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2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)9:圆锥曲线_图文

2013 年高考解析分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 错误! 未指定书签。 . 2013 年高考湖北卷 ( (文) 已知 0 ? ? ? )

x2 y2 π ,则双曲线 C1 : 2 ? ?1 sin ? cos2 ? 4

与 C2 :

y2 x2 ? 2 ?1 的 cos2 ? sin ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 【答案】D

( C.离心率相等 D.焦距相等



本 题 考 查 双 曲 线 的 方 程 以 及 a, b, c 的 计 算 。 双 曲 线 C1 中 ,
2 2 a 2 ? s i n? b , ? 2 a 2 ? c o ? b ?2 s ,

c?2 s, 所 以 c 2 ? 1 , 离 心 率 为 e2 ? o

1 。 C2 中 , sin 2 ?

2 ?s,所以 c 2 ? 1 。所以两个双曲线有相同的焦距,选 D. i n

错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(文 9) 从椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P a 2 b2

向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正 半轴的交点,且 AB / /OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 A. ( )

2 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

【答案】C

由已知得,点 P(?c, y) 在椭圆上,代入椭圆的方程,得 P(?c,

b2 ) ,因为 a

AB∥OP,所以 k AB ? kOP , ? 选 C.

b b2 c2 c2 1 2 ? ? , b ? c ,所以 e 2 ? 2 ? 2 ? ,e ? , 2 2 a ac a b ?c 2

错误! 未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅱ卷 (文 10) 设抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F , )
2

直线 l 过 F 且与 C 交于 A , B 两点。若 | AF |? 3 | BF | ,则 l 的方程为( (A) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 (B) y ?



3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3 2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 2 2

(C) y ? 3( x ? 1) 或 y ? ? 3( x ? 1) 【答案】C

(D) y ?

抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为 x=-1,设 A(x1,y1),B (x2,y2),则因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1),所以 x1=3x2+2。因为|y1|=3|y2|, x1=9x2, 所以 x1=3,2= x 则 A(3, 2 3), B( , ?

1 y2 , x1=3 时, 1 ? 12 , 当 所以此时 y1 ? ? 12 ? ?2 3 , y1 ? 2 3 , 若 3

1 3

2 3 ) ,此时 k AB ? 3 ,此时直线方程为 y ? 3( x ? 1) 。若 y1 ? ?2 3 , 3

则 A(3, ?2 3), B( ,

1 2 3 ) ,此时 k AB ? ? 3 ,此时直线方程为 y ? ? 3( x ? 1) 。 l 的方程 所以 3 3

是 y ? 3( x ? 1) 或 y ? ? 3( x ? 1) ,选 C.

错误! 未指定书签。.2013 年高考课标Ⅰ卷 ( (文 8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x )
2

的焦点, P 为 C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为 A. 2
【答案】C

( D. 4



B. 2 2

C. 2 3

抛 物 线 的 焦 点 F ( 2 , 0), 准 线 方 程 为 x ? ? 2 。 因 为 | PF |? 4 2 , 所 以

| PF |? 4 2 ? x ? P
所以 ?POF 的面积为

2,即 xP ? 3 2 ,所以 yP 2 ? 4 2 ? 3 2 ? 24 ,即 yP ? 24 ? 2 6 。

1 ? 2 ? 2 6 ? 2 3 ,选 C. 2

【规律总结】与抛物线有关的试题,更多的是考查抛物线的定义,利用到焦点的距离和到准 线的距离相等,实现转化。

x2 y 2 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅰ卷 (文 4) 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) ) a b
的离心率为错误!未找到引用源。,则 C 的渐近线方程为 A. y ? ?
【答案】C

( D. y ? ? x



1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

双 曲 线 的 离 心 率 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 即

c 5 ? ,所以 a 2

c?

b2 1 5 5 5 1 b 1 a, c 2 ? a 2 。即 c 2 ? a 2 ? a 2 ? b 2 ,所以 a 2 ? b 2 ,即 2 ? ,所以 ? 。 2 4 a 4 4 4 a 2

所以双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 x ? ? x ,选 C. a 2
2

错误!未指定书签。 . 2013 年高考福建卷(文) 双曲线 x ( )

? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的

距离等于 A.

