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山西省运城市空港新区2016


2016-2017 学年度第二学期期末考试 高二数学(理)试题
2017.6 一、选择题(每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 有不同的语文书 9 本,不 同的数学书 7 本,不同的英语书 5 本,从中选出不属于同一学科的书 2 本,则不同的选法有 A.21 种 B.315 种
2

C.153 种

D.143 种

2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ ),若 P(ξ >2)=0.023,则 P(-2≤ξ ≤2)等于 A.0.977 B.0.954 C.0.628 D.0.477

3. 对两个变量 x,y 进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),?(xn,yn),则下 列说法中不正确的是

?x ? a ? ?b ? 必过样本点的中心 ( x , y ) A.由样本数据得到的回归方程 y
B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好 D.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1. 4. 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 A.24 B.48 C.60 D.72
2 2

5. 在极坐标系中,圆 ρ =-2sinθ 的圆心的极坐标是 A.(0,-1) 6. ?1 ? π B.(1,- ) 2 C.(0,1) π D.(1, ) 2

? ?

1 ? ?1 ? x ?6 展开式中 x2 的系数为 2 ? x ?
B.20 C.30 D.35

A.15

7. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列 {an} ,

?? 1,第n次摸取红球, 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为 an ? ? ?1,第n次摸取白球,
5 A. C7 ?? ? ?? ?

?1? ? 3?

5

?2? ?3?

2

2 B. C 7 ?? ? ?? ?

?1? ? 3?

2

?2? ?3?

5

1

5 C. C7 ?? ?

?1? ? 3?

5

2 D. C 7 ?? ?

?2? ?3?

2

8. 通过随机调查询问 110 名性别不同的高中生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n(ad ? bc) 2 110(40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.822 由K ? 计算得 k ? 60 ? 50 ? 60 ? 50 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
附表:

P(K2≥k) k
参照附表,得到的正确结论是

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 9. 已知 a,b∈R,ab>0,则下列不等式中不正确的是 A.|a+b|≥a-b B.2 ab≤|a+b| C.|a+b|<|a|+|b| D.| + |≥2

b a a b

10. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。若比赛为“三局两胜”制, 甲在每局比赛中获胜的概率 2 均为 ,且各局比赛结果相互独立。则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了 3 局的概率为 3 1 A. 3 2 B. 5 2 C. 3 4 D. 5

11. 已知 x,y 均为正数,且 x+y=2,则 x+4 xy+4y 的最大值是 A.8 B.9 C.10 D.11

12. 在一个 6×6 的表格中放 3 颗完全相同的白棋和 3 颗完全相同的黑棋, 若这 6 颗棋子不在同一行 也不在同一列上,则不同的放法有 A. 14400 种 B. 518400 种 C. 720 种 D. 20 种

2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分) 13. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下:

X P

0

1 4x

2 5x

x

由此可以得到期望 E(X)=___________,方差 D(X)=___________. 14. 已知随机变量 ξ ~B(36,p),且 E(ξ )=12,则 D(4ξ +3)=_________. 15. 一盒中有 12 个质地均匀的乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后 装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为__________(用数字作答) 16. 若 x >-1,则 f ( x) ?

2? x 1 ? (1 ? x) 2 的最小值是__________. 1? x

三、解答题(本大题共 6 个小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算过程) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x | ?2 . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若存在实数 x ,使得 f ( x) ?| x | ?a ,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)

2? ? 已知 ? x ? 2 ? 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大. x ? ?
(1)求该展开式中所有有理项的项数; (2)求该展开式中系数最大的项.

n

19.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数 ),以坐标原点为极点, ? y ? 2 ? 2 sin ?

x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
3

(1)写出曲线 C 的极坐标方程; (2) 设点 M 的极坐标为 ? 2 ,

? ?

??

过点 M 的直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点, 若 MA ? 2 MB , 求 AB . ?, 4?

20.(本小题满分 12 分) 如图在一个圆形的六个区域种植观赏植物,要求同一块中种植同一种植物,相邻的两块种植不 同的植物,现有 4 种不同的植物可供选择,则有几种种植方案?

F E D

A B C

21.(本小题满分 12 分) 某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两 天试销售,得到如下数据:

连锁店 售价 x(元) 销量 y(件) 80 88

A店
86 78 82 85

B店
88 75 84 82

C店
90 66

?x ? a ? ?b ?; (1) 分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点, 求出售价与销量的回归直线方程 y
(2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为 40 元/件,为使该 新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元? (保留整数)

4

? ? ? ?? ? x ? x y ? y ? i ?? i ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? , a ? y? b x 附: b ? i ?1 n ? 2 ? ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? n

22.(本小题满分 12 分) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率 ; (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望.

5

高二数学(理)答案 一、选择题 DBCDB CADCB CA

二、填空题 13. 1.4 0.44 14. 12 8 15.

27 220

16. 2 2

三、解答题 17.解:

1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? (1)函数 ?3 x ? 1, ? ? x ? 0 , 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? ?
当x?? 当?

1 时,由 ? x ? 3 ? 0 ,可得 x ? ?3 . 2

1 ? x ? 0 时,由 3x ? 1 ? 0 ,求得 x ? ? . 2

当 x ? 0 时,由 x ? 1 ? 0 ,求得 x ? 1 . 综上可得 ,不等式的解集为 x x ? ?3或x ? 1? . ????????????5 分 (2 )存在 x , f ( x) ? x ? a ,即 x ?

