∴b2=± 2.∴ =± 1. b2
[辨析] 对等比数列中项的符号 变化规律弄不清导致错误. ....

[正解] -1

解法一:设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,则有-
4 2

1 7+3d=-1,-4×q =-1,解得 d=2,q = , 2 a2-a1 2 1 所以 a2-a1=d=2,b2=-4×q =-4× =-2,所以 = =-1. 2 b2 -2
2

解法二:因为-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列, 1 所以 a2-a1= [(-1)-(-7)]=2, 3 因为-4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,

所以-4,b2,-1 成等比数列,所以 b2 2=(-4)×(-1)=4,所以 b2=2 或 b2 =-2, 由 b2 1=-4×b2>0 知 b2<0,所以 b2=-2, a2-a1 2 所以 = =-1. b2 -2

[警示] 对于等比数列{an},若公比为正数,则每一项同号,若公比为负数, 则所有奇数项的符号相同,所有偶函数项的符号相同.如本例中,无论公比是正 数还是负数,b2 与-4 一定同号.

1.(2016· 河北保定期末)已知{an},{bn}都是等比数列,那么 导学号 54742428 ( C ) A.{an+bn},{an· bn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列,但{an· bn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an· bn}一定是等比数列 D.{an+bn},{an· bn}都不一定是等比数列

[解析]

当两个数列都是等比数列时,这两个数列的和不一定是等比数列,

比如取两个数列是互为相反数的数列,两者的和就不是等比数列.两个等比数
列的积一定是等比数列.

2.(2016· 北京人大附中月考)在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则 a8 的值为 导学号 54742429 ( B ) A.35 C.21 3
2 21 ∴a2 a8,即 a8= =63. 6=a4· 7

B.63 D.± 21 3

[解析] ∵{an}是等比数列,∴a4,a6,a8 是等比数列,

3. 在等比数列{an}中, a1+a2=1, a3+a4=9, 那么 a4+a5= 导学号 54742430 ( B ) A.27 C.81
2

B.27 或-27 D.81 或-81

a3+a4 [解析] ∵q = =9,∴q=± 3, a2+a1 因此 a4+a5=(a3+a4)q=27 或-27.故选 B.

4.如果数列{an}是等比数列,那么 导学号 54742431 ( A ) A.数列{a2 n}是等比数列 B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列

2 b a an+1 2 + n 1 n+1 2 [解析] 设 bn=an,则 = 2 =( ) =q2, bn an an

2an+1 ∴{bn}成等比数列; =2an+1-an≠常数; 2an 当 an<0 时 lgan 无意义;设 cn=nan, cn+1 ?n+1?an+1 ?n+1?q 则 = = ≠常数. cn nan n


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