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1宝鸡市二模考试.数学答案(理科)


2014(二)数学答案(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分). 题号 答案 B卷 1 A A 2 C B 3 C C 4 A D 5 B B 6 C A 7 A B 8 D C 9 D D 10 B B

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. 1 ; 12. 3 ; 13. 2 ? 1 ; 14. 2 ; 15:A.

1 14

B.

5 3

C. 2 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分). 16. (本题满分 12 分) 解:⑴ m ? ? 2a, b ? 与 n ?

??

?

?

3,sin B 共线,得 3b ? 2a sin B , (2 分)

?

由正弦定理有: 3 sin B ? 2sin A sin B . 因为 B ? ? 0, ? ? ,所以 sin B ? 0 ,所以 sin A ? 又 A ? ? 0, ? ? ,得: A ?

3 .(4 分) 2

?
3

或A?

2? .(6 分) 3

⑵由已知可得: f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

(8 分) ?, 6?

由 sin ? 2 A ?

? ?

?? 1

? ?? ,得A? 3 . 6? 2

又S ?

1 3 ,得 c ? 2 .(10 分) bc sin A ? 2 2
b2 ? c 2 ? a 2 ,得 a ? 3 . 2bc
1

由余弦定理 cos A ?

显见 a ? b ? c ,所以 ?ABC 是以角 C 为直角的 Rt ?ABC .(12 分)
2 2 2

17. (本题满分 12 分) 解: (1)由 an?1 ? Sn ? 2 ,得到 an ? Sn?1 ? 2 ? n ? 2? , (2 分) 相减得: an?1 ? 2an ? n ? 2? ,又 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,有 a2 ? 2a1 (4 分)

所以数列 ?an ? 是首项 a1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,故 an ? 2n .(6 分) (2)由 bn ? 2log 2 an ? 2n , (8 分) 得到:

1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? bnbn?1 2n ? 2 ? n ? 1? 4n ? n ? 1? 4 ? n n ? 1 ?



1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? ? ??? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ??
(10 分)

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? . 4 ? n ?1 ? 4
?t ?

1 1 ,故 t 的最小值为 . (12 分) 4 4

18. (本题满分 12 分) 解: (1)设“该选手所抽取的 3 道题中至少有 1 道 B 类题”为事件 A , (2 分) 则 A 为“该选手所抽取的 3 道题中没有 B 类题”. 故P A ?

? ?

3 3 C6 C6 5 1 , ( 4 分) ? P ? A? ? 1 ? 3 ? . (6 分) ? 3 C10 6 C10 6 1 2 2 1 3 C4 C6 C4 C6 C4 5 ? ? ? .) 3 3 3 C10 C10 C10 6

(直接也可: P ? A? ?

(2) X 的所以可能取值为 0,1,2,3. (8 分)
0 3 1 2 C6 C4 C6 C4 1 3 ; P ? X ? 1? ? P ? X ? 0? ? 3 ? ? ; 3 C10 30 C10 10

2

P ? X ? 2? ?

2 1 3 0 C6 C4 1 C6 C4 1 ; ? P X ? 3 ? ? . (10 分) ? ? 3 3 C10 2 C10 6

X 的分布列为:
X P 0 1 2 3

3 1 1 10 2 6 1 3 1 1 9 X 的数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . (12 分) 30 10 2 6 5
19. (本题满分 12 分)
0 解: (1)在图 1 中,由 AF ? AD ? 2 而 ?A ? 60 ,

1 30

得△ ADF 是正三角形. (2 分) 又∵ AE ? ED ? 1 , ∴ EF ? AD ∴在图 2 中有 A1E ? EF , (4 分)

z A1

BEF , 交线为 EF ∵面 A 1 EF ? 面
∴ A1E ⊥平面 BEF . 又 CF ? 面 BEF ,∴ A1E ⊥ CF .(6 分) B x E F P C y

BEF , BE ? EF , (2)由(1)知 A 1E ⊥平面
如图建立坐标系, (8 分)

则 E ? 0,0,0? , A 1 ? 0,0,1? , B ? 2,0,0? , F 0, 3, 0 . 计 算 可 得 点 P 1,

?

