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【金版学案】高中数学人教A版必修四练习:2.5平面向量应用举例(含答案解析)

第二章 2.5 平面向量 平面向量应用举例 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知三个力 F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点, 为使物体保持平衡,现加上一个力 F4,则 F4 等于( A. (-1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) ) B.(1,-2) 解析:为使物体平衡,即合外力为零,即 4 个向量相加等于零向量,所以 F4=(0-(- 2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2). 答案:D → → → → 2.平面内四边形 ABCD 和点 O,若OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且 a+c=b+d, 则四边形 ABCD 为( A.菱形 C.矩形 ) B.梯形 D.平行四边形 解析:由题意知 a-b=d-c, → → 所以BA=CD,所以四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:D 3.如图所示,一力作用在小车上,其中力 F 的大小为 10 牛,方向与水平面成 60°角, 当小车向前运动 10 米,则力 F 做的功为( ) A.100 焦耳 C.50 3焦耳 B.50 焦耳 D.200 焦耳 解析:设小车位移为 s,则|s|=10 米 WF=F· s=|F||s|· cos 60°= 1 10×10× =50 (焦耳). 2 答案:B 4. 已知两个力 F1, F2 的夹角为 90°, 它们的合力大小为 10 N, 合力与 F1 的夹角为 60°, 那么 F1 的大小为( A. 5 3 N C.10 N ) B.5 N D.5 2 N 解析:根据题意作出示意图,如图所示,有|F1|= 1 |F|· cos 60°=10× =5(N). 2 答案:B → → → → 5.在△ ABC 所在的平面内有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△ PBC 与△ ABC 的面 积之比是( 1 A. 3 ) 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4 → → → → 解析:由PA+PB+PC=AB, → → → → 得PA+PB+BA+PC=0, → → 即PC=2AP,所以点 P 是 CA 边上的三等分点,如图所示. 故 S△PBC PC 2 = = . S△ABC AC 3 答案:C 二、填空题 6.一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行方向与水流的方向 成 30°角,则水流速度为________km/h. 解析:如图所示,船速|υ1|=5(km/h), 水速为 υ2,实际速度|υ|=10(km/h),所以|υ2|= 100-25= 75=5 3(km/h). 答案:5 3 → → → → 7. 在△ ABC 中, 已知|AB|=|AC|=4, 且AB· AC=8, 则这个三角形的形状是________. → → 解析:因为AB·AC=4× 4· cos A=8, 1 π 所以 cos A= ,所以∠A= , 2 3 所以△ ABC 是正三角形. 答案:正三角形 8.已知力 F1,F2,F3 满足|F1|=|F2|=|F3|=1,且 F1+F2+F3=0,则|F1-F2|=________. 解析:由 F1+F2+F3=0,可得 F1+F2=-F3,所以(-F3)2=(F1+F2)2,化简可得:F2 3= 2 F2 F2,由于|F1|=|F2|=|F3|=1,所以 2F1·F2=-1,所以|F1-F2|= (F1-F2)2= 1+F2+2F1· 2 F2 1-2F1·F2+F2 = 1-(-1)+1= 3. 答案: 3 三、解答题 9.已知△ ABC 是直角三角形,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE =2EB.求证:AD⊥CE. 证明:以 C 为原点,CA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系. 设 AC=a,则 A(a,0),B(0,a), a? ?1 2 ? D? ?0,2?,C(0,0),E?3a,3a?. → a? 因为AD=? ?-a,2?, → 1 2 ? CE=? ?3a,3a?. → → 1 a 2 所以AD·CE=-a· a+ · a=0, 3 2 3 → → 所以AD⊥CE,即 AD⊥CE. 10.已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),大小为 50 N,一个质量为 8 kg 的木 块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ=0.02 的水平平面上运动了 20 m. 力 F 和摩擦力 f 所做的功 分别为多少(取重力加速度大小为 10 m/s2)? 解:如图所示,设木块的位移为 s, 则:F· s=|F|· |s|cos 30°= 50×20× 3 =500 3(J). 2 将力 F 分解成竖直向上的分力 f1 和水平方向的分力 f2. 1 则|f1|=|F|sin 30°=50× =25(N). 2 所以|f|=μ(|G|-|f1|)=0.02× (8× 10-25)=1.1(N). 因此 f· s=|f|· |s|cos 180°=1.1× 20× (-1)=-22(J). 故力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为 500 3 J 和-22 J. B 级 能力提升 → → → → 1.O 是平面 ABC 内的一定点,P 是平面 ABC 内的一动点,若(PB-PC)· (OB+OC)= → → → → (PC-PA)· (OA+OC)=0,则 O 为△ ABC 的( A.内心 C.重心 B.外心 D.垂心 ) → → → → 解析:因为(PB-PC)· (OB+OC)=0, → → → → 则(OB-OC)· (OB+OC)=0, → → 所以OB2-OC2=0, → → 所以|OB|=|OC|. → → 同理可得|OA|=|OC|, → → → 即|OA|=|OB|=|OC|. 所以 O 为△ ABC 的外心. 答案:B 2.有一两岸平行的河流,水速大小为 1,小船的速度大小为 2,为使所走路程最短, 小

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