( B.



1 2

2 2

C.1

D. 2

【答案】B

本题考查的是双曲线的性质.因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相 等, 故可取双曲线的一个顶点为 (1,0) , 取一条渐近线为 y ? x , 所以点 (1,0) 到直线 y ? x 的

距离为

2 . 2

错误! 未指定书签。 . 2013 年高考广东卷 ( (文) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) , )

离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2
B.





A.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

【答案】D

由 椭圆 C 的 右焦点 为 F (1,0) ,可 知 c ? 1 , 又离 心率 等于

1 ,所以 2

e?

x2 y2 c 1 ? 1, ? ,解得 a ? 2 ,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 4 ?1 ? 3 ,即椭圆的方程为 ? 4 3 a 2

选 D.
错误! 未指定书签。 . (2013 年高考四川卷 (文 5) 抛物线 y ? 8 x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 )
2

的距离是 A. 2 3
【答案】D

( B. 2 C. 3 D.1



y 2 ? 8 x 的焦点为(2,0),到 x ? 3 y ? 0 的距离为 d ?
2

2 ? 1 ,选 D. 1? 3
?p ? , 0 ? 的弦 AB , ?2 ?

【知识拓展】抛物线的焦点弦:抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的过焦点 F ? 若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ,弦长 AB ? x1 ? x2 ? p .同样可得抛 4 2 2 2 物线 y ? ?2 px,x ? 2 py , x ? ?2 py 类似的性质. x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

错误!未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文 5) 设椭圆 C : )

的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点, PF2 ? F1 F2 , ?PF1 F2 ? 30 ,则 C 的离
?

心率为( (A)

) (B)

3 6

1 3

(C)

1 2
? F

(D)

3 3

【答案】D 因 为

P

2

? F ,
。 又

? 2

1

F , ? 10 所 3 P

2

F 以

F

PF2 ? 2c tan 30? ?

2 3 4 3 c, PF1 ? c 3 3

PF1 ? PF2 ?

6 3 c ? 2a 3

, 所 以

c 1 3 3 ? ? ,即椭圆的离心率为 ,选 D. a 3 3 3
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 8 )) 已 知

F1 ? ?1 , ? 0 F?, 2

1 , 0 ? 是椭圆

的两个焦点 过 C


F 且垂直于 x 轴的直线交于 A、B两点, 2 ,

且 AB ? 3, C 的方程为( 则

A.

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【答案】C

设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 1,① a 2 b2

1 b2 2 b 2 当 x ? 1 时, y ? b (1 ? 2 ) ? 2 (a ? 1) ,所以 2 a ?1 ? 3 , ② a a a
2 2

解①②得 a ? 4 , b ? 3 .故所求的方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,选 C. 4 3 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左 a 2 b2
, BF若 ( D. )

错误!未指定书签。(2013 年高考辽宁卷(文 11) 已知椭圆 C : . )

焦 点 为 F F , C与过原点的直线相交于 A, B 两 点 , 连 接 了 A F ,

AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ?
A.

3 5

B.

5 7

4 ,则 C 的离心率为 5 4 C. 5

6 7

【答案】B

由余弦定理,AF=6,所以 2a ? 6 ? 8 ? 14 ,又 2c ?10 ,所以 e ? 选 B.

10 5 ? , 14 7

错误!未指定书签。(2013 年高考重庆卷(文 10) 设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一 . )

对相较于点 O 、所成的角为 600 的直线 A1 B1 和 A2 B2 ,使 A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和

A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是
zhangwlx A. ( ( B. [ )

2 3 , 2] 3

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

【答案】A

本题考查双曲线的性质与方程。因为 A1 B1 ? A2 B2 ,所以根据对称性可知,直 线 A1 B1 , A2 B2 关于 x 轴对称,因为直线 A1 B1 , A2 B2 所成的角为 60? 。所以直线 A1 B1 的倾斜 角为 30? 或 60? ,即斜率为 tan 30? ?

3 ? 或 tan 60 ? 3 ,要使直线 A1 B1 与双曲线相交,则 3

双曲线渐近线的斜率

3 b 3 b ? 时, 3b2 ? a 2 ,所以 3(c 2 ? a 2 ) ? a 2 , ? ? 3 ,当 3 a 3 a

3c2 ? 4a 2 ,即 e2 ?

