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2019-2020年新人教A版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第三节基本不等式及其应用课件理_图文

第三节 基本不等式及其应用

教材细梳理 知(1)识基点本1不等基式本:不若等a式>0,b>0,则__a_+_2_b_≥___a_b__,当且仅当a=b 时等号成立. (2)重要不等式:若a,b∈R,则__a_2+__b_2_≥__2_a_b_,当且仅当a=b时 等号成立.

(3)几个常用的重要不等式

①ab≤???a+2 b???2(a,b∈R当且仅当a=b时取等号)

②ba+ab≥2(ab>0)

③a1+2 1b≤ ab≤a+2 b≤

a2+2 b2(a>0,b>0.当且仅当a=b时取等

号)

思考:若a,b,c∈R,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立吗?

提示:成立.当且仅当a=b=c时取等号.

知识点2 利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有____________ 值2 p(简记: 积__定__和__最__小____). (2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有____最__大______值 s42(简记: _和__定__积__最__大___). 思考1:若两个正数的和为定值,则这两个数的积一定有最大值 吗? 提示:不一定.若这两个正数相等,则这两个数的积一定有最大 值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积不一定有最大值.

思考2:已知x>0,y>0. ∵x+y≥2 xy,1x+2y≥2 x2y, ∴(x+y) ???1x+2y??? ≥4 2 ,即(x+y) ???1x+2y??? 的最小值为4 2 ,正确吗? 说明理由.

提示:不正确,取等号的条件:x=y且

1 x



2 y

无解,故(x+y)

???1x+2y???

≥4 2等号不成立,即(x+y)???1x+2y???的最小值不是4 2.

正确的求法:(x+y)

???1x+2y???

=1+

2x y



y x

+2≥3+2

2 .当且仅当y=

2x时取等号,故(x+y)???1x+2y???的最小值为3+2 2.

四基精演练

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y=x+1x的最小值是2.( × )

(2)函数f(x)=cos

x+co4s

x,x∈???0,π2

?
?的最小值等于4.(
?

×

)

(3)“x>0且y>0”是“xy+xy≥2”的充要条件.( × )

(4)若a>0,则a3+a12的最小值为2 a.( × )

2.(知识点2)若x<0,则x+1x( D ) ? 源自必修五P100练习T1 A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2 C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2

解析:选D.因为x<0,所以-x>0,-x+

1 -x

≥2

1 =2,当且仅

当x=-1时,等号成立,所以x+1x≤-2.

3.(知识点1、2)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )

? 源自必修五P99例1(2)

A.80

B.77

C.81

D.82

解析:选C.∵x>0,y>0,∴x+2 y≥ xy,

即xy≤???x+2 y???2=???128???2=81,当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.

4.(知识点1、2)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运 费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存

储费用之和最小,则x的值为________.? 源自必修五P100A组T2

解析:设总费用为y万元,则y=

600 x

×6+4x=4

???x+9x00???

≥4×2

x·90x0=4×2×30=240.

当且仅当x=90x0,即x=30时,等号成立.

答案:30

考点一 利用基本不等式求最值[创新贯通]

命题点1

不含等式条件的最值

[例1] (1)函数y=xx2-+12(x>1)的最小值为________.

解析:y=xx2-+12 =(x2-2x+1)x-+1(2x-2)+3 =(x-1)2+x-2(1 x-1)+3
=(x-1)+x-3 1+2≥2 (x-1)×x-3 1+2 =2 3+2(x>1). 当且仅当(x-1)=x-3 1,即x= 3+1时,等号成立. 答案:2 3+2

(2)若a,b∈R,ab>0,则a4+4abb4+1的最小值为________.

解析:因为ab>0,所以

a4+4b4+1 ab



2

4a4b4+1 ab



4a2b2+1 ab

=4ab

+a1b≥2

4ab·a1b=4,当且仅当

??a2=2b2, ???ab=12

时取等号,故a4+4abb4+1的

最小值是4.

答案:4

在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑 出积、和为常数的形式,然后再利用基本(均值)不等式.

命题点2

含有等式条件的最值

[例2] [一题多解]已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最

小值为( A )

A.8

B.4

C.2

D.0

解析:解法一:(构造目标不等式法)∵x>0,y>0,∴xy=

1 2

(x·2y)≤12×???x+22y???2,又x+2y=xy,∴x+2y≤12×???x+22y???2.由x>0,y> 0知x+2y>0,所以x+2y≥8,∴x+2y的最小值为8.

