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高二必修五模块综合素质能力检测


模块综合素质能力检测
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.) 1.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a5+a8 +a11 的值为( A.30 C.9 [答案] D [解析] 在 等 差 数 列 {an} 中 , 设 bn = an + an + 3 + an + 6 , (n = ) B.27 D.15

1,2,3??),则{bn}仍为等差数列. b1=a1+a4+a7=39, b2=a2+a5+a8=33,∴公差 d=b2-b1=-6, ∴a5+a8+a11=b5=b1+4d=39+4×(-6)=15. 2. 在△ABC 中, B=45° , C=60° , c=1, 则最短边的边长等于( 6 A. 3 1 C.2 [答案] A [解析] A=180° -(60° +45° )=75° ,∴B 最小,故边 b 最小,由 c 6 正弦定理 b=sinC· sinB= 3 .选 A. 3. 不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1}, 则函数 y=f(- x)的图象为( ) 6 B. 2 3 D. 2 )

[答案] C [解析] 由 f(x)>0 的解集为{x|-2<x<1}知,f(x)开口向下,对称轴 在 y 轴左侧, 又 y=f(-x)与 y=f(x)图象关于 y 轴对称. ∴f(-x)图象开 口向下,对称轴在 y 轴右侧,故选 C. 1 1 4.已知数列{an},满足 an+1= ,若 a1=2,则 a2012=( 1-an 1 A.2 C.-1 [答案] B 1 [解析] 易知 a2=2,a3=-1,a4=2,a5=2,∴数列{an}的周期 为 3,而 2012=670×3+2,∴a2012=a2=2. [点评] 数列是特殊的函数,如果数列{an}对任意 n∈N,满足 an
+T

)

B.2 D.1

=an(T∈N*),则 T 为{an}的周期. 5.已知△ABC 中,b=30,c=15,∠C=29° ,则此三角形解的

情况是(

) B.两解 D.无法确定

A.一解 C.无解 [答案] B

[解析] b sinC=30 sin 29° <30 sin 30° =15=c<b=30. 即:b sinC<c<b,如图,故有两解.

6.用钢管制作一个面积为 1m2,形状为直角三角形的铁支架框, 有下列四种长度的钢管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是( A.4.6m C.5m [答案] C [解析] 设直角三角形两直角边长分别为 am, bm, 由题设条件有 1 2ab=1,即 ab=2, 其周长 L=a+b+ a2+b2, 据题意“经济”的含义是:在 ab=2 的条件下,L 最小. ∵L≥2 ab+ 2ab=(2+ 2)· 2 且 4.8<(2+ 2) 2<5,等号在 a=b 时成立,故选 C. 7.公差不为零的等差数列的第 1 项、第 6 项、第 21 项恰好构成 B.4.8m D.5.2m )

等比数列,则它的公比为( 1 A.3 C.3 [答案] C

) 1 B.-3 D.-3

[解析] 设等差数列首项为 a1,公差为 d,由题设 a1,a6,a21 成
2 等比数列,∴a6 =a 1 · a21 即:

2 (a1+5d)2=a1(a1+20d),∴d=5a1, 2 a1+5×?5a1? a6 a1+5d ∴公比 q=a = a = =3. a
1 1 1

8. 已知 Ω={(x, y)|x+y≤6, x≥0, y≥0}, A={(x, y)|x≤4, y≥0, x-2y≥0},若向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P 落在区域 A 内的概 率为( 1 A.3 1 C.9 [答案] D [解析] 区域 Ω 为图中△OCD.区域 A 为图中△OBE, 易知 B(4,0)、 E(4,2)、C(6,0)、D(0,6), ) 2 B.3 2 D.9

1 ×4×2 S△OBE 2 4 2 由几何概型知,所求概率 P= =1 =18=9. S△OCD 2×6×6 9.设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是( A.-2 2 C.-3 [答案] C [解析] 设 a+b=t,则 a=t-b, 代入 a2+2b2=6 中得,(t-b)2+2b2=6, 整理得 3b2-2tb+t2-6=0, ∵b∈R,∴△=4t2-12(t2-6)≥0, ∴-3≤t≤3,即(a+b)min=-3. 10.钝角△ABC 的三边长为连续自然数,则这三边长为( A.1,2,3 B.2,3,4 ) 5 3 B.- 3 7 D.-2 )

