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函数周期性分类解析


函数周期性分类解析

一.定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ?
则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。

f ( x) 恒成立

二.重要结论 1、 f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数;
2、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 3、 若函数 f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足 f(x+a)=

1 (a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 f ?x ?
1 (a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 f ?x ?

5、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= ?

6、 f ( x ? a ) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) (x∈R, a>0),则 f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。 1 ? f ( x)

8、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=

9、 若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(b>a)都对称,则 f(x)为周期函数且 2(b-a)是它的 一个周期。 10、函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称,则函数

f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数;
11、 函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x ) 是以 4 ? b ? a ? 为周期的周期函数; 12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期。 13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则 f(x)为周期函数且 4 a 是它的一个周期。 14、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(x∈R,T≠0),则 f(

T )=0. 2

三、典例讲解 例 1(05.福建 12) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间(0,6)

1

内解的个数的最小值是 A.6 B.7

( C .4 D.5



例 2. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R, 且对任意的 x, y 有 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) ? f ( y ) , 并存在正实数 c,使 f ( ) ? 0 。试问 f ( x ) 是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若 不是,请说明理由。

c 2

例 3. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且满足: f ( x ? 2)[1 ? f ( x )] ? 1 ? f ( x ) ,

f (1) ? 1997 ,求 f (2001) 的值。
例 4. ( 2009 江西卷文)已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有

f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 (x ? 1 ,则 f (?2008)? f (2009)的值 )
为 A. ? 2 ( B. ? 1 C. 1 D. 2 )

例 5. (天津卷 05)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x)的图象关于直线 x ? 1 对称, 2 则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____ 例 6(07 安徽)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期. 若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为 A.0 四、巩固练习 B.1 C.3 D.5 ( )

1. 已知偶函数 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2x ?1 ,则

5 3 1 ? f ( x) 2 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? , 1 ? f ( x) 当 0 ? x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (11.5) ? 3 知 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 满 足 f ( x? 2 ) ? ? f ( x ) , 且 x ?[ 0 , 2 ] 时,

f (log 2 10) 的值为

A.

3 5

B.

8 5

C. ?

3 8

D.

2 . ?1? 求 x ? [?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式; ? 2 ? 证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数. f ( x) ? 2 x? x

3 ? 3 ? 4. ( 05 朝阳模拟)已知函数 f ( x) 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称,且满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) , 2 ? 4 ? 又 f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (2006) 的值

高三数学恒成立问题的类型及求解策略
恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、
2

函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,也为历年高考的一个热点。现将 高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。 一、 一次函数型: 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0, 则根据函数的图象 (直 线)可得上述结论等价于

?a ? 0 ?a ? 0 ? f ( m) ? 0 或ⅱ) ? 亦可合并定成 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( m) ? 0 同理,若在[m,n]内恒有 f(x)<0,则有 ? ? f ( n) ? 0 例1、 对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。
ⅰ) ?

二、 二次函数型 若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立,则有 ?

?a ? 0 若是二次函数在指定区间 ?? ? 0

上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例 2 .定义在 R 上的减函数 f ?x ? ,如果不等式组 ?
2 ? ? f 1 ? kx ? x ? f ?k ? 2? 对任何 2 ? ? ? f 3 kx ? 1 ? f 1 ? kx ? x ?

?

?

?

?

x ? ?0,1? 都成立,求 k 的取值范围。

例 3.关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 恒有解,求 a 的范围。

三、 变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所 求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边, 则可将恒成立问题转化
3

成函数的最值问题求解。 例 4 已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx+ 5a ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围。

例 5.若不等式

1 1 1 1 m ? ? ? ... ? > 对于大于 1 的一切自然数 n 都成立, 求 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24

自然数 m 的最大值, 并证明所得结论。

四、 直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象, 则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。 2 例 6、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求 a 的取值范围。

五.根据函数的奇偶性、周期性、对称性等性质 例 7 若 f(x)=sin(x+ ? )+cos(x- ? )为偶函数,求 ? 的值。

六.利用导数求最值解决恒成立问题 例 8 已知函数 f(x)= ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R ) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

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