?

?

???? ? ??? ? 3, 0 , ∴ A1B ? (2,0, ?1) , BP ? (?1, 3,0) ,

?

???? ? EA1 ? (0,0,1)
???? ? ?? ? ? ?? ? A B ? n 1 1 ? 2x ? z ? 0 ? 设平面 A1 BP 的法向量 n 1 ? ( x, y, z) ,则 ???? (10 分) ? ?? ? BP ? n ? x ? 3 y ? 0 ? 1 ? ?? ? 令 y ? 3 ,得 n1 ? (3, 3,6)

3

∴ sin ? ? cos n1 , EA1 ?

?? ????

3 , 2

故直线 A 1E 与平面 A 1 BP 所成角的大小为 20. (本题满分 13 分) 解: (1)设椭圆 C 的方程为 由已知, c ?

? . (12 分) 3

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

2 .即 a2 ? b2 ? 2 . (2 分)

?b ? 1. 由定义 BF 1 ? BF 2 ? 2a ,得 a ? 3 ,
故椭圆 C 的方程

x2 ? y 2 ? 1. (6 分) 3

(2)由上 A ? 0, ?1? .设 M ? xM , yM ? , N ? xN , yN ? , P ? xP , yP ? 为 M , N 的中点, (8 分)
2 2 2 将直线 y ? kx ? m 代入椭圆 C ,得: 3k ? 1 x ? 6mkx ? 3m ? 3 ? 0

?

?

2 2 由 ? ? 0 ,有 m ? 3k ? 1

??? ① (10 分)

且 xP ?

xM ? xN 3mk m m ? 3k 2 ? 1 ?? 2 ,? yP ? kxP ? m ? 2 ,? k AP ? ? . 2 3k ? 1 3k ? 1 3mk

由 AM ? AN ,? AP ? MN , 即 2m ? 3k ? 1
2

???? ?

????

???②

由①②, 0 ? m ? 2 , 由②, k ?
2

2m ? 1 1 ? 0 ,得 m ? . 3 2

综上: m ? ? , 2 ? . 21. (本题满分 14 分)

?1 ?2

? ?

(13 分)

解: (1)因为函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 内具备“保号”性质, 所以在 ? 0, ??? 有 f ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 , (2 分)

4

又 a ? 0 ,故 F ? ? x ? ? aeax f ? x ? ? eax f ? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? ? eax f ? x ? 在 ? 0, ??? 内是增函数. (4 分) (2) f ? x ? 定义域为 ? ?1, ?? ? ,

f ? ? x ? ? ex ?

e x ? x ? 1? ? 1 1 . (6 分) ? x ?1 x ?1

显见,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ;
x 当 ?1 ? x ? 0 时, f ? ? x ? ? e ?

1 为增函数, f ? ? x ? ? 0 . x ?1

又 f ? 0? ? 3 ,由上 f ? x ? 在 ? 0, ??? 内是增函数,故在 ? 0, ??? 有 f ? x ? ? 0, 综上,所求 f ? x ? 最大“保号”区间为 ? 0, ??? . (8 分) (3)结论: xf ? x ? ? 当 0 ? x ? 1 时,
x 1 x

1 ?1? f ? ? .证明如下: x ? x?

1 ? x ,由(1)的结论: F ? x ? ? ex f ? x ? 在 ? 0, ??? 内是减函数 x
1

?x ?1? e f ? x ? ? e f ? ? . 即: f ? x ? ? e x f ? x?

?1? ? ? ? x?

(10 分)

设 h ? x? ?

1 1 2 ( x ? 1) 2 ? x ? 2 ln x(0 ? x ? 1) ,则 h? ? x ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? ?0 x x x x2

所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 递减,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 ,即
1

1 ? x ? ?2 ln x . x

则 ex

?x

?

1 ?x 1 x ,所以 f x ? e f ? ? 2 x

?1? 1 ?1? ? ?? 2 f ? ? ? x? x ? x?

即 f ? x? ?

1 ?1? 1 ?1? f ? ? ,所以 xf ? x ? ? f ? ? .(14 分) 2 x ? x? x ? x?

5


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