4 ,所以 e ? 3

4 2 3 b ? 。当 ? 3 时,有 b ? 3a ,即 b2 ? 3a 2 , 3 3 a
2 3 ? e ? 2 ,即双曲线离心 3

所以 c2 ? a 2 ? 3a 2 ,即 c 2 ? 4a 2 ,即 c ? 2a, e ? 2 ,所以综上

率的范围时 [

2 3 , 2] ,选 A. 3
2

错误!未指定书签。(2013 年高考大纲卷(文 12) 已知抛物线 C : y ? 8 x 与点 M ? ?2, 2 ? , . )

过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k ?

???? ????





A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【答案】D

? y 2 ? 8x y2 y 2 ? 8 x 的焦点为(2,0),所以 ? ? 2) ,即 ,所以 y ? k ( 8 ? y ? k ( x ? 2)

k 2 8 y ? y ? 2k ? 0 , y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ?16 . 8 k
又设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , MA ? MB ? ( x1 ? 2, y1 ? 2) ? ( x2 ? 2, y2 ? 2) ? 0 ,

( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 ,即 (

y12 y2 ? 2)( 2 ? 2) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 , 8 8

所以

( y1 y2 ) 2 1 2 2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0 , 64 4

(?16) 2 1 k 2 16 ? [( ) ? 2 ? (?16)] ? 4 ? 16 ? ? 4 ? 0 , 64 4 8 k
解得 k ? 2 ,故选 D.
错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (文 7) 双曲线 x ? )
2

y2 ? 1 的离心率大于 2 的 m
D. m ? 2

充分必要条件是 ( A. m ?

) C. m ? 1

1 2

B. m ? 1

【答案】C

a 2 ? 1 , b 2 ? m , c 2 ?1 ? m , e 2 ?

1? m ? 2 ,则 n ? 1. 1
x2 ny 2 ? ? 1 围成的区 4 4n ? 1

错误!未指定书签。(2013 年上海高考数学试题(文科 18) 记椭圆 . )

域(含边界)为 ? n ? n ? 1, 2,?? ,当点 ? x, y ? 分别在 ?1 , ?2 ,? 上时, x ? y 的最大值分别 是 M 1 , M 2 ,? ,则 lim M n ?
n ??

( C.2 D. 2 2



A.0
【答案】D

B.

1 4

x2 ny 2 x2 y2 x2 y2 椭圆方程为: ? ? 1 ? lim ? ? ? ?1 n ? ? ?? 4 1 4 4n ? 1 4 4 4? n
? x2 y2 ?1 ? ? 联立? 4 ? x 2 ? (u ? x) 2 ? 4 ? 2 x 2 ? 2ux ? u 2 ? 4 ? 0 ? ? ? 4u 2 ? 8(u 2 ? 4) ? 0 4 ?u ? x ? y ?

? u 2 ? 2(u 2 ? 4) ? 0 ? 8 ? u 2 ? u ? [?2 2 ,2 2 ], 所以x ? y的最大值为,2 2
选D

错误!未指定书签。(2013 年高考江西卷(文 9) 已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 . )

2

F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= ( A.2:错误!未找到引用源。 B.1:2 C.1:错误!未找到引用 源。 D.1:3 【答案】C 本题考查抛物线的定义及应用。抛物线的焦点坐标为 F (0,1) ,准线方程为 , y ? ?1 , 过 点 M , 做 准 线 的 垂 线 , 交 准 线 于 B 。 则 F M ? F B 所 以



FM MN

?

BM MN

? sin ?MNB 设 射 线 的 倾 斜 角 为 ? , 则 ?M N B ? ? ? , 即 ?

t a n M N B? t ? n ? ? a (?