解法二:(常数代换法)由x+2y-xy=0得x+2y=xy,

即1y+2x=1,

∴x+2y=(x+2y) ???1y+2x??? =4+ xy + 4xy ≥4+2 x=2y时取等号,故选A.

xy·4xy=8,当且仅当

解法三:(消元法)由x+2y-xy=0得y=

x x-2

又x>0,y>0,∴x>

2,于是x+2y=x+x-2x2=x+2+x-4 2=x-2+x-4 2+4≥8,当且仅当

???x-2=x-4 2,即x=4时取等号,故选A. ??x>2

条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立 两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二 是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子, 然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所 求目标函数的不等式求解.

[提醒] (1)利用基本不等式求最值时,一定要注意应用基本不等 式的前提条件;
(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证 等号成立的条件一致.

1.(2018·唐山五校联考)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y

的最小值为( B ) A.3

B.4

9 C.2

D.121

解析:选B.因为x>0,y>0, 所以8=x+2y+x·2y≤(x+2y)+???x+22y???2, 令x+2y=t,则 8≤t+t42,即t2+4t-32≥0, 解得t≥4或t≤-8, 即x+2y≥4或x+2y≤-8(舍去), 当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.

2.(2018·贵阳二模)已知x<

5 4

,则f(x)=4x-2+

1 4x-5

的最大值为

________.

解析:因为x<

5 4

,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+

1 4x-5

=-

???5-4x+5-14x???

+3≤-2+3=1.当且仅当5-4x=

1 5-4x

,即x=1时,

等号成立.故f(x)=4x-2+4x1-5的最大值为1.

答案:1

★3.(2018·昆明模拟)已知a>0,b>0,a+b=1,则 ???1+1a??? ???1+1b??? 的 最小值为________.
解析:???1+1a??????1+1b???=???1+a+a b??????1+a+b b??? =???2+ba???·???2+ab???=5+2???ba+ba???≥5+4=9. 当且仅当a=b=12时,取等号. 答案:9

考点二 基本不等式的实际应用[探究变通] [例3] 要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知 该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该 容器的最低总造价是________.(单位:元).

解析:设底面相邻两边长分别为x m,y m,总造价为T元,则V= xy·1=4?xy=4.
T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2 xy =80 +20×4=160(当且仅当x=y时取等号).
故该容器的最低总造价是160元. 答案:160

[母题变式] 若本例变为容器底面矩形的长不小于2.5 m,则该容器的最低总造 价是________元.
解析:由例3的解答可知:总造价S=20???x+4x???+80(x≥2.5), 因为S′=20???1-x42???=20·x2x-2 4>0, 所以S=20???x+4x???+80在[2.5,+∞)上单调递增, 所以,当x=2.5 m时,Smin=20???2.5+24.5???+80=162(元). 答案:162

利用基本不等式求解实际应用题的方法 1.此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用 信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. 2.当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域 内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函 数的单调性求解.

4.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位 时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以 相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公 式为F=v2+76180v0+0v20l.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 ________辆/小时.

解析:(1)若l=6.05, 则F=v2+76180v0+0v20l=v2+76180v0+0v121=v+716v2010+0 18. ∵v>0,∴v+1v21+18≥2 121+18=40, ∴F≤7640000=1 900.

(2)若l=5,则F=v2+76180v0+0v20l=v2+76180v0+0v100 =v+716v0000+0 18. ∵v>0,∴v+1v00+18≥38, ∴F≤7630800=2 000. ∴此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时. 答案:(1)1 900 (2)100

基本不等式的创新应用 基本不等式的应用非常广泛,通常和数学的其他知识交汇考查是 高考的热点,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等 手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点. 2.用基本不等式求最值,要有用基本不等式求最值的意识. 3.检验等号是否成立,完成后续问题.

命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
[例4] (1)(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1, 则4a+c的最小值为________.

解析:依题意画出图形,如图所示. ∵S△ABD+S△BCD=S△ABC, ∴12csin 60°+12asin 60°=12acsin 120°, ∴a+c=ac,∴1a+1c=1, ∴4a+c=(4a+c)???1a+1c???=5+ac+4ca≥2 ac×4ca+5=9. 当且仅当2a=c且1a+1c=1,即a=32且c=3时,取等号. 故4a+c的最小值为9. 答案:9

(2)(2018·南宁模拟)若m≠0,则椭圆

x2 m2+1



y2 m

=1的离心率的取值

范围是________.

