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【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习:2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案解析)

第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定 A 级 基础巩固 一、选择题 1.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角 ( ) A.相等 C.不确定 答案:C 2.对于直线 m,n 和平面 α,β ,能得出 α⊥β 的一个条件是( A.m⊥n,m∥α ,n∥β C.m∥n,n⊥β ,m? α B.m⊥n,α ∩β =m,n? α D.m∥n,m⊥α ,n⊥β ) D.相等或互补 B.互补 解析:因为 m∥n,n⊥β ,所以 m⊥β. 又 m? α ,所以 α⊥β. 答案:C 3.如图所示,在三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,则二面角 BPAC 的大小为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析:因为 PA⊥平面 ABC,BA? 平面 ABC,CA? 平面 ABC,所以 BA⊥PA,CA⊥ PA,因此,∠BAC 为二面角 B?PA?C 的平面角,又∠BAC=90°. 答案:A 4. 如图所示, 在四边形 ABCD 中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°, 将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成几何体 ABCD,则在几何体 ABCD 中,下列结论正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析:由已知得 BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,所以 CD⊥平面 ABD, 从而 CD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC. 又 AB? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ADC. 答案:D 5.已知 m,l 是直线,α ,β 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于平面 α 内两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l∥α,则 l 平行于α 内所有直线; ③若 m? α ,l? β ,且 l⊥m,则 α⊥β; ④若 l? β ,且 l⊥α,则 α⊥β. 其中正确的是( A.①②④ C.②③ ) B.①④ D.②④ 解析:①④是线面垂直、面面垂直的判定定理,故均正确.l∥α,则 l 与 α 内的直线可 能平行, 也可能异面, 故②不正确. 两个平面平行时, 分别在两平面内存在相互垂直的直线, 故③不正确. 答案:B 二、填空题 6.如图所示,在正四面体 PABC(棱长均相等)中,E 是 BC 的中点.则平面 PAE 与平面 ABC 的位置关系是________. 解析:因为 PB=PC,E 是 BC 的中点,所以 PE⊥BC,同理 AE⊥BC,又 AE∩PE=E, 所以 BC⊥平面 PAE.又 BC? 平面 ABC,所以平面 PAE⊥平面 ABC. 答案:垂直 7.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP=AB,则平面 ABP 与平 面 CDP 所成的二面角的度数是________. 解析:可将图形补成以 AB、AP 为棱的正方体,不难求出二面角的大小为 45°. 答案:45° 8.如图所示,在三棱锥 SABC 中,△SBC,△ABC 都是等边三角形,且 BC=1,SA= 3 ,则二面角 SBCA 的大小为________. 2 解析:如图所示,取 BC 的中点 O,连接 SO,AO. 因为 AB=AC,O 是 BC 的中点,所以 AO⊥BC,同理可证 SO⊥BC, 所以∠SOA 是二面角 SBCA 的平面角. 在△ AOB 中,∠AOB=90°,∠ABO=60°,AB=1, 所以 AO=1· sin 60°= 又 SA= 3 3 .同理可求 SO= . 2 2 3 ,所以△ SOA 是等边三角形, 2 所以∠SOA=60°,所以二面角 SBCA 的大小为 60°. 答案:60° 三、解答题 9.(2014· 北京卷)如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1 =AC=2,BC=1,E 是 A1C1 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求三棱锥 EABC 的体积. (1)证明:在三棱柱 ABCA1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又 AB⊥BC,所以 AB⊥平面 B1BCC1. 因为 AB? 平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)解:因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC2-BC2= 3. 1 1 1 3 所以三棱锥 EABC 的体积 V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 10.如图所示,在三棱锥 SABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC =90°,O 为 BC 的中点. (1)证明 SO⊥平面 ABC; (2)求二面角 ASCB 的余弦值. (1)证明:如图所示,由题设 AB=AC=SB=SC=SA. 连接 OA,△ABC 为等腰直角三角形, 所以 OA=OB=OC= 2 SA,且 AO⊥BC. 2 又△ SBC 为等腰三角形,故 SO⊥BC, 且 SO= 2 SA. 2 从而 OA2+SO2=SA2, 所以△ SOA 为直角三边形,SO⊥AO. 又 AO∩BC=O,所以 SO⊥平面 ABC. (2)解:取 SC 的中点 M,连接 AM,OM. 由(1)知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥SC,AM⊥SC. 所以∠OMA 为二面角 ASCB 的平面角. 由 AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O, 得 AO⊥平面 SBC. 所以 AO⊥OM. 又 AM= 3 2 SA,AO= SA, 2 2 AO 2 6 故 sin∠AMO= = = . AM 3 3 所以二面角 ASCB 的余弦值为 3 . 3 B 级 能力提升 1.设 m,n 是不同

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