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人教A版高中数学 必修五 3-4基本不等式(1)教案


§3.4 基本不等式 ab ? 【教学目标】 a?b 2 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定 理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 【教学难点】 基本不等式 ab ? 【教学过程】 a?b 的证明过程; 2 a?b 等号成立条件 2 1.课题导入 基本不等式 ab ? a?b 的几何背景: 2 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 ? b2 。这样,4 个直角三角形的面积的 和是 2ab,正方形的面积为 a ? b 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们 2 2 就得到了一个不等式: a ? b ? 2ab 。 2 2 当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 a 2 ? b2 ? 2ab 。 2.得到结论:一般的,如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 a ? b时取 ?号) 2 2 3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为 a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 当 a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0, 所以, (a ? b) 2 ? 0 ,即 (a 2 ? b 2 ) ? 2ab. 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ? a?b 2 特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ? a?b (a>0,b>0) 2 a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 2 a?b ? ab 2 a+b ? a+b( - 用分析法证明: 要证 只要证 要证(2) ,只要证 要证(3) ,只要证 (1) (2) ?0 ) 2 (3) (4) 显然, (4)是成立的。当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。 3)理解基本不等式 ab ? a?b 的几何意义 2 探究:课本第 98 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 何解释吗? a?b 的几 2 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD =CA·CB 即CD= ab . 这个圆的半径为 2 a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2 圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ? 评述:1.如果把 a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的等比中项, 2 a?b 为 a

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