解析:因为在椭圆方程中m>0,m2+1≥2m>m(m>0),所以a2=

m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,

e2=ac22=m2m-2+m+1 1=1-m2m+1=1-m+1 m1 ≥1-12=12,所以 22≤e

<1.

答案:??
?

22,1 ???

命题点2

不等式恒成立求参数范围

[例5]

(2018·烟台模拟)已知函数f(x)=

x2+ax+11 x+1

(a∈R),若对于

任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是________.

解析:对任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,即x2+xa+x+1 11≥3恒成立,即 a≥-???x+8x???+3.
设g(x)=x+8x,x∈N*,则g(2)=6,g(3)=137. ∵g(2)>g(3),∴g(x)min=137.

∴-???x+8x???+3≤-83, ∴a≥-83,故a的取值范围是???-83,+∞???. 答案:???-83,+∞ ???

[素材库] 1.(2018·广东韶关模拟)某种汽车购车时的费用为10万元,每年保 险、养路费、汽油费共1.5万元,如果汽车的维修费第1年0.1万元,从 第2年起,每年比上一年多0.2万元,这种汽车最多使用________年报废 最合算(即平均每年费用最少).

解析:设这种汽车最多使用x年报废最合算,用x年汽车的总费用

为10+1.5x+x(0.1+02.2x-0.1)=10+1.5x+0.1x2万元,故用x年汽车

每年的平均费用为y=0.1x+

10 x

+1.5≥2

10 0.1x·x

+1.5=3.5(万元),当

且仅当x=10时,取等号.

答案:10

2.(2018·吉林二模)已知二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为 [0,+∞),则c+1 1+a+9 9的最大值为________.

解析:因为二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),

所以a>0,且Δ=(-4)2-4ac=0,则ac=4,即c=4a.所以c+1 1+a+9 9=

a4+1 1+a+9 9=4+a a+a+9 9=1-4+4 a+a+9 9=1+(4+a)5a(a+9)=1



5a a2+13a+36

=1+

5 a+3a6+13

≤1+



5 a×3a6+13

=1+

12+5 13=

65,当且仅当a=3a6,即a=6时等号成立,所以c+1 1+a+9 9的最大值为65. 答案:65

3.(2018·温州模拟)某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费 为1万元,以后每年增加2万元,把工作室出租,每年收入租金30万 元.
(1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方 案:①年平均利润最大时,以46万元出售该工作室;②纯利润总和最 大时,以10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案?

解:(1)设第n年获取利润为y万元.

n年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列,n年付

出的装修费之和为n×1+

n(n-1) 2

×2=n2,又投资81万元,n年共收

入租金30n万元,

∴利润y=30n-n2-81(n∈N*).

令y>0,即30n-n2-81>0,∴n2-30n+81<0,

解得3<n<27(n∈N*),∴从第4年开始获取纯利润.

(2)方案①:年平均利润t=

30n-(81+n2) n

=30-

81 n

-n=30-

???8n1+n???≤30-2 8n1·n=12(当且仅当8n1=n,即n=9时取等号), ∴年平均利润最大时,以46万元出售该工作室共获利润12×9+46

=154(万元).

方案②:纯利润总和y=30n-n2-81=-(n-15)2+144(n∈N*),

当n=15时,纯利润总和最大,为144万元,

∴纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室共获利润144+10=

154(万元),

两种方案盈利相同,但方案①时间比较短,所以选择方案①.

编后语
? 常常可见到这样的同学,他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具,下课铃一响,就迫不及待地“逃离”教室。实际上,每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么,课后的“黄金时间”可以用来做什么呢?
? 一、释疑难
? 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室,也可以向同学请教,及时消除疑难问题。做到当堂知识,当堂解决。
? 二、补笔记
? 上课时,如果有些东西没有记下来,不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容,可以在笔记本上留下一定的空间。下课后,再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记,既可以起到复习的作用,又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全,错别字要纠正,过于潦草的字要写清楚。同时,将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想,用自己的话写在笔记本的空白处。这样,可以使笔记变的更加完整、充实。
? 三、课后“静思2分钟”大有学问
? 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间,在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍,把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍,这样,不仅可以加深知识的理解和记忆,还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以,2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。

2019/7/16

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