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定积分的基本性质


一、基本内容
对定积分的补充规定 对定积分的补充规定: 补充规定
) (1)当a = b 时, ∫ f ( x )dx = 0 ;
a b

(2)当 a > b 时, ∫ f ( x )dx = ? ∫ f ( x )dx . )
a b

b

a

说明 在下面的性质中,假定定积分都存 在下面的性质中, 且不考虑积分上下限的大小. 在,且不考虑积分上下限的大小.

性质1 性质1 证

∫a [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
b

b

b

b

∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx n = lim ∑ [ f (ξ i ) ± g (ξ i )]?xi λ →0
= lim ∑ f (ξ i )?xi ± lim ∑ g (ξ i )?xi
λ → 0 i =1
b
i =1 n n

λ → 0 i =1

= ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

b

性质2 性质2 证
b

∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )?xi λ →0
n n i =1 n

b

b

为常数 ( k 为常数).

= lim k ∑ f (ξ i )?xi = k lim ∑ f (ξ i )?xi
λ →0
b

i =1

λ → 0 i =1

= k ∫a f ( x )dx .
性质1 性质1、2统称为线性性,即 设 α, 为常数,有 统称为线性性, 线性性 β
b



[αf ( x ) + β g ( x )]dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx . a a a
b

b

性质3(区间可加性) 性质3 区间可加性) 假设a < c < b

∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,

b

c

b

f ( x )dx .

补充: 的相对位置如何, 上式总成立. 补充:不论 a , b, c 的相对位置如何 上式总成立

∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx


c

b

c

∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx ? ∫b f ( x )dx
= ∫a f ( x )dx + ∫c f ( x )dx .
c b

b

c

c

(定积分对于积分区间具有可加性) 定积分对于积分区间具有可加性)

性质4 性质4 证

∫a 1 ? dx = ∫a dx = b ? a . ∫ dx = lim ∑ 1 ? ?x = lim(b ? a ) = b ? a . λ
b

b

b

n

a

λ →0

i =1

i

→0

性质5 性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0,
则 ∫ f ( x )dx ≥ 0 . ( a < b )
a b

证 ∵ f ( x ) ≥ 0, ∴ f (ξ i ) ≥ 0, ( i = 1,2,?, n)

∵ ? x i ≥ 0,
n



λ = max{?x1 , ?x2 ,?, ?xn }
b

∑ f ( ξ i ) ? x i ≥ 0, i =1

n

∴ lim ∑ f (ξ i )?xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
λ → i =1

性质5的推论: 性质5的推论: (1)如果在区间[a , b ]上 f ( x ) ≤ g ( x ) , )
则 ∫a f ( x )dx ≤
b

∫a g ( x )dx .

b

(a < b)



∵ f ( x ) ≤ g ( x ),

∴ g ( x ) ? f ( x ) ≥ 0,



∫a [ g( x ) ? f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx ? ∫a f ( x )dx ≥ 0,
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b b

b

于是

加强便得到如下命题: 性质 加强便得到如下命题 将性质5加强便得到如下命题:
上连续、 命题 设 f ( x )在区间 [a , b] (a < b) 上连续、非负 b 且不恒为零, 且不恒为零,则∫ f ( x )dx > 0.
a

证 设f ( x0 ) > 0 ( x0 ∈ (a , b)), 由连续性和极限的局部保号性,
?η > 0, 使 x ∈ N ( x 0 , η ) ? [ a , b ]时,有f ( x ) >
b x 0 ?η x0 +η b

f ( x0 ) . 2

x0 ) f ( x )dx + ∫ f ( f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ∴ ∫ f ( x )dx = ∫ (∵ lim f ( x ) = f ( x0 ) >x0 ?η ) a a x 0 +η x → x0 2

≥∫

x0 +η

x 0 ?η

f ( x )dx ≥ ∫

x 0 +η

x 0 ?η

f ( x0 ) f ( x0 ) ? 2η > 0. dx = 2 2

x0 为区间端点时类似证明(取单侧邻域). 为区间端点时类似证明(取单侧邻域)

推论: 推论: 如果 f , g 在区间[a , b ]上连续且 f ( x ) ≤ g ( x ) , 但不恒等, 但不恒等,则 ∫a f ( x )dx < ∫a g( x )dx . (a < b) 的大小. 例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 (1 + x )dx 的大小
x 1
1

b

b



f ( x) = e x ? 1 ? x, 则 f ( x )在[ 0 , 1]上连续 . 令

∵ f ′( x) = e x ?1 > 0, 则 f ( x ) 在 [ 0 , 1]上严格递增 .
x ∴ ?x ∈ (0,1], f ( x ) > f (0) = 0 ? ?x ∈ [0,1], e ≥ 1 + x ,

处取等号, 且仅在 x = 0处取等号, 于是



1

0

e dx > ∫ (1 + x )dx .
x 0

1

性质5的推论: 性质5的推论: (2) )

