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3.2立体几何中的向量方法(1)


3.2立体几何中的向量方法 一) 立体几何中的向量方法(一 立体几何中的向量方法
-----直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量与平面的法向量

上一节,我们把向量从平面推广到空间 并 上一节 我们把向量从平面推广到空间,并 我们把向量从平面推广到空间 利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节 利用空间向量解决了一些立体几何问题 本节 我们进一步学习立体几何中的向量方法. 我们进一步学习立体几何中的向量方法 立体几何研究的基本对象是点、直线、 立体几何研究的基本对象是点、直线、 平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间 平面以及由它们组成的空间图形 为了用空间 向量解决立体几何问题,首先必须把点 直线、 首先必须把点、 向量解决立体几何问题 首先必须把点、直线、 平面的位置用向量表示出来. 平面的位置用向量表示出来

思考

如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个 如何确定一个点在空间的位置? 定点A和一个定方向(向量), ),能确定一条直线在空 定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空 间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量), ),能 间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能 确定一个平面在空间的位置吗? 确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一 个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗? ),能确定一个平面在空间的位置吗 个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?

1、点的位置向量 、
在 空 间 中 , 我 们 取 一 定 点 O作 为 基 点 , 那 么 空 间 中 任 意 一 点 P的 位 置 就 可 以 用 向 量 OP来 表 示 。 我 们 把 向 量 OP称 为 点 P的 位 置 向 量 。
P

A

2、直线的方向向量 、

空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向确定。
P

a
B A

AP = t AB
这样,点 和向量 这样 点A和向量 a 不仅可以 确定直线l的位置 的位置,还可以具体 确定直线 的位置 还可以具体 表示出l上的任意一点 上的任意一点. 表示出 上的任意一点

3、平面的法向量 、

空间中平面α的位置可以由α内两条 相交直线来确定。OP = x a + yb
这样,点O与向量 a , b 这样 点 与向量 不仅可以确定平面 α 的位置,还可以具体表 的位置 还可以具体表 示出 α 内的任意一点
α

P

b o a

类似于直线的方向向量, 类似于直线的方向向量,还可以用平面的 法向量表示空间中平面的位置 l

法向量: 法向量:如果表示向
量a的有向线段所在直线垂 的有向线段所在直线垂 直于平面α, 直于平面 ,则称这个向 量垂直于平面α, 量垂直于平面α,记作 α a⊥α,如果 ⊥α ,那么向 ⊥ ,如果a⊥ 叫做平面α的 量a叫做平面 的法向量 叫做平面 问题:法向量如何确定平面的位置? 问题:法向量如何确定平面的位置?

a A

给定一点A和一个向量 那么 过点A,以向 给定一点 和一个向量a,那么,过点 以向 和一个向量 那么, 为法向量的平面是完全确定的。 量a为法向量的平面是完全确定的。 为法向量的平面是完全确定的

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n = ( x , y , z )
( 2 )找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a = ( a1 , b1 , c1 ), b = ( a 2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于 x , y , z 的 ?n ? a = 0 方程组 ? ?n ? b = 0
( 4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

例:已知 AB = (2, 2,1), AC = (4,5,3), 求平面ABC的法向量。
设平面的法向量为n = x, y, z), ( 则n ⊥ AB, ⊥ AC n ( x, y, z)(2, 2,1) = 0, i ? ∴? ( x, y, z)(4, 5, 3) = 0, )(4, i ? 1 ? ?2 x + 2 y + z = 0 ?x = 即? , 取 z = 1,得 ? 2 ?4 x + 5 y + 3z = 0 ? y = ?1 ? 1 ∴ n = ( , ?1,1) 2

4、法向量的运用 、
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置, 位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平 平行、 面的法向量表示空间直线、平面间的平行 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂 夹角等位置关系 等位置关系。 直、夹角等位置关系。

设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

线线平行
线面平行

l ∥ m ? a ∥ b ? a = kb ;
l ∥α ? a ⊥ u ? a ? u = 0 ;

面面平行

α ∥ β ? u ∥ v ? u = k v.

注意:1.这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合。

设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b , 平面 α , β 的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直

l ⊥ m ? a ⊥b ? a ?b = 0 ;
l ⊥α ? a ∥ u ? a = ku ;

线面垂直
面面垂直

α ⊥ β ? u ⊥ v ? u ? v = 0.

的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ? 分别是直线 l 1 ?l 2 的方向向量 根据下列 设 b 的位置关系: 条件判断 l1 与 l2 的位置关系 ① a = (2,3, ?1), b = (?6, ?9,3) ② a = (5,0,2), b = (0,4,0) ③ a = ( ?2,1, 4), b = (6, 3, 3)

分析:直线方向向量与直线位置关系 分析 直线方向向量与直线位置关系, 直线方向向量与直线位置关系

l1 ∥ l2 ? a ∥ b; l1 ⊥ l2 ? a ⊥ b
据此可判断两直线的位置关系

①平行②垂直③相交或异面 平行②垂直③

的法向量,根据下列条件 例1 (2)设 u? 分别是平面 α ?β 的法向量 根据下列条件 设 v 的位置关系: 判断 α 与 β 的位置关系 1 ① u = (1, ?1,2), v = (3,2, ? ) ②u = (0,3,0), v = (0, ?5,0) 2 ③ u = (2, ? 3, 4), v = (4, ? 2,1)

分析:平面法向量与两平面位置关系 分析 平面法向量与两平面位置关系, 平面法向量与两平面位置关系

α ∥ β ? u ∥ v; α ⊥ β ? u ⊥ v
据此可判断两平面的位置关系

不垂直) ①垂直②平行③相交(不垂直 垂直②平行③相交 不垂直

的法向量, 例1 (3)设 u 是平面 α 的法向量 a是直线 l 的方向向 设 的位置关系: 量,根据下列条件判断 α 与 l 的位置关系 根据下列条件判断 ① u = (2,2, ?1), a = (?3,4,2) ② u = (0,2, ?3), a = (0, ?8,12) ③ u = (4,1, 5), a = (2, ? 1, 0)

分析:直线方向向量与平面法向量关系和直 分析 直线方向向量与平面法向量关系和直 线与平面位置关系, 线与平面位置关系

l ∥ α ? a ⊥ u; l ⊥ α ? a ∥ u
据此可判断直线和平面的位置关系

垂直③相交(斜交 斜交) ① l ? α 或l ∥ α ②垂直③相交 斜交

经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 例2 已知平面α 经过三点 C(3,-2,0),试求平面α 的一个法向量 试求平面 的一个法向量. 解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) ∵ ∴
AB = (1, ?2, ?4), AC = (2, ?4, ?3)

设平面 α 的法向量是 n = ( x, y, z) 依题意,有 依题意 有 n ? AB = 0且n ? AC = 0 ,即 即 ∴平面 α 的一个法向量是 n = (2,1, 0)
? x ? 2 y ? 4z = 0 ? ?2 x ? 4 y ? 3z = 0

解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2 且 解得 令 则

小结
1.直线的方向向量和平面的法向量是用空 直线的方向向量和平面的法向量是用空 间向量解决立体几何问题的两个重要工 是实现空间问题的向量方法的媒介. 具,是实现空间问题的向量方法的媒介 是实现空间问题的向量方法的媒介 2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的 要熟练掌握用直线的方向向量和平面的 法向量来研究直线、 法向量来研究直线、平面之间关系的原 理与方法,特别是直线 特别是直线、 理与方法 特别是直线、平面的位置关系 与方向向量、法向量之间的联系. 与方向向量、法向量之间的联系


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