C.3,4,5 [答案] B

D.4,5,6

[解析] 令三边长为 n,n+1,n+2(n∈N+),且边长为 n+2 的边 所对的角为 θ,则 n2+?n+1?2-?n+2?2 cosθ= <0,∴-1<n<3, 2n?n+1? ∵n∈N+,∴n=1 或 2. ∵三角形任意两边之和大于第三边,∴n=2, ∴三边为 2,3,4. nπ 11.(2012· 福建文,11)数列{an}的通项公式 an=ncos 2 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于( A.1006 C.503 [答案] A [解析] 本题考查了数列求和中的分组求和思想方法. nπ 2π ∵y=cos 2 的周期 T= π =4, 2 ∴可分四组求和. a1+a5+?+a2009=0, a2 + a6 + ? + a2010 =- 2 - 6 - ? - 2010 = 503×1006, a3+a7+?+a2011=0, a4 + a8 + ? + a2012 = 4 + 8 + ? + 2012 = 503×1008, 503· ?4+2012? = 2 503· ?-2-2010? =- 2 ) B.2012 D.0

∴S2012=0-503×1006+0×1008=503· (-1006+1008)=1006. [点评] 对于不能直接套用已有公式的情形,要注意适当化归或

分组数列求和一般有直套公式型,分组求和型,裂项相消型和错位相 减型等. 12.在 R 上定义运算⊕:x⊕y=x(1-y),若不等式(x-a)⊕(x+ a)<1 对任意实数 x 成立,则( A.-1<a<1 1 3 C.-2<a<2 [答案] C [解析] ∵运算⊕满足 x⊕y=x(1-y),∴不等式(x-a)⊕(x+a)<1 化为(x-a)(1-x-a)<1,整理得 x2-x-a2+a+1>0,此不等式对任意 实数 x 都成立, 1 3 ∴△=1-4(-a2+a+1)<0,∴-2<a<2. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正 确答案填在题中横线上) 13.等比数列{an}和等差数列{bn}中,a5=b5,2a5-a2a8=0,则 b3 +b7=________. [答案] 4
2 [解析] ∵2a5-a2a8=2a5-a5 =0,an≠0,∴a5=2,

) B.0<a<2 3 1 D.-2<a<2

∴b3+b7=2b5=2a5=4. π 14. (2011· 四川资阳模拟)在△ABC 中, ∠A=3, BC=3, AB= 6, 则∠C=________. π [答案] 4

[解析 ]

由正弦定理得

6 2 = ,∴ sin C = π sinC 2 ,∵ AB<BC,∴ sin3

3

π C<A,∴C=4. x+2y-3≤0 ? ? 15.已知变量 x,y 满足约束条件?x+3y-3≥0 ? ?y-1≤0

,若目标函数 z

=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值, 则 a 的取值范围为_____.
?1 ? [答案] ?2,+∞? ? ?

[解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线 z=ax+y 经过 A 点, 位于直线 l1 与 x+2y-3=0 之间时,z 仅在点 A(3,0)处取得最大值,∴ 1 1 -a<-2,∴a>2.

16.已知点(1,t)在直线 2x-y+1=0 的上方,且不等式 x2+(2t -4)x+4>0 恒成立,则 t 的取值集合为________. [答案] {t|3<t<4} [解析] ∵(1,t)在直线 2x-y+1=0 的上方, ∴t>3, ∵不等式 x2+(2t-4)x+4>0 恒成立, ∴Δ=(2t-4)2-16<0,∴0<t<4,∴3<t<4. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)和为 114 的三个数是一个公比不为 1 的等 比数列的连续三项,也是一个等差数列的第 1 项,第 4 项,第 25 项, 求这三个数. a a [解析] 由题意,设这三个数分别是q,a,aq,且 q≠1,则q+a +aq=114 a 令这个等差数列的公差为 d,则 a=q+(4-1)· d. 1 a 则 d=3(a-q), a? a 1 ? 又有 aq=q+24×3×?a-q?
? ?