∫a f ( x )dx ≤ ∫a
b

b

b

f ( x )dx . ( a < b )
b b

证 ∵ ? f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,

∴ ? ∫a f ( x )dx ≤ ∫a f ( x )dx ≤ ∫a f ( x )dx ,
即 ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx .
a b

b

a

说明: 说明:f 在[a , b]上可积 ?| f | 在[a , b]上可积
?1, x为有理数 在[0,1]上 上 但反之不真, 但反之不真,如 f ( x ) = ? x 不可积. ? ? 1, 为无理数. 不可积

性质6(估值定理) 性质6(估值定理) 6(估值定理

设 M 及 m 分别是函数

f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值, 上的最大值及最小值,
则 m ( b ? a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ( b ? a ) .
b



∵ m ≤ f ( x) ≤ M ,



∫a mdx ≤ ∫a f ( x )dx ≤ ∫a Mdx ,
b

b

b

b

m (b ? a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M (b ? a ).
(此性质可用于估计积分值的大致范围) 此性质可用于估计积分值的大致范围)

例 2 估计积分 ∫

π

0

1 dx 的值 的值. 3 3 + sin x



1 f ( x) = , 3 3 + sin x
0 ≤ sin x ≤ 1,
3

? x ∈ [0, π ],

1 1 1 ≤ ≤ , 3 4 3 + sin x 3

∫0

π

π π1 1 1 dx ≤ ∫ dx ≤ ∫ dx , 3 0 3 + sin x 0 3 4

π 1 π π dx ≤ . ∴ ≤∫ 3 4 0 3 + sin x 3

例 3 估计积分 ∫

π 2 π 4

sin x dx 的值 的值. x



sin x f ( x) = , x

π π x ∈[ , ] 4 2

x cos x ? sin x cos x ( x ? tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x x
π π f ( x ) 在[ , ]上严格单调下降 严格单调下降 单调下降, 4 2
π π 大点, 小点, 故 x = 为最大点, x = 为最小点 4 2

π 2 2 M = f( )= , 4 π

π 2 m= f( )= , 2 π

π π π ∵ b?a = ? = , 2 4 4
2 π sin x 2 2 π dx ≤ ∴ ? ≤∫ ? , x π 4 π 4
π 1 sin x 2 2 dx ≤ . ∴ ≤ ∫π 2 4 x 2 π 2 π 4

性质7 积分第一中值定理) 性质7(积分第一中值定理)
设f ( x )和g( x )都在[a , b]上可积,g ( x )在[a , b]上不变号, 则存在η ∈ [m , M ],使得∫ f ( x ) g ( x )dx = η ∫ g( x )dx .
a a b b

特别地,若f ( x )在[a , b]上连续,则?ξ ∈ [a , b]使得



b

a

f ( x ) g ( x )dx = f (ξ )∫ g( x )dx .
a

b

证 不妨设 g ( x ) ≥ 0,则 mg ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ Mg ( x ).
∴ m ∫ g ( x )dx ≤ ∫ f ( x ) g ( x )dx ≤ M ∫ g ( x )dx .
a a a b b b b b





a

g ( x )dx = 0, 则结论成立. 若



a

g ( x )dx ≠ 0,

注意到上式三项都是常数,立即得证前一结论 注意到上式三项都是常数,立即得证前一结论; 由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论. 由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论

特殊情况: 特殊情况: 上连续, 如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,
则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ ,

使 ∫a f ( x )dx = f (ξ )(b ? a ) .

b

(a ≤ ξ ≤ b)
积分中值公式



1 b f (ξ) = ∫a f ( x )dx , ( f在[a, b]上的平均值) b?a

积分中值公式的几何解释: 积分中值公式的几何解释:
上至少存在一 在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ,
使得以区间[a , b]为 底边, 以曲线 y = f ( x ) 底边,

为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (ξ )
的一个矩形的面积。 的一个矩形的面积。

y
f (ξ)

o

a ξ

b x

比如: 比如: ∫ v ( t )dt表示变速直线运动的路程,
T1

T2

1 T2 ? T1



T2

T1

v ( t )dt表示其平均速度.

说明: (1)积分中值公式中的 ξ 与被积函数和 说明 积分中值公式中的 积分区间有关. 积分区间有关 (2)可以证明:ξ 可以证明: 可以证明

∈ (a , b ).