1? 0 ? )? ? t a ? ? n 0? 2

5 1 1 ? ,所以 sin ?MNB ? ,所以 ? 5 2 5

|FM|:|MN| ? 1: 5 ,选 C。

错误!未指定书签。(2013 年高考山东卷(文 11) 抛物线 C1 : y ? . )

1 2 x ( p ? 0) 的焦点与 2p

x2 双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线 3
平行于 C 2 的一条渐近线,则 p = ( )

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

【答案】D

由题设知:抛物线的焦点 F (0,

p ) ,双曲线的焦点 F2(2,0),所以直线 FF2: 2

1 2 ? ?y ? 2 p x p2 x x p p ? 2 x ? p 2 ,即 ( ) 2 ? ? ? 1 ,双曲线 C2 的渐 得x ?? y ? ? x ? .由 ? p 2 2 4 2 ?y ? ? p x ? p ? 4 2 ?

近线方程为 y ? ?

x 3 3 1 1 x 4 ,解得 ? ? ? 1 ,所以 x ? ,故 x ,又由 y ? ? x 得 ? p 3 3 p 3 3 2

p?

4 3 . 3
x 4
2 2

错误!未指定书签。(2013 年高考浙江卷(文 9) 如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 . )

的公共焦点 A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是





(第 9 题图)

( 3 C. 2 6 2



A. 2
【答案】

B. 3 D.

D.

由已知得 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0), 设双曲线实半轴为 ? , 由椭圆及双曲线的定义

? AF1 ? AF2 ? 4 ? 和 已 知 得 到 ? AF2 ? AF1 ? 2a , 解 得 a ? 2 , c ? 3 。 所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为 ? 2 2 ? AF1 ? AF2 ? 12
c ? a 3 6 ? ,所以选 D 2 2

二、填空题 错误!未指定书签。(2013 年高考湖南(文 14) 设 F1,F2 是双曲线 C, . )

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2

的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为 ___________.
【答案】

3 ?1

本题考查双曲线的方程和性质。不妨设点 P 位于双曲线的右支上,因为

?PF1 F2 ? 30? ,PF1⊥PF2,所以 PF2 ? c, PF1 ? 3c 。由双曲线的定义可知,

PF1 ? PF2 ? 2a ,即 3c ? c ? 2a ,所以

c 2 ? ? 3 ? 1 ,即 C 的离心率为 3 ? 1 。 a 3 ?1
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

错误!未指定书签。(2013 年高考卷(文 11) 双曲线 . ) 【答案】

5 4
b2 9 c 2 25 5 5 ? ? e2 ? 2 ? ? e ? , 所以离心率为 。 2 16 16 4 4 a a

错误! 未指定书签。 . (2013 年高考辽宁卷 (文 15) 已知 F 为双曲线 C : )

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, 9 16

P, Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A ? 5, 0 ? 在线段 PQ 上,则 ?PQF
的周长为____________. 【答案】44 所以并利用双曲线的定义得 | FP | ? | PA |? 6,| FQ | ? | QA |? 6, 两式相加,

| FP | ? | FQ |? 28 ,所以周长为 | FP | ? | FQ | ? | PQ |? 44 .
错误! 未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题 (文科 12) 设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? )

上,且 ?CBA ?

π .若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为_______. 4

【答案】

4 6 3

设D在AB上,且CD ? AB, AB ? 4, BC ? 2, ?CBA ? 45?



CD ? 1, DB ? 1, AD ? 3 ? C(1,1) ? 2a ? 4, 把C (11) ,
代入椭圆的标准方程得

4 1 1 8 2 2 4 6。 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2? c ? b ? , c ?2 ? 2c ? 2 3 a b 3 3
错误!未指定书签。(2013 年高考北京卷(文 9) 若抛物线 y ? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 . )
2

p =____;准线方程为_____. 【答案】2, x ? ?1 p 由题意 ? 1 ,则 p ? 2 . 2
错误!未指定书签。(2013 年高考福建卷(文) 椭圆 ? : . )

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a2 b2

点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若直线与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 , 则该椭圆的离心率等于__________
【答案】

3 ?1
本 题 考 查 的 是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 . 由 题 意 可 知 , ?MF1 F2 中 ,

?MF12 ? MF2 2 ? F1 F2 2 ? (2c) 2 ? , ?MF1 F2 ? 60?, ?MF2 F1 ? 30?, ?F1MF2 ? 90? ,所以有 ?MF1 ? MF2 ? 2a ? ?MF2 ? 3MF1
整理得 e ?