由②得(q-1)(q-7)=0,∵q≠1,∴q=7 代入①得 a=14,则所求三数为 2,14,98. 18.(本小题满分 12 分)(2011· 黑龙江哈六中期末)在△ABC 中,内 π 角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

[解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ 1 ABC 的 面 积 等 于 3 , 所 以 2 absinC = 3 , 得 ab = 4. 联 立 方 程 组
?a2+b2-ab=4, ? ? 解得 a=2,b=2. ? ?ab=4,

(2) 由题意得 sin(B + A) + sin(B - A) = 4sinAcosA ,即 sinBcosA = 2sinAcosA, π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A=2,B=6,a= 3 ,b= 3 , 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,联立方程
?a2+b2-ab=4, ? 组? ? ?b=2a,

2 3 4 3 解得 a= 3 ,b= 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S=2absinC= 3 . 19.(本小题满分 12 分)为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安 全,去年冬天,某水利工程队在河边选择一块矩形农田,挖土以加固 河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积为 10 000m2 的矩形鱼塘,其四周都留有宽 2m 的路面,问所选的农田的长和宽各 为多少时,才能使占有农田的面积最小. [解析] 设鱼塘的长为 xm,宽为 ym,则农田长为(x+4)m,宽为 (y+4)m,设农田面积为 S.则 xy=10 000, S = (x + 4)(y + 4) = xy + 4(x + y) + 16 = 10 000 + 16 + 4(x + y)≥10 016+8 xy=10 016+800=10 816. 当且仅当 x=y=100 时取等号. 所以当 x=y=100 时,Smin=10 816m2.

此时农田长为 104m,宽为 104m. 20.(本小题满分 12 分)(1)如图,从相距 165m 的 A、B 两观察站 测 C、D 两个目标的视角都是 30° ,同时知道 A 在 C 的正南、B 在 D 的正东,求 C、D 两个目标间的距离.

(2)台湾是祖国不可分割的一部分,祖国的统一是两岸人民共同的 愿望, 在台湾海峡各自的海域内, 当大陆船只与台湾船只相距最近时, 两船均相互鸣笛问好,一天,海面上离台湾船只 A 的正北方向 100 海 里处有一大陆船只 B 正以每小时 20 海里的速度沿北偏西 60 度角的方 向行驶,而台湾船只 A 以每小时 15 海里的速度向正北方向行驶,若 两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好? [解析] (1)由∠DAC=∠DBC=30° ,得 A、B、C、D 共圆, ∴∠ACD=∠ABD. 又 CD AD AD AB = , = . sin∠DAC sin∠ACD sin∠ABD sin∠ADB

由已知可求得∠ADB=60° , 165· sin30° ∴CD= sin60° =55 3(m). (2)设 x 小时后,B 船至 D 处,A 船至 C 处,BD=20x,BC=100

20 -15x,∵x>0,100-15x>0,∴0<x< 3 , 由余弦定理: DC2=(20x)2+(100-15x)2-2· 20x· (100-15x)· cos120 ° =325x2-1 000x+10 000 20? 20? ? 10 000 ? =325?x-13?2+10 000- 13 .?0<x< 3 ?
? ? ? ?

20 ∴x=13小时后,两船最近,可鸣笛问好. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称, 且 f(x)=x2+2x, (1)求 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|. [解析] (1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对 称点为 P(x,y), x ?x + 2 =0 则? y +y ? 2 =0
0 0

? ?x0=-x ,即? ?y0=-y ?