?

1 a ? x ? ? 1成立,即此不等式有解。 2 2

由绝对值不等式重要结论知: x ?

1 1 1 ? x ? [? , ] , 2 2 2

故有

a 1 ?1 ? ? , , 2 2
???????????????????????10 分

求得 a ? ?3 . 18.解:

(1)由题意可知:
10 ? r 2

n ? 1 ? 6 ,? n ? 10 . 2
r r 2r x ?2r ? C10 2 x 10 ?5 r 2

r ?Tr ?1 ? C10 x

, (0 ? r ? 10, 且r ? N )

要求该展开式中的有理项,只需令

10 ? 5r ?Z , 2
6

? r ? 0,2,4,6,8,10 ,所有有理项的项数为 6 项.
(2)设第 r ? 1 项的系数最大,

?????????????5 分

1 ?2 ? r r r ?1 r ?1 ? ? C 2 ? C 2 ? r 11? r ? 10 10 则? r r , 即? , r ?1 r ?1 1 2 ? C 2 ? C 2 ? 10 ? 10 ? ? ?10 ? r r ? 1
解得:

19 22 ?r? ,? r ? N ,得 r ? 7 . 3 3
?25 2

7 7 展开式中的系数最大的项为 T8 ? C10 2 x

? 15360 x

?25 2

????????12 分

19.解:(1)由 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),得 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,即 ? 2 ? 4? sin ? ? 0 ,所以 ? y ? 2 ? 2cos ?
????????????5 分

? ? 4sin ?
(2)? M 的极坐标为 ( 2, 设直线 l 的参数方程是 ?

?
4

) ,? M 的直角坐标为(1, 1)

? x ? 1 ? t ? cos ? ( t 为参数) ? y ? 1 ? t ? sin ?
2 2

曲线 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 4 y ? 0 , 联立方程可得 t ? 2(cos ? ? sin ? )t ? 2 ? 0 ,设 t1 , t2 是方程的两根,则 t1 ? t2 ? ?2 ,
2

且 | MA |? 2 | MB | ,所以 t1 ? ?2t2 ,则 t1 ? 2, t2 ? ?1 或 t1 ? ?2, t2 ? 1, 所以

| AB |?| t1 ? t2 |? 3

?????????????12 分

20.解:按照间隔三块 A、C、E 种植植物的种数,分以下三类: (1)若 A、C、E 种植同一种植物,有 4 种种植方法。当 A、C、E 种植以后,B、D、F 三块可从剩余 的三种植物中各选一种植物种植(允许重复),各有 3 种方法,此时共有 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 108 种方 法。 ?????????????4 分

1 2 2 (2)若 A、C、E 种植两种植物,有 C3 C4 A2 ? 36 种种法。不妨设 A 单独种植一种植物,C、E

种植同一种植物,则 B 有 2 种,D 有 3 种,F 有 2 种种植方法,此时共有 36 ? 2 ? 3 ? 2 ? 432 种方
7

法。

????????????8 分

3 (3)若 A、C、E 种植三种植物,有 A4 ? 24 种种法。此时 B、D、F 各有 2 种种法,此时共有

24 ? 2 ? 2 ? 2 ? 192 种种法。
根据分类加法计数原理,总共有 108+432+192=732 种种植方法。 ??????12 分 21.解: (1)A,B,C 三家 连锁店平均售价和销量分别为:(83,83),(85,80),(87,74),∴ x =85,

y =79,

? (83-85)×(83-79)+(85-85)×(80-79)×(87-85)×(74-79) ∴b = 2 2 2 (83-85) +(85-85) +(87-85)
=-2.25, ∴ a = y - b x =270.25,∴ y =-2.25x+270.25. (2)设该款夏装的单价应定为 x 元,利润为 f(x)元, 则 f(x)=(x-40)(-2.25x+270.25)=-2.25x +360.25x-10 810. 当 x≈80 时,f (x)取得最大值,故该款夏装的单价应定为 80 元. ??????12 分
2

?

?

?

????????7 分

22. 解:记 Ai 表示事件:第 1 次和第 2 次两次发球,甲共得 i 分, i ? 0,1,2 .

A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分.
B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2.
(1) B ? A0 ? A ? A1 ? A .

P( A) ? 0.4 , P( A0 ) ? 0.42 ? 0.16 , P( A1 ) ? 2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48 .

P(B) ? P(A0 ? A ? A1 ? A)
? P(A0 ? A) ? P(A1 ? A) ? P( A0 ) ? P( A) ? P( A1 ) ? P( A)
? 0.16? 0.4 ? 0.48? (1 ? 0.4)

? 0.352 .
(2) P( A2 ) ? 0.6 ? 0.36 .
2

?????????????6 分

? 可能的取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ? P(A2 ? A) ? P( A2 ) ? P( A) ? 0.36? 0.4 ? 0.144.

8

P(? ? 2) ? P( B) ? 0.352,

P(? ? 3) ? P(A0 ? A) ? P( A0 ) ? P( A) ? 0.16? 0.6 ? 0.096,
P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3)

? 1 ? 0.144 ? 0.352 ? 0.096 ? 0.408 .

? 的分布列为

?
P

0 0.144

1 0.408

2 0.352

3 0.096

故 E? ? 0 ? 0.144? 1? 0.408? 2 ? 0.352? 3 ? 0.096 ? 1.400 . ???????12 分

9


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