c ? 3 ? 1 ,故答案为 3 ? 1 . a

错误!未指定书签。 (2013 年高考天津卷(文 11) 已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线 . )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为 a 2 b2

______.

y2 【答案】 x ? ?1 3
2

抛物线的准线方程为 x ? ?2 ,因为双曲线的一个焦点在准线 x ? ?2 上,所以

?c ? ?2 ,即 c ? 2 ,且双曲线的焦点在 x 轴上。又双曲线的离心率为 2,即 e ?
解得 a ? 1 ,所以 b ? c ? a ? 4 ? 1 ? 3 ,所以双曲线的方程为 x ?
2 2 2
2

c 2 ? ? 2, a a

y2 ? 1。 3

三、解答题 错误!未指定书签。(2013 年高考浙江卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1) . )

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A.B 两点.若直线 AO.BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M.N 两点, 求|MN|的最小值.

【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 由 已 知 可 得 抛 物 线 的 方 程 为 :

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

,且

p ? 1 ? p ? 2 ,所以抛物线方程是: x 2 ? 4 y ; 2
(Ⅱ) 设

x12 x2 2 x x A( x1 , ), B ( x2 , ) , 所 以 k AO ? 1 , k BO ? 2 , 所 以 AO 4 4 4 4

的方程

是: y

?

x1 x, 4

x x ? ? 8 8 ?y ? 1 x ?y ? 2 x 由? ,同理由 ? 4 ? xM ? 4 ? xN ? 4 ? x1 4 ? x2 ?y ? x ? 2 ?y ? x ? 2 ? ?
所 以

| MN |? 1 ? 12 | xM ? xN |? 2 |
① 设 AB :

x1 ? x2 8 8 ? |? 8 2 | | 4 ? x1 4 ? x2 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

? y ? kx ? 1 2 ? x1 ? x2 ? 4k ? y ? kx ? 1 ,由 ? 2 , ? x ? 4kx ? 4 ? 0 ? ? ?x ? 4 y ? x1 x2 ? ?4 ?

且 | x1

? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 4 k 2 ? 1 ,代入①得到:

4 k2 ?1 k2 ?1 , | MN |? 8 2 | |? 8 2 16 ? 16k ? 4 | 4k ? 3 |
设 4k

? 3 ? t ? 0? k ?

3?t , 4

① 当t

? 0时

25 ? t 2 ? 6t 25 6 | MN |? 8 2 ? 2 2 1 ? 2 ? ? 2 2 , 所 以 此 时 | MN | 的 4t t t
最小值是 2 ② 当t

2;

? 0 时,

25 ? t 2 ? 6t 25 6 5 3 16 4 8 2 | MN |? 8 2 ? 2 2 1 ? 2 ? ? 2 2 ( ? )2 ? ?2 2? ? 4t t t 5 25 5 5 t
,所以此时 | MN | 的最小值是

8 2 5 8 2 5

,此时 t

??

25 4 ,k ? ? ; 3 3

综上所述: | MN | 的最小值是

;

错误!未指定书签。(2013 年高考山东卷(文) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中 . )

心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 (I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为

2 2

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 4

交椭圆 C 与点 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.
【答案】

??? ?

??? ?

将 x ? m 代入椭圆方程 x ?
2

y2 ? 1 ,得 2

错误!未指定书签。 (2013 年高考广东卷(文) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 . )

F ? 0, c?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程;

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作 2

(2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

【答案】(1)依题意 d ?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

?抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y 0 ) , 由x
2

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵ y1 ?

∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 2 2 联立 ? ,消去 x 得 y ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 ? 0 , ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0

2

1 9 ?当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
错误!未指定书签。(2013 年上海高考数学试题(文科) 本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 . )

分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

如图,已知双曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存在 2

过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为 “ C1 ? C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点” 时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样 的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进 而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2

【答案】

错误!未指定书签。(2013 年高考福建卷(文) 如图,在抛物线 E : . )

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准

线 l 与 x 轴的交点为 A .点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与准

线 l 的交于不同的两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF
2

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

【答案】解:(Ⅰ)抛物线 y ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 ,
2

由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2) 所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 . 所以 | MN |? 2 | CO |2 ?d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 . (Ⅱ)设 C ( 即 x2 ?
2 y0 y2 y4 2 , y0 ) ,则圆 C 的方程为 ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y0 , 4 4 16

