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2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题


2006 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
1、设A到B的映射 f:x ?y=(x-1) ,若集合 A ? ?0,1,2?,则集合 B 不可能是( ) ...
2

A、 ?0,1?

B、 ?0,1,2?

C、 ?0,?1,2?

D、 ?0,1,?1?

2、若命题P: ( ) A、充分不必要

1 2

x ?1

? 4 ;Q: log( x?1) 4 ? 0 ,则命题 ? P是 ? Q成立的( )条件
B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

3、设 sin(? ? 2) ? a ,则 tan(

?
2

? 2) 的值为( )
C、

A、

a 1? a2

B、 ?

a 1? a2

1? a2 a

D、 ?

1? a 2 a

4、将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形与一个圆形,则当它们的面积之积最大时, 正方形与圆的周长之比为( A、 1 : 1 B、 ? : 4 ) C、 4 : ? D、 2 : ?

5、设正整数集 N ? ,已知集合 A ? x | x ? 3m, m ? N ? , B ? x | x ? 3m ? 1, m ? N ? ,

?

?

?

?

C ? x | x ? 3m ? 2, m ? N ? ,若 a ? A, b ? B, c ? C ,则下列结论中可能成立的是( )
A、 2006 ? a ? b ? c C、 2006 ? a ? bc B、 2006 ? abc D、 2006 ? a(b ? c)

?

?

6、用“十四进制”表示数时,满十四进前一位。若在“十四进制”中,把十四个数码从小到大依 次记为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十,J,Q,K;则在“十四进制”中的三位数 JQK 化成“二进制”数时 应为( )位数。 A、13 B、12 C、11 D、10

?1, x为有理数 7、 设函数 f ( x) ? ? , xf ( x) ? g ( x) 对于一切 x ? R 都成立, 若 则函数 g (x) 可以是 ( ) 0, x为无理数 ?
A、 g ( x) ? sin x B、 g ( x) ? x C、 g ( x) ? x
2

D、 g ( x) ? x

高一数学竞赛试卷 第 1 页(共 6 页)

8、如图,请观察杨辉三角(杨辉是我国南宋时期的数学家)中各数排列的特征,其中沿箭头所示 的数依次组成一个锯齿形数列:1、1、2、3、3、6、4、 10 、 5 、 ? ? , 设 此 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 1 1 1 2 3 4 6 3 4 1 1 1 1 1 A、502501 C、502503 B、520502 D、以上都不对 1 ? 1

S 2004 ? 2S 2005 ? S 2006 等于( )

5 10 10 5 1 ? ? ? ? ? ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 9、现定义 A ? B ? ?x | x ? A, 但x ? B? ,若 A ? ? ,2,3,4,5?, A ? B ? ? ,2,3?, 1 1 则集合 B 可以是___________(写出一个即可).

得分

评卷人

10、 在等差数列 ?an ? 中, S9 ? 18, an?4 ? 30, S n ? 240,则正整数 n 的值为_________________. 若 11、某安全部门为了保证信息安全传输,采用一种密钥密码系统,其加密、解密原理如下图: 加密密钥密码 明文 密文
x

发送 密文

解密密钥密码 明文

现设解密密钥为: x ? y ? a (a ? 0, a ? 1) ,如上所示,若密文“3”通过解密后得到明文“8” , 则当输入方输入明文为“4”时,接受方所得密文应为“ ” .

12、设 [a ] 表示不超过 a 的最大整数,则对函数 y ? x ? [ x](x ? R) 在定义域内有以下判断: (1) 存在最大值与最小值; (2)是周期函数; (3)是增函数; (4)是偶函数。 其中正确的有___________(填上相应的序号即可) 。 13、 若函数 f ( x) ? 4 cos2 ( x ? ? ) ? 4 3 sin(x ? ? ) cos(x ? ? ) ? 2 的图象关于原点对称, 则实数 ? 的最小正值为_________________。 14、若不等式 0 ? ax ? bx ? c ? 1 的解集为 (0,1) ,则实数 a 的取值范围是_________。
2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 15、 (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? a | x | ?3), (a ? 0, a ? 1) . (1)若 a ? 4 ,写出它的单调递增区间;

得分

评卷人

高一数学竞赛试卷 第 2 页(共 6 页)

(2)若对于 ? 1 ? x1 ? x 2 ? ?

1 的任意实数 x1 , x 2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,试求实数 a 的范围. 2

16、 (本题满分 18 分)如图,已知 ?ABC ,BC=9 cm ,现有两个质点甲、乙 同时从 C 点出发,甲沿路线 C ? B ? A 以每秒 2 cm 的速度匀速向前移动,

得分

评卷人

乙沿路线 C ? A 以每秒 1 cm 的速度匀速向前移动,当甲到达 B 点时,乙到达 D 点,并满足

CD 3 ? ,最后它们同时到达 A 点。 CA 8
(1)试判断 ?ABC 的形状; (2)设在 t 时刻,甲、乙分别到达 E、F 处,试确定 ? CEF 的面积 S 与 t 的关系,并求出 S 的最 大值。

B

A

D

C

17、 (本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ?

x ?1? a , a ? R 。利用函数 y ? f (x) a?x

得分

评卷人

构造一个数列 ?xn ? ,方法如下:对于定义域中给定的 x1 ,令

x2 ? f ( x1 ), x3 ? f ( x2 ),?, xn ? f ( xn?1 )(n ? N ? ) ,?
如果取定义域中任一值作为 x1 ,都可以用上述方法构造出一个无穷数列 ?xn ? 。