∵点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|可得 2x2-|x-1|≤0, 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0, 此时不等式无解, 当 x<1 时,2x2+x-1≤0, 1 ∴-1≤x≤2,

1 因此,原不等式的解集为[-1,2]. 22.(本小题满分 14 分)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配 营养餐,甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质,售价 3 元; 乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元,若病人每 餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问:应如何使用甲、乙 原料,才能既满足营养需求,又使费用最省? [解析] 设甲、乙两种原料分别用 10 x g 和 10y g,需要的费用为 z=3x+2y 元. 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质,可表示为 5x+7y≥35,同理, 对铁质的要求可以表示为 10x+4y≥40,即 5x+2y≥20, 5x+7y≥35, ? ? 问题成为:在约束条件?5x+2y≥20, ? ?x≥0,y≥0, 下,求目标函数 z=3x+2y 的最小值,作出可行域,如图所示:

令 z=0,作直线 l0:3x+2y=0. 由图形可知,把直线 l0 平移至经过点 A 时,z 取得最小值.

? ?5x+7y=35 ?14 ? 由? 得 A? 5 ,3?. ? ? ?5x+2y=20 ?

14 所以用甲种原料 5 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g),费用最 省.

1. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1>0, S15=0, 若数列{Sn} 中的最大项为 Sk,则 k=( A.15 C.7 或 8 [答案] C [解析] ∵S15=15a8=0, ∴a8=0, 又 a1>0, ∴d<0, ∴a7>0, a9<0, 故在数列{Sn}中,S1<S2<?<S7=S8>S9>S10>??,故 k=7 或 8. 2.在公差为 4 的正项等差数列中,a3 与 2 的算术平均数等于 S3 与 2 的几何平均数,其中 S3 表示此数列的前三项和,则 a10 为( A.38 C.42 [答案] A [解析] 由条件知 a3=a1+8,S3=3a1+12, ∴ a1+8+2 = 2?3a1+12?,解得 a1=2. 2 B.40 D.44 ) ) B.8 或 9 D.8

∴a10=2+9×4=38. 3.若函数 f(x)=x2-ax+1 的函数值有负值,则常数 a 的取值范 围是( ) B.-2<a<2

A.a<-2 或 a>2

C.a≠2 且 a≠-2 [答案] A

D.1<a<3

[解析] ∵f(x)是二次项系数为正值的二次函数, ∴f(x)有负值?△>0,即 a2-4>0,∴a>2 或 a<-2. 1 1 1 1 4. 设 f(n)= + + +?+2n(n∈N*), 那么 f(n+1)-f(n) n+1 n+2 n+3 等于( ) 1 B. 2n+2 1 1 D. - 2n+1 2n+2

1 A. 2n+1 1 1 C. + 2n+1 2n+2 [答案] D [解析] f(n+1)-f(n)

1 1 1 1 1 =( + +?+2n+ + ) n+2 n+3 2n+1 2n+2 1 1 1 -( + +?+2n) n+1 n+2 = 1 1 1 1 1 + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2

[点评] 准确弄清 f(n)的表达式是解题的关键,f(n)的表达式是一 列数的和,每一个数分子都是 1,分母从 n+1 开始,每项递增 1 至 2n 结束,从而 f(n+1)应是分母从(n+1)+1=n+2 开始,每项递增 1 至 2(n+1)=2n+2 结束. 5.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0) 4 1 对称,则a+b的最小值是( A.4 C.8 ) B.6 D.9

[答案] D [解析 ] 4 1 由条件知圆心 (- 1,2)在直线上,∴ a+ b= 1,∴a+b=

4?a+b? a+b 4b a 4b a 4b a + = 5 + + ≥ 5 + 2· · = 9 , 等号在 即 a=2b a b a b a b a =b, 时成立. 2 1 2 1 4 1 ∵a+b=1,∴a=3,b=3,故在 a=3,b=3时,a+b取到最小 值 9. 6.(2011· 江南十校素质测试)已知 a、b、c 是同一平面内的三个单 位向量,它们两两之间的夹角均为 120° ,且|ka+b+c|>1,则实数 k 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(-∞,0)∪(2,+∞) [答案] C [解析] 根据|ka+b+c|>1 可得|ka+b+c|2>1, ∴k2a2+b2+c2+2ka· b+2ka· c+2c· b>1, ∴k2-2k>0,k<0 或 k>2. 7.(2011· 豫南四校调研考试)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的 最大值为( A.2 2 2 C. 3 [答案] A [ 解析 ] 1 设 BC = x ,则 AC = 2 x ,根据面积公式得 S △ ABC = 2 1-cos2B ① , 根 据 余 弦 定 理 得 cosB = ) 3 B. 2 D.3 2 ) B.(2,+∞) D.(0,2)