2 y0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 . 2 y2 由 x ? ?1 ,得 y 2 ? 2 y0 y ? 1 ? 0 ? 0 2

设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,则:

? y2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(1 ? 0 ) ? 2 y0 ? 4 ? 0 ? ? 2 ? 2 y0 ?y y ? ?1 ? 1 2 2 ?
由 | AF |2 ?| AM | ? | AN | ,得 | y1 y2 |? 4
2 y0 ? 1 ? 4 ,解得 y0 ? ? 6 ,此时 ? ? 0 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) 2 2 33 33 33 从而 | CO |2 ? , | CO |? ,即圆 C 的半径为 4 2 2

所以

错误!未指定书签。(2013 年高考北京卷(文) 直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W : . )

x2 ? y2 ? 1相 4

交于 A , C 两点, O 是坐标原点 (1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.
【答案】解:(I)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

所以可设 A(t , ) ,代入椭圆方程得

1 2

t2 1 ? ? 1 ,即 t ? ? 3 . 所以|AC|= 2 3 . 4 4

(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k ? 0 . 由?

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? y ? kx ? m

,消去 y 并整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .
2 2 2

x1 ? x2 x ?x 4km y1 ? y2 m , . ?? ?k? 1 2 ?m? 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4km m 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m ? 0 , k ? 0 ,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k 1 因为 k ? (? ) ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 4k
设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.
错误!未指定书签。(2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知圆 M . )

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆

N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最 长是,求 | AB | .

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑.
【答案】解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1 ? 1 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径

r2 ? 3 .
设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以

PM ? PN ? ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 .
有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) (左定点除外),其方程为 4 . 3
对于曲线 C 上任意一点 P( x, y ) ,由于 PM ? PN ? 2R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,当

(II)

且 仅 当 圆 P 的 圆 心 为 (2,0) 时 ,R=2, 所 以 当 圆 P 的 半 径 最 长 时 , 其 方 程 为

( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ;
若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 AB ? 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,则 r1 ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则

QP QM

?

3k R ? 1, ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切得 r1 1? k 2

解得 k=±

2 . 4

x2 y 2 2 2 ? ? 1 ,并整理得 7 x2 ? 8x ? 8 ? 0 , 当 k= 时,将 y= x+ 2 代入 4 4 4 3
解得 x1,2 ?

?4 ? 6 2 18 .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? . 7 7

当 k= ?

2 18 时,有图形的对称性可知 AB = . 4 7

综上, AB =2 3或 AB ?

18 . 7

错误!未指定书签。(2013 年高考陕西卷(文) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它 . )

到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜 率. 【答案】解: (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则

| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

x2 y2 ? ?1. 4 3

x2 y2 ? ?1 所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为 4 3

2x 2 (Ⅱ) P(0, 3), 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),由题知: 1 ? 0 ? x2,y1 ? 3 ? y 2

椭圆 的上下顶点坐标分别是(0, 3 )和(0,- 3 ), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存在. 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x 2 1 ( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 ? x 2 5 (?24 k ) 2 9 3 ? ? ?2? 1 ? ? ? ?k ?? 2 x 2 x1 2 x1 ? x 2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ?

3 2

错误!未指定书签。(2013 年高考大纲卷(文) 已知双曲线 . )

C:

x2 y 2 离心率为 3, 直线 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, a 2 b2

y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.
(I)求 a , b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且 AF1 ? BF1 , 证

AB BF 明: AF2 、 、 2 成等比数列
【答案】(Ⅰ)由题设知

a 2 ? b2 c ? 9 ,故 b2 ? 8a 2 . ? 3 ,即 2 a a
2 2

所以 C 的方程为 8 x ? y ? 8a .
2

将 y=2 代入上式,求得, x ? ? a ?
2

1 . 2

由题设知, 2 a ?
2

1 ? 6 ,解得, a 2 ? 1 . 2

所以 a ? 1, b ? 2 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, F1 (?3, 0) , F2 (3, 0) ,C 的方程为 8 x ? y ? 8 .
2 2



