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肇庆市2015届高中毕业班第二次统一检测文科数学答案


肇庆市 2015 届高中毕业班第二次统测 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8 A 9 B 10
A

二、填空题 11.

5 2 3

12. ? ??, ?1?

?1, ???

13.

1? 2 2

14. 3

15. 3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 a 与 b 互相平行,则 sin ? ? 3 cos? , tan ? ? 3 , 又 ? ? ? 0, (3 分)

? ?

??

? 3 1 , cos ? ? . ? ,所以 ? ? 3 ,所以 sin ? ? 2 2 2?
? ?

(6 分)

(2)由 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

??

? ,得最小正周期 T ? ? 3?

(8 分)

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z (11 分) 12 12
(12 分)

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

5? ?? , k? ? ? , k ? Z 12 12 ?

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,得

1 (70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x) ? 75 ,解得 x ? 90 . 6

(2 分)

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? 6

? ( x6 ? x)2 ] ?

1 2 2 2 2 2 (5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 3 ? 152 ) ? 7 (5 分) 6

(2)前 5 个站中随机选出的 2 个站,基本事件有 (怀集站,广宁站) , (怀集站,肇庆东站) , (怀集站,三水南站) , (怀集站,佛山西站) , (广宁站,肇庆东站) , (广宁站,三水南站) ,
高三数学(文科)第 1 页 共 5 页

(广宁站,佛三西站) , (肇庆东站,三水南站) , (肇庆东站,佛山西站) , (三水南站,佛山 西站)共 10 种, 这 5 个站中,满意度得分不在区间(68,75)中的只有广宁站. 设 A 表示随机事件“从前 5 个站中,随机地选 2 个站,恰有 1 个站得分在区间(68,75)中” , 则 A 中的基本事件有 4 种, 则 P( A) ? (10 分) (12 分) (8 分)

4 2 ? 10 5

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 面ABC ? 面BCD, BD ? BC, 面ABC 所以 BD ? 面ABC . 又 AC ? 面ABC ,所以 BD ? AC . 又 AB ? AC ,且 BD 所以 AC ? 面ADB . (3 分) (4 分)

面BCD ? BC, BD ? 面BCD , A

AB ? B ,
(5 分)

C

B

又 AC ? 面ADC ,所以 面ADC ? 面ADB .(6 分)
0 0

D

(2)在 Rt ?BCD 中, BC ? 6, ?BCD ? 30 ,得 BD ? BC ? tan 30 ? 2 3 , (7 分) 在等腰 Rt ?ABC 中, BC ? 6 ,得 AB ? AC ? 3 2 . 由(1)知 BD ? 面ABC ,所以 BD ? AB , 在 Rt ?ABD 中, AB ? 3 2 , DB ? 2 3 ,得 AD ? 又 AC ? 面ADB ,设 B 到面 ADC 的距离为 h , 由 VC ? ABD ? VB? ACD , 得 ? ( ? AB ? BD) ? AC ? (12 分) (8 分) (9 分) (10 分) AB2 ? DB2 ? 30 ,

1 3

1 2

1 1 ? ( ? AC ? AD) ? h , 3 2

(13 分)

高三数学(文科)第 2 页 共 5 页

解得 h ?

6 5 6 5 ,即 B 到平面 ADC 的距离 . 5 5

(14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)方法一: 由 ? n ? 1? an ? nan?1 ? 1,得 ? n ? 2? an?1 ? ? n ?1? an?2 ? 1 , (2 分)

两式相减,得 ? 2n ? 2? an?1 ? ? n ? 1?? an?2 ? an ? ,即 2an?1 ? an?2 ? an , (4 分) 所以数列 ?an ? 是等差数列. 由? (5 分)

?a1 ? 3 ,得 a 2 ? 5 ,所以 d ? a2 ? a1 ? 2 , ?2a1 ? a 2 ? 1

(6 分)

故 an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 2n ? 1 an ? 2n ? 1. 方法二: 将 (n ? 1)an ? nan?1 ? 1 两边同除以 n(n ? 1) ,得

(8 分)

a n a n ?1 1 1 ? ? ? , (3 分) n n ?1 n n ?1
(4 分)



a n ?1 ? 1 a n ? 1 ? . n ?1 n a n ? 1 a1 ? 1 ? n 1

所以

(5 分)

所以 an ? 2n ? 1 因为 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 ?an ? 是等差数列. (2)因为

(6 分) (8 分)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,??????????????????(11 分)? an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
1 1 1 ? ??? a1a 2 a 2 a3 a n a n?1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
高三数学(文科)第 3 页 共 5 页

?

1 1 1 ? ? (n? N*) 6 4n ? 6 6

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ?

1 ? 1 1 ? x ?1 ? 3 ? ( ) 2 x ? 2? ? ( ) x ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) (1 分) x 2 2 4 2 1 ? t ? 2 ). 4
(2 分) (3 分) (5 分)

设 t ? ( ) ,得 g (t ) ? t 2 ? 2?t ? 3 (
x

1 2

当? ?

3 3 2 3 1 2 时, g (t ) ? t ? 3t ? 3 ? (t ? ) ? ( ? t ? 2 ). 2 4 4 2 1 4 37 3 3 , g (t ) min ? g ( ) ? . 16 2 4

所以 g (t ) max ? g ( ) ? 所以 f ( x) max ?

37 3 3 37 , f ( x ) min ? ,故函数 f ( x) 的值域为[ , ]. (6 分) 16 4 4 16 1 ?t ?2) 4
(7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

(2)由(1) g (t ) ? t 2 ? 2?t ? 3 ? (t ? ? ) 2 ? 3 ?? 2 ( ①当 ? ? 令? ②当

1 1 ? 49 时, g (t ) min ? g ( ) ? ? ? , 4 2 16 4 49 33 1 ? 1 ,得 ? ? ? ,不符合舍去; 16 8 4

?
2

?

1 ? ? ? 2 时, g (t ) min ? g (? ) ? ??2 ? 3 , 4
2

令 ? ? ? 3 ? 1 ,得 ? ?

2 ,或 ? ? ? 2 ?

1 ,不符合舍去; 4

③当 ? ? 2 时, g (t ) min ? g (2) ? ?4? ? 7 , 令 ? 4? ? 7 ? 1 ,得 ? ?

3 ? 2 ,不符合舍去. 2

综上所述,实数 ? 的值为 2 .

(14 分)

21. (本小题满分 14 分)

高三数学(文科)第 4 页 共 5 页

解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? .

(1 分)

f ?( x) ?

1 (1 ? x) ? x x ? 1 ? k ?k ? 1? x (1 ? x)2 (1 ? x)2

(3 分)

当 k ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ?1, ?? ? ,无单 调递减区间. (5 分)

当 k ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? k ? 1 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? k ? 1 ,所以 f ? x ? 的单调递增区 间是 ? k ?1, ?? ? ,单调递减区间是 ? ?1, k ?1? , (7 分)

(2)由(1)知,当 k ? 1 时, f ? x ? 在 [0, ??) 上单调递增,所以 f ? x ? 在 [0, ??) 上的最小 值为 f ? 0? ? 0 . 所以 (9 分)

x ? ln(1 ? x) ( x ? 0 ) (10 分) 1? x 1 1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ( n ? N * ). (12 分) 所以 n ? ln( 1 ? ) ,即 1 1? n n 1? n 1 1 1 ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) ? ln( n ? 1) 所以 ? ? ? ? 2 3 n ?1
(14 分)

高三数学(文科)第 5 页 共 5 页


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