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【金版学案】高中数学人教A版必修四练习:2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案解析)

第二章 2.1 平面向量 平面向量的实际背景及基本概念 A 级 基础巩固 一、选择题 1.在下列判断中,正确的是( ①长度为 0 的向量都是零向量; ②零向量的方向都是相同的; ③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向; ⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③ C.①②⑤ D.①③⑤ B.②③④ ) 解析:由定义知①正确,②由于零向量的方向是任意的,故两个零向量的方向是否相同 不确定,故不正确.显然③、⑤正确,④不正确. 答案:D 2.下列命题中,正确的是( A.|a|=1? a=±1 B.|a|=|b|且 a∥b? a=b C.a=b? a∥b D.a∥0? |a|=0 解析:两共线向量的模相等,但两向量不一定相等,0 与任一向量平行. 答案:C → → → 3.如图所示,在⊙O 中,向量OB、OC、AO是( ) ) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 答案:C → 4.数轴上点 A、B 分别对应-1、2,则向量AB的长度是( A.-1 C.1 B. 2 D.3 ) → 解析:易知|AB|=2-(-1)=3. 答案:D → → → → 5.若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形 ABCD 的形状为( A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.等腰梯形 ) → → → → 解析:由BA=CD知四边形为平行四边形;由|AB|=|AD|知四边形 ABCD 为菱形. 答案:C 二、填空题 → → 6.已知 A,B, C 是不共线的三点,向量 m 与向量AB是平行向量,与BC是共线向量, 则 m=________. → → → → 解析:因为 A,B,C 三点不共线,所以AB与BC不共线,又因为 m∥AB且 m∥BC,所 以 m=0. 答案:0 → 7.如图所示,以 1× 2 方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中,与AF相等 的向量有________. → → → 解析:因为各方格均为正方形,则有BE=CD=AF. → → 答案:BE,CD → 8.如果在一个边长为 5 的正△ ABC 中,一个向量所对应的有向线段为AD(其中 D 在边 → BC 上运动),则向量AD长度的最小值为________. 解析:结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ ABC 中,有向线段 AD 长度最 5 3 小时,AD 应与边 BC 垂直,有向线段 AD 长度的最小值为正△ ABC 的高,为 . 2 5 3 答案: 2 三、解答题 9.如图所示,D,E,F 分别是正三角形 ABC 各边的中点. → (1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量; → (2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量; → → (3)分别写出图中所示向量与向量DE,FD共线的向量. → → → → → → → → → 解:(1)与DE长度相等的向量是EF,FD,AF,FC,BD,DA,CE,EB; → → → (2)与FD相等的向量是CE,EB; → → → → → → → → (3)与DE共线的向量是AC,AF,FC;与FD共线的向量是CE,EB,CB. 10.如图所示,两人分别从 A 村出发,其中一人沿北偏东 60°方向行走了 1 km 到了 B 村,另一人沿北偏西 30°方向行走了 3 km 到了 C 村,问 B、C 两村相距多远?B 村在 C 村的什么方向上? → → → → |AB| 1 解:由题可知|AB|=1,|AC|= 3,∠CAB=90°,则|BC|=2,又 tan∠ACB= = → 3 |AC| = 3 , 3 所以∠ACB=30°,故 B、C 两村间的距离为 2 km,B 村在 C 村的南偏东 60°的方向 上. B 级 能力提升 → 1.已知点 O 固定,且|OA|=2,则 A 点构成的图形是( ) A.一个点 C.一个圆 → 解析:因为|OA|=2, B.一条直线 D.不能确定 所以终点 A 到起点 O 的距离为 2. 又因为 O 点固定, 所以 A 点的轨迹是以 O 为圆心,2 为半径的圆. 答案:C 2.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 方向相反;④|a|=0 或|b|=0,其中 能使 a∥b 成立的条件是________(填序号). 解析:因为 a 与 b 为相等向量,所以 a∥b,即①能够使 a∥b 成立;由于|a|=|b|并没有 确定 a 与 b 的方向,即②不能够使 a∥b 成立;因为 a 与 b 方向相反时,a∥b,即③能够使 a ∥b 成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0 或|b|=0 时,a∥b 能够成立.故使 a∥b 成立的条件是①③④. 答案:①③④ 3.如图的方格纸由于若干个边长为 1 的小正方体并在一起组成,方格纸中有两个定点 → A,B.点 C 为小正方形的顶点,且|AC|= 5. → (1)画出所有的向量AC; → (2)求|BC|的最大值与最小值. → 解:(1)画出所有的向量AC,如图所示. (2)由(1)所画的图知, ①当点 C 位于点 C1 或 C2 时, → |BC|取得最小值 12+22= 5; ②当点 C 位于点 C5 或 C6 时, → |BC|取得最大值 42+52= 41; → 所以|BC|的最大值为 41,最小值为 5.

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