×AB×BCsinB = x

AB2+BC2-AC2 4+x2-2x2 4-x2 = = 4x 2AB· BC 4x x 4-x2 2 1-? 4x ? =

②,将②代入①得, S △ ABC =

128-?x2-12?2 ,由三角形的三边关系得 16

? ? 2x+x>2 ? ,解得 2 2-2<x<2 2+2,故当 x=2 3时,S△ABC 取得最 ? ?x+2> 2x

大值 2 2,故选 A.

一、选择题
2 1.等差数列{an}各项都是负数,且 a2 3+a8+2a3a8=9,则它的前

10 项和 S10=( A.-11 C.-15 [答案] C

) B.-9 D.-13

3 [解析] ∵a3 +a2 3; 8+2a3a8=9,∴a3+a8=±

∵{an}各项均为负数.∴a3+a8=-3, ∴S10= 10?a1+a10? =5(a3+a8)=-15. 2

2.已知集合 A={t|t2-4≤0},对于满足集合 A 的所有实数 t,则 使不等式 x2+tx-t>2x-1 恒成立的 x 的取值范围是( A.(3,+∞)∪(-∞,-1) C.(-∞,-1) [答案] A [解析] A={t|-2≤t≤2},设 f(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由条件 )

B.(3,+∞)∪(-∞,1) D.(3,+∞)

知 f(t)在[-2,2]上恒为正值.

2 ? ? ?x -4x+3>0 ?f?-2?>0 ∴? ,∴? 2 ,∴x>3 或 x<-1. ?f?2?>0 ? ? ?x -1>0

3.设{an}是公差不为 0 的各项都为正数的等差数列,则( A.a1· a8>a4· a5 C.a1+a8>a4+a5 [答案] B [解析] 设公差为 d,∵d≠0, ∴a1a8-a4a5=a1(a1+7d)-(a1+3d)(a1+4d) =-12d2<0,∴a1a8<a4a5,又 a1+a8=a4+a5. ∴选 B. 4.(2012· 福建理,5)下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x2+4)>lgx(x>0) 1 B.sinx+sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 [答案] C [解析] 本题考查了基本不等式与重要不等式. ) B.a1· a8<a4· a5 D.a1a8=a4a5

)

1 A 中 x=2时不等式不成立, B 中 sinx 不总大于 0,D 中, x=0 时, 不等式不成立. [ 点评 ] 在不等式中尤其是基本不等式中式子成立的条件很重

要,不能忽视. 5.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则下列各式中正确的是( 1 A.ab≤2 1 B.ab≥2 )

C.a2+b2≥2 [答案] C

D.a2+b2≤3

[解析] 因为 a≥0, b≥0, 由基本不等式得 2=a+b≥2 ab? ab 2?a2+b2? a2+b2+2ab ≤1?ab≤1,故 A,B 均错误;又 a +b = ≥ = 2 2
2 2

?a+b?2 2 =2,故选项 C 正确,选项 D 错误. 6 . 设 O 为 坐 标 原 点 , 点 A(1,1) , 若 点 B(x , y) 满 足 x +y -2x-2y+1≥0 ? ? ?1≤x≤2 ? ?1≤y≤2 ( ) A.1 C.3 [答案] B [解析] 根据题意作出满足不等式组的可行域,如图阴影部分所 B.2 D.无数个
2 2

→ → ,则OA· OB取得最小值时,点 B 的个数是

→ → 示.∵OA· OB=(1,1)· (x,y)=x+y,令 z=x+y,则 y=-x+z,z 的几 何意义是斜率为-1 的直线 l 在 y 轴上的截距, 由可行域可知, 当直线 l 过点(1,2)或点(2,1)时,z 最小,从而所求的点 B 有两个.

