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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:10-10(含答案)


第十章 10.10 第十课时
一、选择题 1.关于正态曲线性质的叙述: (1)曲线关于直线 x=μ 对称,这个曲线在 x 轴上方; (2)曲线关于直线 x=σ 对称,这个曲线只有当 x∈(-3σ,3σ)时才在 x 轴上方; (3)曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数; (4)曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低; (5)曲线的对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定; (6)σ 越大,曲线越“矮胖” ,σ 越小,曲线越“高瘦” . 上述说法正确的是( ) A.只有(1)(4)(5)(6) B.只有(2)(4)(5) C.只有(3)(4)(5)(6) D.只有(1)(5)(6) 答案 A 2.下列函数是正态密度函数的是( ) 1 ?x-μ?2 A.f(x)= e ,μ、σ(σ>0)都是实数 2πσ 2σ2 2π x2 B.f(x)= 2π e- 2 x-σ 1 C.f(x)= e- 4 2 2π 1 x2 D.f(x)=- e 2π 2 答案 B 解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零.而 C 中的函数无对 称轴,D 中的函数图象在 x 轴下方,所以选 B. 3. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, σ2), P(ξ≤4)=0.84, 则 P(ξ≤0)=( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 答案 A 解析 利用正态分布图象的对称性,P(ξ≤0)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16. 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X>4) =( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 答案 B 1 1 解析 P(X>4)=2[1-P(2≤X≤4)]=2×(1-0.6826)=0.1587. 5.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平均 成绩为 500 分,已知 P(400<ξ<450)=0.3,则 P(550<ξ<600)等于( ) A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.4 答案 A 6.设随机变量 ξ~M(μ,σ2),且 P(ξ≤C)=P(ξ>C)=P,则 P 的值为( ) A.0 B.1

1 C.2 答案 解析 C

D.不确定与 σ 无关 1 ∵P(ξ≤C)=P(ξ>C)=P,∴C=μ,且 P=2.

二、填空题 7. 已知随机变量 x~N(2, σ2), 若 P(x<a)=0.32, 则 P(a≤x<4-a)=________.

答案 解析 8.

0.36 由正态分布图象的对称性可得:P(a≤x<4-a)=1-2P(x<a)=0.36.

随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),已知 P(ξ<0)=0.3,则 P(ξ<2)=________. 答案 0.7 解析 由题意可知, 正态分布的图象关于直线 x=1 对称, 所以 P(ξ<2)=P(ξ<0) +P(0<ξ<1)+P(1<ξ<2),又 P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.2,所以 P(ξ<2)=0.7. 9.若随机变量 ξ~N(0,1),且 ξ 在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别为 P1,P2,则 P1,P2 的大小关系为________. 答案 P1=P2 解析

如图所示, 由正态分布图象的对称性可得, 两阴影部分面积相等, 即在区间(- 3,-1)和(1,3)内取值的概率 P1=P2. 10.某省实验中学高三共有学生 600 人,一次数学考试的成绩(试卷满分 150 分)服从正态分布 N(100,σ2),统计结果显示学生考试成绩在 80 分到 100 分之间的 1 人数约占总人数的3,则此次考试成绩不低于 120 分的学生约有________人. 答案 100 解析 ∵数学考试成绩 ξ-N(100,σ2),作出正态分布图象,可以看出,图象 1 关于直线 x=100 对称. 显然 P(80≤ξ≤100)=P(100≤ξ≤120)=3; ∴P(ξ≤80)=P(ξ 1 ≥120), 又∵P(ξ≤80)+P(ξ≥120)=1-P(80≤ξ≤100)-P(100≤ξ≤120)=3, ∴P(ξ 1 1 1 1 ≥120)=2×3=6,∴成绩不低于 120 分的学生约为 600×6=100(人). ξ-3 11.若随机变量 ξ~N(μ,σ2),则 η= 2 服从参数为________的正态分布.