某商店在30天的销售过程中 天的销售过程中, 例4 某商店在 天的销售过程中,某货架上的 商品件数由300件线性地下降到 件,试求 件线性地下降到60件 商品件数由 件线性地下降到 货架上的月平均商品件数。 货架上的月平均商品件数。 解

设 y 是第 t 天货存件数, 0 ≤ t ≤ 30 . 由题意知 y是 t的线性函数,且 y ( 0 ) = 300 ,
y( 30) = 60, 于是y与t的关系为
60 ? 300 y( t ) = t + 300 = ?8t + 300, 0 ≤ t ≤ 30. 30 1 30 ∴y= ∫0 (?8t + 300)dt = 180. 30

可导, 例 5 设 f ( x ) 可导,且 lim f ( x ) = 1,
x → +∞

求 lim

x → +∞ x



x+2

3 t sin f ( t )dt . t

解 由积分中值公式知有 ξ ∈ [ x , x + 2],

3 3 使 ∫x t sin f ( t )dt = ξ sin f (ξ )( x + 2 ? x ), t ξ x+2 3 3 lim ∫x t sin f ( t )dt = 2 lim ξ sin f (ξ ) x → +∞ ξ → +∞ t ξ
x+2

= 2 lim 3 f (ξ ) = 6.
ξ → +∞

lim 例: ∫

1

x

n 2

n→ ∞ 0

1+ x

dx = lim

1 1+ξ 1
2

n→ ∞



1

0

x n dx

1 = lim ? 0. 2 n→ ∞ n+1 = 1+ξ
若原式 = lim

ξn
1+ξ
2

n→ ∞

, 则ξ与n有关,得不到结论.

二、小结
1.定积分的性质
(注意估值性质、积分中值定理的应用) 注意估值性质、积分中值定理的应用)

2.典型问题
(1)估计积分值; 估计积分值; (2)不计算定积分比较积分大小. 不计算定积分比较积分大小.

思考题
定积分性质中指出, 定积分性质中指出,若 f ( x ), g ( x ) 在[a , b] 上都可积, 上都可积,则 f ( x ) + g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[a , b] 上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么? 上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么?

思考题解答
由 f ( x ) + g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[a , b]上可 上都可积。 积,不能断言 f ( x ), g ( x ) 在[a , b]上都可积。
?1, x为有理数 例 f ( x) = ? ?0, x为无理数
?0, x为有理数 g( x ) = ? ?1, x为无理数

上可积, 显然 f ( x ) + g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在[0,1]上可积,但 f ( x ), g ( x ) 在[0,1]上都不可积。 上都不可积。

练习题
一、填空题: 填空题: 1 、如果积分区间[ a , b ]被点c 分成[a , c ]与[c , b],则
2 、如 果 f ( x )在[a , b] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 有如下估计式: M 与 m ,则 ∫ f ( x )dx 有如下估计式:_________
b a

__________; 定积分的可加性为 ∫ f ( x )dx = __________;
a

b

_______________________; _______________________; 3 、当 a > b 时 ,我们规定 ∫ f ( x )dx 与 ∫ f ( x )dx 的关
a b b a

系是______________________; 系是______________________; ______________________ 4 、积分中值公式



b

a

f ( x )dx = f (ξ )(b ? a ) , (a ≤ ξ ≤ b) 的几何意义是

_______________; _______________;

下列两积分的大小关系是: 5、下列两积分的大小关系是: (1) ∫ x dx _____ ∫ x 3 dx
2 1 1

(2) ∫ ln xdx _______ ∫ (ln x ) 2 dx (3) ∫ e dx _______ ∫ ( x + 1)dx
x 0 0

0 2

0

2

1 1

1

1

二、证明: ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ( k 是常数 ). 证明:
a a

b

b

三、估计下列积分 ∫ 3 xarc cot xdx 的值 . 四、证明不等式: ∫ 证明不等式:
3 2

3

1

x + 1dx ≥ 2 .

六、用定积分定义和性质求极限: 用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 1、lim( + + ... + ) ; n→ ∞ n + 1 n+2 2n 2.、 2.、lim ∫ 4 sin n xdx .
n→ ∞ 0

π

上连续,证明: 七、设 f ( x ) 及 g( x )在[ a , b ]上连续,证明:
b

[a , b]上 f ( x ) ≡ 0 ; 2、若在[a , b]上, f ( x ) ≥ 0

1、若 在 [a , b] 上 f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x )dx = 0 , 则 在
a

,且 ,且 f ( x ) 不恒等于 0 ,则

3、若在[a , b]上 f ( x ) ≤ g( x ) ,且

∫ ∫

b

a

f ( x )dx > 0 ; f ( x )dx =

b

a



b

a

g( x )dx ,则在[a , b]上f ( x ) ≡ g ( x ) .

练习题答案
一、1、 ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ;
a c c b b

2、 2、 m ( b ? a ) ≤
b a



a

f ( x )dx ≤ M (b ? a ) , a < b ;
a b

3、 3、 ∫ f ( x )dx = ? ∫ f ( x )dx ; 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于 f (ξ ) 与 b ? a 为邻 边的矩形面积; 边的矩形面积; 5、(1)>; (2)>; (3)>. 5、(1)>; (2)>; 3 2 π 三、1、 ≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤ π ; 9 3 3 1 1 dx 3 2、 ≤ arcsin . 2、 ≤ ∫ 2 0 5 4 ? 2x ? x2 + x3


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