x ≥0 ? ? 7.不等式组?y≥0 ? ?y≤-kx+4k kS 的面积为 S,则 的最小值为( k- 1 A.30 C.34 [答案] B

(k>1)所表示的平面区域为 D,若 D

) B.32 D.36

[解析] 作出可行域如图中△OAB,其面积

1 S=2×4×4k=8k.
2 kS 8k2 8k -8+8 ∴ = = k-1 k-1 k-1

8 =8(k+1)+ , k-1 8 =8(k-1)+ +16≥32, k-1 等号在 8(k-1)= 8 ,即 k=2 时成立. k-1

∴k=2 时,取最小值 32. 8.设 a、b、c 是一个长方体的长、宽、高,且 a+b-c=1,已

知此长方体对角线长为 1,且 b>a,则高 c 的取值范围是(
?1 ? A.?3,+∞? ? ? ?1 ? B.?3,1? ? ? ?

)

C.(0,1) [答案] D

1? ? D.?0,3?
?

[解析] 由 a+b=1+c 得,a2+b2+2ab=c2+2c+1 ∵a2+b2>2ab,a2+b2+c2=1, ∴2(1-c2)>c2+2c+1 1 1 ∴-1<c<3,∵c>0,∴0<c<3. 9.已知 A(3,0),O 是坐标原点,点 P(x,y)的坐标满足 x-y≤0 ? ? ?x-3y+2≥0 ? ?y>0 → → OA· OP ,则 的取值范围为( → |OP|

)

3 2 A.(-3, 2 ] 3 2 C.[-2, 2 ] [答案] A

3 2 B.[1, 2 ] D.[-3,2]

[解析] 作出可行域如图(其中不包括线段 OC).

将原式化简可得: → → → → | OA | |OP|cos∠AOP OA· OP = =3cos∠AOP. → → |OP| |O P | π 2 由图知4≤∠AOP<π,所以-1<cos∠AOP≤ 2 , → → OA· OP 3 2 故-3< ≤ 2 . → |OP| 10.(2012· 天津理,8)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2 =0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) [答案] D [解析] 本小题考查直线与圆相切的判断、基本不等式等知识. ∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切, ∴ |?m+1?+?n+1?-2| =1, ?m+1?2+?n+1?2 )

∴|m+n|= ?m+1?2+?n+1?2, ∴(m+n)2=(m+1)2+(n+1)2 1 ∴m+n+1=mn≤4(m+n)2, ∴(m+n)2-4(m+n)-4≥0, 得 m+n≤2-2 2, 或 m+n≥2+2 2. [点评] 复习. 基本不等式及其变形是高考常考的知识,要有针对性的

11. (2011· 深圳二调)已知△ABC 中, ∠A=30° , AB, BC 分别是 3 + 2, 3- 2的等差中项与等比中项,则△ABC 的面积等于( 3 A. 2 3 C. 2 或 3 [答案] D [解析] 依题意得 AB= 3,BC=1,易判断△ABC 有两解,由正 AB BC 3 1 3 弦定理得sinC=sinA,sinC=sin30° ,即 sinC= 2 .又 0° <C<180° ,因此 1 有 C=60° 或 C=120° .当 C=60° 时,B=90° ,△ABC 的面积为2AB· BC 3 1 1 = 2 ;当 C=120° 时,B=30° ,△ABC 的面积为2AB· BC· sinB=2× 3 3 ×1×sin30° = 4 .综上所述,选 D. 12. (2011· 泉州质检)△ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于( A.30° C.90° [答案] B [ 解析 ] 依题意得 acosC + ccosA = 2bcosB ,根据正弦定理得, B.60° D.120° ) 3 B. 4 3 3 D. 2 或 4 )

sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,则 sin(A+C)=2sinBcosB,即 sinB 1 =2sinBcosB,又 0° <B<180° ,所以 cosB=2,所以 B=60° ,选 B. 二、填空题 3 2 5 3 7 4 13. 数列 1, ?的一个通项公式为_____________. 4, 3, 8, 5, 12, 7,