由题意可设 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) , | k |? 2 2 ,代入①并化简得,

(k 2 ? 8) x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? ?1 , x2 ? 1 , x1 ? x2 ?
于是

6k 2 9k 2 ? 8 , x1 ? x2 ? 2 . k2 ?8 k ?8

| AF1 |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? ?(3 x1 ? 1) , | BF1 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3 x2 ? 1
由 | AF1 |?| BF1 | 得, ?(3x1 ? 1) ? 3x2 ? 1 ,即 x1 ? x2 ? ? 故

2 . 3

6k 2 2 4 19 ? ? ,解得 k 2 ? ,从而 x1 ? x2 ? ? . 2 k ?8 3 5 9
( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? 1 ? 3 x1 ,

由于 | AF2 |?

| BF2 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3 x2 ? 1 ,
故 | AB |?| AF2 | ? | BF2 |? 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ,

| AF2 | ? | BF2 |? 3( x1 ? x2 ) ? 9 x1 x2 -1 ? 16 .
因而 | AF2 | ? | BF2 |? |AB| ,所以 | AF2 | 、 | AB | 、 | BF2 | 成等比数列.
2

错误! 未指定书签。 . (2013 年高考天津卷 (文) 设椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离 a 2 b2

心率为

3 4 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. ???? ??? ???? ??? ? ? 若 AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB
【答案】

错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2013

年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 如 图 , 抛 物 线

C1 : x 2 ? 4 y, C2 : x 2 ? ?2 py ? p ? 0 ? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,
切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 (I)求 p 的值; (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方 程. ? A, B重合于O时,中点为O ? .

1 . 2

【答案】

错误!未指定书签。(2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P . )

在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段长为 2 3 。 (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程。 2

【答案】

错误! 未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷 (文) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O , )

长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?
m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S 2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y A B

M
C

O

N x

D
第 22 题图

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷
【答案】依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

x2 y 2 x2 y 2 m ? 2 ? 1 , C2 : 2 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 a m a n n (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则
C1 :

S1 ?

S | BD | 1 1 1 1 . | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S2 | AB | 2 2 2 2

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m , 于是 若
| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 . ? ? ? | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . S2 ? ?1

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则 | BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;
1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2 S | BD | m ? n ? ? 1 所以 1 ? . ? ? S2 | AB | m ? n ? ? 1 S1 ?



S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . S2 ? ?1

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

y A B

y A

B N x N x O M M (Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ?O2 . 根据对称性, S C C 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , D D
第 22 题解答图 的距离分别为 d1 , d 2 ,则 第 22 题解答图 2 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 1 ,所以 d1 ? d2 . 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . S2 | AB | 2 2 由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | , | AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是 因为 d1 ?
1? k
2

| ?ak ? 0 |

?

ak

2

, d2 ?

| ak ? 0 |
2

?

ak

| AD | ? ? 1 . ? | BC | ? ? 1



将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得

xA ?

am a k ?m
2 2 2

, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是
1 ? k 2 | x A ? xD | 2 x A m a 2 k 2 ? n 2 | AD | ? ? ? . 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m



从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . 2 2 2 a k ?m ? (? ? 1)



n2 (? 2 t 2 ? 1) ? ?1 ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . a (1 ? t 2 ) ? (? ? 1) n 2 (? 2t 2 ? 1) 因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 2 ?0, 2

令t ?

a (1 ? t )

等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ? 1,

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d1 , d 2 ,则 ,所以 d1 ? d2 . 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? ??. S2 | AB | 2 2 因为 d1 ?
1? k
2

| ?ak ? 0 |

?

ak

2

, d2 ?

| ak ? 0 |
2

?

ak

因为

1 ? k 2 | xB ? xD | x A ? xB x | BD | ? ?1 ? ? ? ? ,所以 A ? . 2 | AB | xB ? ? 1 1 ? k | x A ? xB | x A ? x B

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
xA2 k 2 xA2 x 2 k2x 2 x 2 ? x 2 k 2 ( xA2 ? ? 2 xB 2 ) ? ? 1 , B2 ? 2B ? 1 ,两式相减可得 A 2 B ? ?0, a2 m2 a n a m2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 (? 2 xB 2 ? xA2 )

因为 k 2 ? 0 ,所以由

x m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . 2 2 2 2 a ( ? xB ? x A ) xB

从而 1 ?