μ-3 σ ( 2 ,2) 解析 ∵ξ~N(μ,σ2),∴Eξ=μ,Dξ=σ2. ξ-3 而 η= 2 也服从正态分布, ξ-3 1 3 μ-3 即 Eη=E( 2 )=2Eξ-2= 2 ξ-3 1 σ2 Dη=D( 2 )=4Dξ= 4 μ-3 σ σ ∴ Dη=2服从( 2 ,2)的正态分布. 三、解答题 12.设 X~N(1,22),试求 (1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5). 解析 ∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826. (2)∵P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1), 1 ∴P(3<X≤5)=2[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 1 =2[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 1 =2[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 1 =2×(0.9544-0.6826)=0.1359. (3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), 1 ∴P(X≥5)=2[1-P(-3<X≤5)] 1 =2[1-P(1-4<X≤1+4)] 1 =2[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] 1 =2[1-0.954]=0.023. 13.如下图所示,是一个正态曲线,试根据图象写出其正态分布密度曲线的 解析式,并求出正态总体随机变量的均值和方差. 答案

解析 1 2

从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为

,所以 μ=20. π

1 1 = ,解得 σ= 2. 2πσ 2 π 于是正态分布密度曲线的解析式是 1 -?x-20?2 φμ,σ(x)= e 4 ,x∈(-∞,+∞). 2 π 均值和方差分别是 20 和 2. 14.灯泡厂生产的白炽灯寿命 X(单位:h),已知 X~N(1000,302),要使灯泡的 平均寿命为 1000 h 的概率为 99.7%,问灯泡的平均寿命应控制在多少小时以上? 解析 因为灯泡寿命 X~N(1000,302)故 X 在(1000-3×30,1000+3×30)的概率 为 99.7%,即在(910,1090)内取值的概率为 99.7%,故灯泡最低使用寿命应控制在 910 h 以上. 15.某市有 210 名学生参加一次数学竞赛,随机调阅了 60 名学生的答卷,成 绩列表如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩(分) 0 0 0 6 15 21 12 3 3 0 人数 (1)求样本的数学平均成绩及标准差; (2)若总体服从正态分布,求此正态曲线近似的密度函数. 1 解析 (1)平均成绩 x =60(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6, 1 S2=60[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6 -6)2+ 12×(7 -6)2+3×(8-6)2+3 ×(9-6)2]=1.5,S=1.22. 即样本平均成绩为 6 分,标准差为 1.22. 由 (2)以 x =6, S=1.22 作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值, 即 μ=6, ?x-6?2 1 σ=1.22.正态曲线密度函数近似地满足 y= e- . 1.22 2π 2×1.5

拓展练习·自助餐
1 -x2 e ,ξ 在(-2,-1)和(1,2)内取值的 2π 2 概率分别为 P1,P2,则 P1,P2 的关系为( ) A.P1>P2 B.P1<P2 C.P1=P2 D.不确定 答案 C 解析 由题意知,μ=0,σ=1,所以曲线关于 x=0 对称,根据正态曲线的对 称性,可知 P1=P2. 4 2.正态总体 N(0,9),数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)的概率为( ) A.0.46 B.0.9974 C.0.03 D.0.0026 答案 D 2 2 解析 P(-2<ξ≤2)=P(0-3×3<ξ≤0+3×3)=P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974, 1.若随机变量 ξ 的密度函数为 f(x)=

∴数值落在(-∞,2)∪(2,+∞)的概率为:1-0.9974=0.0026. 1 -?x-μi? 3.已知三个正态分布密度函数 φi(x)= e (x∈R,i=1,2,3)的图象如 2πσi 2σ2 i 图所示,则( )
2

A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3 ,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 答案 D 解析 正态分布密度函数 φ2(x)和 φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称,所以 其平均数相同,故 μ2=μ3,又 φ2(x)的对称轴的横坐标值比 φ1(x)的对称轴的横坐标 值大,故有 μ1<μ2=μ3.又 σ 越大,曲线越“矮胖” ,σ 越小,曲线越“瘦高” ,由图 象可知,正态分布密度函数 φ1(x)和 φ2(x)的图象一样“瘦高” ,φ3(x)明显“矮胖” , 从而可知 σ1=σ2<σ3. 4.设随机变量 ξ~N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),求 c 的值. 解析

由 ξ~N(2,9)可知,密度函数关于直线 x=2 对称(如图所示), 又 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),故有 2-(c-1)=(c+1)-2,∴c=2.


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