n+1 [答案] an= 2n (不惟一). 2 3 4 5 6 7 8 [解析] 将数列中的项作适当调整为: ? 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 显然分子分母都是等差数列,分子 bn=n+1,分母 cn=2n,∴通项 an n+1 = 2n . 14.已知 a、b、c 分别为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,向 量 m=( 3, -1), n=(cosA, sinA). 若 m⊥n, 且 acosB+bcosA=csinC, 则角 B=________. π [答案] 6 π [解析] 由 m⊥n 得, 3cosA-sinA=0,∴tanA= 3,∴A=3, 由正弦定理 acosB+bcosA=csinC 可变形为 sinAcosB+sinBcosA=sin2C. ∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC,∴sinC=sin2C, π ∴sinC=1,∴C=2, π π π ∴B=π-3-2=6. 15.(2010· 辽宁理,14)已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x- 3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) [答案] (3,8) [解析] 如图,作直线 l0:2x-3y=0,平移 l0 可知,当平移到经 过点 A、B 时, z 分别取最小、最大值,

∵A 点是(3,1),B 点是(1,-2), ∴3<z<8.
2 ? ?x +1,x≥0 16.(2010· 江苏,11)已知函数 f(x)=? ,则满足不等 ? ?1,x<0

式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________. [分析] 解含函数符号“f ”的不等式,一般是用单调性求解.观察 函数 f(x)的表达式不难发现 x≥0 时,x2+1≥1,且 f(x)=x2+1 在[0, +∞)上单调增,又 x<0 时,f(x)=1,∴f(x)在 R 上单调递增. [答案] (-1, 2-1) [解析]
2 ? ?x +1 ?x≥0? ∵f(x)=? ?1 ?x<0? ?

∴对任意 x1,x2∈R,当 x1<x2 时,有 f(x1)≤f(x2). ∴当 f(x1)>f(x2)时,应有 x1>x2.(否则,若 x1=x2,则 f(x1)=f(x2), 若 x1<x2,则 f(x1)≤f(x2),均与 f(x1)>f(x2)矛盾) ∵f(1-x2)>f(2x),∴1-x2>2x,

∴x2+2x-1<0,∴-1- 2<x< 2-1, 又当 x<-1 时,1-x2<0,2x<0, ∴f(1-x2)=1,f(2x)=1,不满足 f(1-x2)>f(2x). 当 x=-1 时同理可验证不满足不等式, ∴-1<x< 2-1. [点评] 可以令 1-x2=0,找出分界点 x=± 1,然后按 x=0,1,- 1 分段进行讨论. 三、解答题 3 17.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,cosB=5, → → 且AB· BC=-21. (1)求△ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C. [解析 ] -B) → → → → → → → → (1)AB· BC= |A B |· |B C |· cos〈AB · BC〉=|A B |· |B C |·cos(π

→ → 3 → → =-5|A B |· |B C |=-21,∴|A B |· |B C |=35,
4 1 → → 又∵sinB=5,∴S△ABC=2|A B |· |B C |· sinB 1 4 =2×35×5=14. (2)由(1)知 ac=35,又 a=7,∴c=5 3 又 b2=a2+c2-2accosB=49+25-2×7×5×5=32,∴b=4 2. b c 4 2 5 2 由正弦定理得sinB=sinC,即 4 =sinC,∴sinC= 2 , 5

π π 又∵a>c,∴C∈(0,2),∴C=4. 18.把正整数按下表排列:

(1)求 200 在表中的位置(在第几行第几列); (2)求表中主对角线上的数列:1、3、7、13、21、?的通项公式. [解析] 把表中的各数按下列方式分组: (1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),?, (1)由于第 n 组含有 2n-1 个数, 所以第 n 组的最后一个数是 1+3 +5+?+(2n-1)=n2. 因为不等式 n2≥200 的最小整数解为 n=15,这就是说,200 在第 15 组中,由于 142=196,所以第 15 组中的第一个数是 197,这样 200 就是第 15 组中的第 4 个数. 所以 200 在表中从上至下的第 4 行, 从左 至右的第 15 列上. (2)设表中主对角线上的数列为{an},即 1,3,7,13,21,?,则易知 an+1=(an+2n)即 an+1-an=2n. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=[2(n-1)+2(n

-2)+?+2×1]+1 n?n-1? =2× 2 +1=n2-n+1. x2+3 19.已知函数 f(x)= (x≠a,a 为非零常数). x-a (1)解不等式 f(x)<x; (2)设 x>a 时,f(x)有最小值为 6,求 a 的值. x2+3 [解析] (1)f(x)<x,即 <x, x-a 化为(ax+3)(x-a)<0. 3? ? 3 当 a>0 时,?x+a?(x-a)<0,-a<x<a;
? ? ? ?

