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高中数学新人教版选修2-2课时作业:第一章 导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念

1.1.1 1.1.2 明目标、知重点 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 变化率问题 导数的概念 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 1.函数的变化率 定义 平均变 化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 实例 ①平均速度; ②曲线割线的斜 率 f?x2?-f?x1? Δy ,简记作: x2-x1 Δx 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x) 瞬时变 化率 物体在某一时刻 从 x0 到 x0+Δ x 的平均变化率在 Δ x→0 时的极限, ①瞬时速度: 即Δ lim x→0 f?x0+Δ x?-f?x0? Δy =Δ lim x→0 Δ x Δx 的速度;②切线斜率 2.函数 f(x)在 x=x0 处的导数 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)=Δ lim x→0 Δy f?x0+Δ x?-f?x0? = lim . Δ x Δ x→0 Δx 情境导学] 某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是 33.4℃,而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分 别是 24.4℃和 18.6℃,短短两天时间,气温“陡增”14.8℃,闷热中的人们无不感叹:“天 气热得太快了!”但是,如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5℃和 5 月 28 日最高 气温 18.6℃进行比较,可以发现二者温差为 15.1℃,甚至超过了 14.8℃,而人们却不会发出 上述感慨,这是什么原因呢?显然原因是前者变化得“太快”,而后者变化得“缓慢”,那 么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢? 探究点一 平均变化率的概念 思考 1 气球膨胀率 很多人都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球 的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢? 答 气球的半径 r(单位:dm)与体积 V(单位:L)之间的函数关系是 r(V)= (1)当空气容量 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 3 3V , 4π r(1)-r(0)≈0.62 (dm), 气球的平均膨胀率为 r?1?-r?0? 1-0 ≈0.62(dm/L). (2)当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增加了 r(2)-r(1)≈0.16 (dm), 气球的平均膨胀率为 r?2?-r?1? 2-1 ≈0.16(dm/L). 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 结论 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是 思考 2 高台跳水 人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位: s)存在函数关系 r?V2?-r?V1? . V2-V1 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 计算运动员在时间段①0≤t≤0.5, ②1≤t≤2 内的平均速度 v , 并思考平均速度有什么作用? 答 ①在 0≤t≤0.5 这段时间里, h?0.5?-h?0? v= =4.05(m/s); 0.5-0 ②在 1≤t≤2 这段时间里, h?2?-h?1? v= =-8.2(m/s). 2-1 由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢. 思考 3 什么是平均变化率, 平均变化率有何作用?思考 1 和思考 2 中的平均变化率分别表示 什么? 答 如果上述 两个思考中的 函数关系 用 y = f(x) 表示,那 么思考中 的变化率 可用式 子 f?x2?-f?x1? 表示,我们把这个式子称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,平均变化率可以 x2-x1 描述一个函数在某个范围内变化的快慢.思考 1 中的平均变化率表示在空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球半径的平均增长率.思考 2 中的平均变化率表示在时间从 t1 增加到 t2 时,高度 h 的平均增长率. Δy Δy 思考 4 平均变化率也可以用式子 表示,其中 Δ y、Δ x 的意义是什么? 有什么几何意 Δx Δx 义? 答 Δ x 表示 x2-x1 是相对于 x1 的一个“增量”;Δ y 表示 f(x2)- f(x1).Δ x、Δ y 的值可正可负,Δ y 也可以为零,但 Δ x 不能为零. Δy 观察图象可看出, 表示曲线 y=f(x)上两点(x1, f(x1))、 (x2, f(x2)) Δx 连线的斜率. Δ y f?x2?-f?x1? 小结 平均变化率为 = , 其几何意义是: 函数 y=f(x)的图象上两点(x1, f(x1))、 Δx x2-x1 (x2,f(x2))连线的斜率. 例 1 已知函数 f(x)=2x +3x-5. Δy (1)求当 x1=4,x2=5 时,函数增量 Δ y 和平均变化率 ; Δx Δy (2)求当 x1=4,x2=4.1 时,函数增量 Δ y 和平均变化率 ; Δx (3)若设 x2=x1+Δ x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 解 f(x)=2x +3x-5, ∴Δ y=f(x1+Δ x)-f(x1) =2(x1+Δ x) +3(x1+Δ x)-5-(2x1+3x1-5) =2(Δ x) +2x1Δ x]+3Δ x =2(Δ x) +(4x1+3)Δ x =2(Δ x) +19Δ x. Δ y 2?Δ x? +19Δ x = =2Δ x+19. Δx Δx 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)当 x1=4,x2=5 时,Δ x=1, Δy 2 Δ y=2(Δ x) +19Δ x=2+19=21, =21. Δx (2)当 x1=4,x2=4.1 时 Δ x=0.1, Δ y=2(Δ x) +19Δ x=0.02+1.9=1