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 .
错误!未指定书签。(2013 年高考重庆卷(文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 . )

8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、P? ,过 P 、P? 作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标 准方程.

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴 2

【答案】

x2 错误!未指定书签。(2013 年高考湖南(文) 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E : . ) ? y 2 ? 1 的左、 5
右焦点 F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时,求直 线 l 的方程. 【答案】解: (Ⅰ) 先求圆 C 关于直线 x + y – 2 = 0 对称的圆 D,由题知圆 D 的直径 为

F1 F2 , 所以圆D的圆心D(0,0),半径r ? c ? a 2 - b 2 ? 2,圆心D(0,0)与圆心C关于
直线 x ? y ? 2 ? 0 对称 ? C (2,2) ? 圆C的方程为 : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 .
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (2,0), ,据题可设直线 l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线 l 可被圆 和椭圆截得 2 条弦,符合题意.
2 2 圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 到直线 l 的距离 d =

| 2m ? 2 - 2 | 1? m
2

?

| 2m | 1? m2

.

? 在圆中,由勾股定理得:b 2 ? 4(4 ?

4m 2 42 . )? 1? m2 1? m2

设直线与椭圆相交于点E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), 联立直线和椭圆方程,整理得:
(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 4 ? m
由椭圆的焦半径公式得: a ? 2 5 ?

? 4m 20 ?4? 2 2 m ?5 m ?5

2 5

( x1 ? x 2 ) ?

10 ? 2( x1 ? x 2 ) 5

?2 5?

m2 ? 1 m2 ? 5

m2 ? 1 4 m2 ?1 ? ab ? 2 5 ? 2 ? ?8 5? 2 . m ? 5 1? m2 m ?5
令f ( x) ? x ?1 , x ? 0 ? y ? f ( x)在[0,3]上单调递增,在[3,??)上单调递减. x?5

令f ( x) ? f .(3) ? 当m 2 ? 3时,ab取最大值.这时直线方程为x ? ? 3 y ? 2.
所以当 ab取最大值,直线方程为x ? ? 3 y ? 2

错误!未指定书签。(2013 年高考安徽(文) 已知椭圆 C : . )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 a 2 b2

4,且过点 P ( 2,3) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q ( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点

A(0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对
称点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理 由
【答案】解: (1)因为椭圆过点 P ( 2,3)

?

2 3 ? 2 ? 1 且 a 2 ? b2 ? c2 2 a b

? a2 ? 8
(2)

b2 ? 4

c2 ? 4

椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 8 4

由题意,各点的坐标如上图所示,

8 x0 y?0 则 QG 的直线方程: ? 8 y0 x0 ? x0 x?
化简得 x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,
2 2

所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 求得最后 ? ? 0

x2 y 2 ? ?1 8 4

所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点.

错误!未指定书签。(2013 年高考江西卷(文) 椭圆 C:错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的 . )

离心率错误!未找到引用源。,a+b=3 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m-k 为定值.

3 c c 2 a 2 ? b2 b2 3 【 答 案 】 解 : (1)因为e= ? 故 2 ? ? 1? 2 ? 2 a a a2 a 4
a+b=3 得 a=2,b=1,

所 以 a ? 2b 再 由

x2 ? 椭圆C的方程为: ? y 2 ? 1 4

1 (2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则BP方程为y=k(x-2)(k ? 0且k ? ? ) 2
① 将①代入

x2 8k 2 ? 2 4k ? y 2 ? 1 ,解得 P( 2 ,? 2 ) 4 4k ? 1 4k ? 1

1 ② x ?1 2 4k ? 2 4 k ①与②联立解得 M ( , ) 2k ? 1 2 k ? 1
又直线 AD 的方程为 y ? 由 D(0,1), P(

8k 2 ? 2 4k 4k ? 2 , ? 2 ), N ( x, 0) 三点共线可角得 N ( , 0) 2 4k ? 1 4k ? 1 2k ? 1

所以 MN 的分斜率为 m=

2k ? 1 2k ? 1 1 ,则 2m ? k ? ? k ? (定值) 4 2 2


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