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3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示 (第二课时)


3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
第二课时

复习回顾

一、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1 , b2 , b3 )则 a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 );

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ?

(?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

;

a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

二、距离与夹角
1.距离公式

(1)向量的长度(模)公式
(2)空间两点间的距离公式
B( x2 , y2 , z2 ),则

| a | ? a ?a ? x ? y ? z
2 2 2

2

在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、

AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

?| AB |? AB AB ?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? (z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
a ?b cos ? a, b ?? | a |?| b |
注意: (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ? a2 ? a3 ? b ? b2 ? b3
2 1 2 2 2 1 2 2

;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

考点1 基底的概念 例1 以下四个命题中正确的是( )

A.空间的任何一个向量都可用三个给定的向量表示;
B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则向量a,b,c都不是零向量;

C.三角形ABC为直角三角形的充要条件是 AB ? AC ? 0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底;

考点2 用基向量表示空间向量
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是上底面 和右侧面内的中心,试用 AB 表示下列向 、 AD 、 AA 1 量和相应的参数。

(1)GE

(2) BD ? xAD ? y AB ? z AA 1

考点3 向量的坐标运算

例 已知A, B, C三点的坐标分别为A(2,-1, 2), B(4,5,-1), C (-2, 2,3), 求点D的坐标,使 1 1 (1)OD ? ( AB - AC ) (2) AD ? ( AB - AC ) 2 2
变式练习

在直线AB上是否存在点E使得OE与a ? (2,2,1)垂直?

考点4 向量的共线与垂直

1 1 1 1 例 已知a ? (1, 2, ), b ? ( , - ,1), c ? (-2,3, - ), 2 2 2 2 3 1 d ? (1, - , ) 求证: a // b; c ? d 2 4
变式练习

1、若a ? (1,5,-1), b ? (-2,3,5), 分别求满足下列条件的 实数k的值, (1)(ka ? b) //(a - 3b);(2)(ka ? b) ? (a - 3b)

2、已知a ? (1, 2, -2), b ? (-2, -4, 4), c ? (2, x, -4), (1)判断a, b的位置关系; (2)若a // c, 求 c (3)若b ? c, 求c在a方向上的投影

考点5 求角、距离(模)的问题
(2012天津理)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°, PA=AD=2,AC=1. (Ⅱ)证明;PC⊥AD (Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足 异面直线BE与CD所成的角为30°, 求AE的长.

2.已知空间三个点A(?2,0, 2), B(?1,1, 2), C (?3,0, 4), 设a ? AB, b ? AC , (1)求 cos ? a, b ?; (2)若ka ? b与ka - 2b互相垂直,求k的值;

考点6 函数思想

已知关于x的方程x ? (t ? 2) x ? t ? 3t ? 5 ? 0有两个实根,且
2 2

c ? a ? tb, a ? (?1,1,3), b ? (1,0, ?2),问 | c | 是否存在最大值, 若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由。


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