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高中数学必修5课件章末归纳总结3


成才之路· 数学 人教A版 ·必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 不等式 第三章 章末归纳总结 知识结构 随堂应用练习 专题突破 知识结构 专题突破 一、不等式与函数、方程的问题 不等式和函数、方程联系紧密,相互渗透.不等式的应用 主要体现在:利用不等式求函数的定义域、值域、最值;利用 不等式讨论方程的根及有关性质. mx2+8x+2 已知函数 f(x)=log3 的定义域为 R, 求 x2 +1 实数 m 的取值范围. mx2+8x+2 [分析] 函数 f(x)的定义域为 R 等价于 >0 恒成 2 x +1 立. mx2+8x+2 [解析] 由题意,得 >0 恒成立, x2+1 又∵x2+1>0,∴mx2+8x+2>0 恒成立. 1 当 m=0 时,8x+2>0,∴x>-4不合题意. 当 m≠0 ∴m>8. 综上可知实数 m 的取值范围是 m>8. ? ?m>0 时,则有? ? ?Δ=64-8m<0 , 实数 m 取何范围的值时,方程 x2+(m-3)x+m =0 的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内. [解析] (1)设方程的两根为 x1、x2,则由题意可得: ?△=m2-10m+9≥0 ? ?x1+x2=3-m>0 ?x · ? 1 x2=m>0 , 解得 m 的取值范围是(0,1]. (2)设 f(x)=x2+(m-3)x+m,由题意得, ?△=m2-10m+9≥0 ? ?f?0?=m>0 ? 3-m ? 0< 2 < 2 ? ?f?2?=3m-2>0 2 解得3<m≤1. , 设 a∈R,关于 x 的一元二次方程 7x2-(a+13)x+ a2-a-2=0 有两个实根 x1、x2,且 0<x1<1<x2<2,求 a 的取值 范围. [分析] 令 f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,它的图象是开 口向上的抛物线,它在 (0,1) 和 (1,2)区间内与 x 轴相交,则有 ?f?0?>0 ? f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0, 所以只需解关于 a 的不等式组?f?1?<0 , ? ?f?2?>0 即可求得 a 的取值范围. [解析] 设 f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,图象如图. ∵x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根, 且 0<x1<1,1<x2<2. ?a2-a-2>0 ?f?0?>0 ? ? 2 7 - ? a + 13 ? + a -a-2<0 f ? 1 ? <0 ? ? ∴ ? ? ?28-2?a+13?+a2-a-2>0 ?f?2?>0 ? ?a2-a-2>0 ? 2 ??a -2a-8<0 ?a2-3a>0 ? ?a<-1,或a>2 ? ??-2<a<4 ?a<0,或a>3 ? ?-2<a<-1,或 3<a<4. ∴a 的取值范围是{a|-2<a<-1,或 3<a<4}. [点评] 设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)对应的二次 函数为 f(x)=ax2+bx+c(a>0).结合图象可得: (1)方程 f(x)=0 在区间(-∞,k)内有两个不等的实根,则 ?Δ>0 ? b 有?-2a<k ? ?f?k?>0 (其中 k 为常数,Δ=b2-4ac,以下同). (2)方程 f(x)=0 在区间(k,+∞)内有两个不等的实根,则 ?Δ>0 ? b 有?-2a>k ? ?f?k?>0 . (3)方程 f(x)=0 有一根大于 k,另一根小于 k,则有 f(k

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