高一数学竞赛试卷 第 3 页(共 6 页)

(1)求实数 a 的值; (2)若 x1 ? 1 ,求 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)?( xn ? 1) 的值; ( 3 ) 设 Tn ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1)?( xn ? 1)(n ? N ? ) , 试 问 : 是 否 存 在 n 使 得

试确定 n 及相应的 x1 的值;若不存在, 请说明理由? Tn ? Tn?1 ? ? ? Tn?2006 ? 2 0 成立, 0 6 若存在,

2006 年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C

二、填空题(每小题 8 分,共 48 分) 9、 ?4,5?或 ?4,5,6?等 10、15 11、2 12、 (2) 13、

5? 12

14、 (?4,4)

高一数学竞赛试卷 第 4 页(共 6 页)

三、解答题(共 54分) 15、解(1)所求函数的单调递增区间为 (?1,0] 与 (3,??) (2)易知已知函数为偶函数,则当 x ? [ ,1] 时为减函数。 对于 x ? [ ,1] 时, f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3), (a ? 0, a ? 1) —————8 分 设 g ( x) ? x 2 ? ax ? 3 , —————6 分

1 2

1 2

? ?0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? ? a ?a 1 ? 由题意得: ?1 ? , 或? ? ?2 2 ? 2 ? 1 ? g (1) ? 0 ? ?g ( 2 ) ? 0 ?
则2 ? a ? 4或0 ? a ?1 16、解(1)如图,由题意可得: CD ?

—————14 分

—————16 分

9 ,则 AC=12,从而可得 AB=15,则 ? ABC 是以 AB 为 2

斜边的直角三角形。 —————6 分 ( 2 ) 当 甲 在 C ? B 的 过 程 中 时 , ? CEF 是 直 角 三 角 形 , 则 它 的 面 积 为

1 9 ? t ? 2t ? t 2 (0 ? t ? ) , 2 2 当甲在 B ? A 的过程中时,易知 EF//BD, S1 ?
可知 ?CFE ? ?ADB ? arctan 2 ,令 CF ? t ( 则 AF ? 12 ? t , 由 EF//BD 得 FE ? 故

—————10 分

9 ? t ? 12) , 2
A F

B E

3 5 (12 ? t ) , 5
的 面 积

D

C

?

CEF

S2 ?

1 3 108 FE ? FC ? sin ?CFE ? ? (t ? 6) 2 ? , 2 5 5

9 ?2 ?t ,0 ? t ? 2 ? 故S ? ? ?? 3 (t ? 6) 2 ? 108, 9 ? t ? 12 ? 5 5 2 ?
易知当 t ?

————16 分

9 81 108 81 108 ? ,故 ? CEF 的面积的最大值为 时有最大值 ;当 t ? 6 时有最大值 。 4 5 4 5 2

——18 分 17、 (1)求证:

高一数学竞赛试卷 第 5 页(共 6 页)

(1)解:根据题意可知, xi ? a(i ? 1,2,3,?) ,则 x ? a ,且方程

x ?1? a ? a 无解, ——2 分 a?x

即当 x ? a 时方程 (1 ? a) x ? a 2 ? a ? 1 无解 由于 x ? a 不是方程 (1 ? a) x ? a 2 ? a ? 1 的解 所以对于任意 x ? R, (1 ? a) x ? a 2 ? a ? 1 无解。
2 则 a ? 1 ? 0 ,且 a ? a ? 1 ? 0 ,故 a ? ?1 。

—————6 分

(2)当 a ? ?1 时,对于 x1 ? ?1 ,有 x2 ? f ( x1 ) ? ?
?

x1 ? 2 x ?2 , x3 ? f ( x 2 ) ? ? 2 ? x1 x1 ? 1 x2 ? 1

同理得 xn?2 ? xn 对一切 n ? N 都成立,即数列 ?xn ? 是一个以 2 为周期的周期数列。 ——10 分 则 x 2 n ?1 ? 1, x 2 n ? ?

3 , 2

?2, n ? 4k ? 3 ?? 1, n ? 4k ? 2 ? 故 ( x1 ? 1)(x 2 ? 1) ? ( x n ? 1) ? ? (k ? N ? ) ?? 2, n ? 4k ? 1 ?1, n ? 4k ?
解法二:由上可知, xn ?1 ? f ( xn ) ? ?

—————12 分

xn ? 2 ,则 ( xn ? 1)(xn?1 ? 1) ? ?1,从而可得出结果。 xn ? 1

?1 ? x1 , n ? 4k ? 3 ?? 1, n ? 4k ? 2 ? (k ? N ? ) (3)由(2)易知: Tn ? ? ?? (1 ? x1 ), n ? 4k ? 1 ?1, n ? 4k ?

—————14 分

则 Tk ? Tk ?1 ? Tk ?2 ? Tk ?3 ? 0(k ? N ? ) ,若 Tn ? Tn?1 ? ? ? Tn?2006 ? 2006, 则 Tn ? Tn?1 ? Tn?2 ? 2006 n ? N ? ) , (

又 Tn ? Tn ?1 ? Tn ? 2

?1 ? x1 , n ? 4k ?? 1, n ? 4k ? 3 ? ?? (k ? N ? ) ?? (1 ? x1 ), n ? 4k ? 2 ?1, n ? 4k ? 1 ?

—————18 分

故当 n ? 4k , x1 ? 2005或 n ? 4k ? 2 , x1 ? ?2007时 Tn ? Tn?1 ? ? ? Tn?2006 ? 2006 —20 分

高一数学竞赛试卷 第 6 页(共 6 页)


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