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第八讲 不等式的应用


第八讲 不等式的应用

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第八讲 不等式的应用

不等式与各个数学分支都有密切的联系,利用“大于”、“小于”关系,以及不等式一系列的基本性质能够解决许 多有趣的问题,本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用. 例1 已知x<0,-1<y<0,将x,xy,xy2按由小到大的顺序排列. 分析 用作差法比较大小,即若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b. 解 因为x-xy=x(1-y),并且x<0,-1<y<0,所以x(1-y)<0,则x<xy. 因为xy2-xy=xy(y-1)<0,所以xy2<xy. 因为x-xy2=x(1+y)(1-y)<0,所以x<xy2. 综上有x<xy2<xy. 例2 若

试比较A,B的大小.

显然,2x>y,y>0,所以2x-y>0,所以A-B>0,A>B. 例3 若正数a,b,c满足不等式组

试确定a,b,c的大小关系. 解①+c得

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2009-8-16

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②+a得

③+b得

由④,⑤得

所以 c<a. 同理,由④,⑥得b<C. 所以a,b,c的大小关系为b<c<a. 例4 当k取何值时,关于x的方程 3(x+1)=5-kx 分别有(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解. 解 将原方程变形为(3+k)x=2. (1)当 3+k>0,即 k>-3时,方程有正数解. (2)当3+k<0,即k<-3时,方程有负数解. (3)当方程解不大于1时,有

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所以1+k,3+k应同号,即

得解为

k≥-1或k<-3.

注意 由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的。 例5已知

求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值.

|x-1|-|x+3|

达到最大值4.结合x<-3时的情形,得到:在已

说明 对含有绝对值符号的问题,无法统一处理.一般情况下,是将实数轴分成几个区间,分别进行讨论,即可脱 去绝对值符号.

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例6 已知x,y,z为非负实数,且满足 x+y+z=30,3x+y-z=50. 求u=5x+4y+2z的最大值和最小值. 解 将已知的两个等式联立成方程组

所以①+②得 4x+2y=80,y=40-2x. 将y=40-2x代入①可解得 z=x-10. 因为y,z均为非负实数,所以

解得 10≤x≤20. 于是 u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10) =-x+140. 当x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大.故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120. 例7 设a,b,c,d均为整数,且关于x的四个方程 (a-2b)x=1,(b-3c)x=1, (c-4d)x=1,x+100=d 的根都是正数,试求a可能取得的最小值是多少? 解 由已知(a-2b)x=1,且根x>0,所以a-2b>0,又因为a,b均为整数,所以a-2b也为整数,所以 a-2b≥1,即a≥2b+1.

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同理可得,b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以 a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3 ≥6(4d+1)+3=24d+9 ≥24×101+9=2433, 故a可能取得的最小值为2433.

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求pq的值. 解 由已知

所以 21q<30p<22q. 因为p,q都为自然数,所以当q分别等于1,2,3,4,5,6时,无适当的p值使21q<30p<22q成立.当q=7时, 147<30p<154,取p=5可使该不等式成立.所以q最小为7,此时p=5.于是 pq=5×7=35. 例9 已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求证: b<a. 分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质,按照一定的逻辑顺序来展开推理论证. 因为b<c,所以2b<b+c,所以由b+c<a+1得2b<a+1,所以由1<a得1+a<2a,所以 2b<1+a<2a, 即b<a成立.

分析与解 由题设可知x≥1,y≥2,z≥3,所以

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又x≥3时,

也不成立,故x只能为2. 当x=2时,

令y=3,则z=6. 当 x=2,y≥4时,

不成立. 故本题只有一组解,即x=2,y=3,z=6. 例11 某地区举办初中数学联赛,有A,B,C,D四所中学参加,选手中, A, B两校共16名;B,C两校共 20 名; C, D两校共34名,并且各校选手人数的多少是按A,B,C,D中学的顺序选派的,试求各中学的选手人数. 解 设A,B,C,D四校的选手人数分别为x,y,z,u.据题意有

由①,②可知,x+y<y+z,所以x<z.又由于人数的多少是按A,B,C,D四校的顺序选派的,所以有x<y<z< u. 由①与x<y得16-y=x<y,所以y>8.由②与y<z得20-y=z>y,所以y<10.于是8<y<10,所以y=9(因为人数是 整数).将y=9代入①,②可知x=7,z=11,再由③有u=23. 故A校7人,B校9人,C校11人,D校23人.

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注意到x只能取1,2,3,4,…,9这九个数字,所以x=2,所以

所以y=1,z=4. 所以x=2,y=1,z=4.

练习八

1.如果a<b<c,并且x<y<z,那么在四个代数式 (1) ax+by+cz;(2)ax+bz+cy; (3) ay+bx+cz;(4) az+bx+cy 中哪一个的值最大? 2.不等式10(x+4)+x<62的正整数解是方程 2(a+x)-3x=a+1

3.已知y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求y的最大值. 4.已知x,y,z都为自然数,且x<y,当x+y=1998,z-x=2000时,求x+y+z的最大值. 5.若x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:x>0,y>0,z>0.

能值之和是多少?

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