3? ? 3 当 a<0 时,?x+a?(x-a)>0,x>-a或 x<a. (2)设 t=x-a,则 x=t+a(t>0), ?t+a?2+3 a2+3 ∴f(x)= =t+ t +2a t ≥2 a2+3 t· t +2a=2 a2+3+2a,

a2+3 当且仅当 t= t ,即 t= a2+3时,f(x)有最小值 2 a2+3+2a, 依题意 2 a2+3+2a=6,解得 a=1. 20.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足: an+2-2an+1+an=0(n ∈N*), (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= (n∈N*),Sn=b1+b2+?+bn,是否存在最大 n?12-an? m 的整数 m,使得对任意的 n 均有 Sn>32总成立?若存在,求出 m 的值;

若不存在,请说明理由. [解析] (1)∵an+2-2an+1+an=0, ∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*) ∴{an}是等差数列,设公差为 d, ∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2, ∴an=8+(n-1)(-2)=10-2n. (2)bn= 1 1 1 = = n?12-an? n?12-10+2n? 2n?n+1?

11 1 =2(n- ), n+1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+?+bn=2[(1-2)+(2-3)+?+(n- )]= 2(1 n+1 1 - ), n+1 m 假设存在整数 m 满足 Sn>32总成立, 1 1 1 1 又 Sn+1-Sn=2(1- )-2(1- ) n+2 n+1 1 1 1 1 =2( - )= >0 n+1 n+2 2?n+1??n+2? ∴数列{Sn}是单调递增的, 1 1 m ∴S1=4为 Sn 的最小值,故4>32,即 m<8, 又 m∈N*,∴满足条件的 m 的最大值为 7. 21.(2011· 山东文,17)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 cosA-2cosC 2c-a a、b、c.已知 = b . cosB sinC (1)求sinA的值;

1 (2)若 cosB=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. a b c [解析] (1)由正弦定理sinA=sinB=sinC=2R 知 cosA-2cosC 2· 2RsinC-2RsinA = , cosB 2RsinB 即 cosAsinB-2cosCsinB=2cosBsinC-cosBsinA, 即 sin(A+B)=2sin(B+C), sinC 又由 A+B+C=π 知,sinC=2sinA,所以sinA=2. sinC (2)由(1)知sinA=2,∴c=2a, 则由余弦定理得 b2=a2+(2a)2-2· a· 2acosB=4a2 ∴b=2a,∴a+2a+2a=5,∴a=1,∴b=2. 22. 预算用不超过 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子, 希望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌 子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? [解析] 设桌、椅分别买 x、y 张,由题意得 ≥0, ?x ?y≥0, ?x≤y, ?y≤1.5x, ?50x+20y≤2000. 目标函数为 z=x+y. ≥0 ?x ?y≥0 (x,y∈N ),即?x≤y ?y≤1.5x ?5x+2y≤200
*

.

满足以上不等式组所表示的可行区域是右图中以 A、 B、 O 为顶点 的三角形区域 E(包括边界和内部).
? ?x=y 由? 得, ? ?5x+2y=200

200 200 200 x=y= 7 ,即 A( 7 , 7 ).

? ?y=1.5x ? 由? 得,? 75 ? y= ?5x+2y=200 ?
2

x=25,

75 ,即 B(25, 2 ).

将 z=x+y 变形为 y=-x+z, 这表示斜率为-1、 y 轴上的截距为 z 的平行直线系. 75 当直线 x+y=z 经过可行域内点 B(25, 2 )时,z 取最大值,但 x ∈Z,y∈Z,故 y=37. ∴买桌子 25 张,椅子 37 张是最优选择.


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