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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,选修1-2) 第2章 2.1.1 课时作业]


第2章 §2.1

推理与证明

合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理

课时目标

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推

理在数学发现中的作用.

1.推理:从一个或几个已知命题得出________________________过程称为推理. 2.归纳推理和类比推理 归纳推理 从个别事实中推 演出一般性的结论 实验、观察→概 括、推广→猜测一 般性结论 观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 类比推理 根据两个(或两类)对象 之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相似或相同

定义

思维 过程

一、填空题 1.下列说法正确的是________. ①由合情推理得出的结论一定是正确的 ②合情推理必须有前提有结论 ③合情推理不能猜想 ④合情推理得出的结论不能判断正误 2.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an=2an-1+1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的一个表达式是____________. 3.已知 A=1+2x4,B=x2+2x3,x∈R,则 A 与 B 的大小关系为________. 4.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β;

③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中正确结论的个数是________. 5.观察图示图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为________.

1 6.已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的 3 结论是____________________________. 7.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,?,根据上述规律, 第五个等式为____________________. 8.观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________.

二、解答题 3 9.观察等式 sin220° +sin240° +sin 20° · sin 40° = ; 4 3 sin228° +sin232° +sin 28° · sin 32° = .请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式. 4

1 1 a + ? (n∈N*),求出 a1,a2,a3,并推 10.已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ? 2? n an? 测 an 的表达式.

能力提升 1 1 1 11.若 Rt△ABC 中两直角边为 a、b,斜边 c 上的高为 h,则 2= 2+ 2,在正方体的一角 h a b 1 1 1 1 上截取三棱锥 P—ABC,PO 为棱锥的高,记 M= 2,N= 2+ 2+ 2,那么 M、N 的大 PO PA PB PC 小关系是 M________N.(填“<、>、=、≤、≥”中的一种) x2 y2 12. 已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)具有性质: 若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点, a b 点 P 是椭圆 C 上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在时,记为 kPM、kPN,那么 kPM 与 kPN x2 y2 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线 C: 2- 2=1 写出具有类似的特性的性质,并加 a b 以证明.

1.归纳推理具有由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,归纳推理的一般步骤:

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质. (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想). 2.运用类比推理必须寻找合适的类比对象,充分挖掘事物的本质及内在联系.在应用类 比推理时,其一般步骤为:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性).(2)用一 类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想.(3)检验这个猜想.

第2章 § 2.1

推理与证明

合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 答案

知识梳理 1.另一个新命题的思维 作业设计 1.② 解析 合情推理的结论不一定正确,但必须有前提有结论. 2.2n-1 解析 a2=2a1+1=2×1+1=3,a3=2a2+1=2×3+1=7,a4=2a3+1=2×7+1=15, 利用归纳推理,猜想 an=2n-1. 3.A≥B 解析 ∵A-B=2x4-2x3-x2+1=(x-1)2· (2x2+2x+1)≥0,∴A≥B. 4.1 5.■ 解析 图形涉及□、○、 三种符号;其中○与 各有 3 个,且各自有两黑一白,所以 缺一个□符号,即应画上■才合适. 1 6.正四面体的内切球的半径是高的 4 1 1 1 解析 原问题的解法为等面积法,即 S= ah=3× ar?r= h,类比问题的解法应为等体 2 2 3 1 1 1 1 积法,V= Sh=4× Sr?r= h,即正四面体的内切球的半径是高的 . 3 3 4 4 7.13+23+33+43+53+63=212

8.962 解析 观察各式容易得 m=29=512, 注意各等式右面的表达式各项系数和均为 1, 故有 m -1 280+1 120+n+p-1=1,将 m=512 代入得 n+p+350=0. 对于等式⑤,令 α=60° ,则有 1 1 1 1 1 cos 600° =512·10-1 280·8+1 120·6+ n+ p-1,化简整理得 n+4p+200=0, 2 2 2 16 4 联立方程组?
?n+p+350=0, ? ?n=-400, ? 得? ? ? ?n+4p+200=0, ?p=50.

∴m-n+p=962. 9.解 ∵20° +40° =60° ,28° +32° =60° , ∴由此题的条件猜想,若 α+β=60° , 3 则 sin2α+sin2β+sin α· sin β= . 4 1 1 1 a + ?得,a1= , 10.解 由 a1=S1= ? 2? 1 a1? a1 又 a1>0,所以 a1=1. 1 1 a + ?, 当 n≥2 时,将 Sn= ? 2? n an? 1 1 Sn-1= ?an-1+a ?的左右两边分别相减得 2? n-1? 1 ? 1 1 1 a + ?- ?a - + an= ? , 2? n an? 2? n 1 an-1? 1 1 整理得 an- =-?an-1+a ?, an ? n-1? 1 所以 a2- =-2,即 a2 2+2a2+1=2, a2 又 a2>0,所以 a2= 2-1. 1 同理 a3- =-2 2,即 a2 3+2 2a3+2=3, a3 又 a3>0,所以 a3= 3- 2. 可推测 an= n- n-1. 11.= x2 y2 12.证明 类似性质为:若 M、N 为双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是 a b 双曲线上任一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是 与 P 点位置无关的定值.其证明如下: 设 P(x,y),M(m,n),则 N(-m,-n),

m 2 n2 b2 其中 2 - 2=1,即 n2= 2(m2-a2). a b a ∴kPM= y-n y+n ,kPN= , x-m x+m

x2 y2 b2 又 2- 2=1,即 y2= 2(x2-a2), a b a b2 ∴y2-n2= 2(x2-m2). a y2-n2 b2 ∴kPM· kPN= 2 = 2. x -m2 a 故 kPM· kPN 是与 P 点位置无关的定值.


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