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二次函数图象及性质专题训练


二次函数的图像和性质总结与经典例题 考点 1:二次函数的系数和图象
主要考查由二次函数的图象判断二次函数解析式中的系数及关于系数的代数式的符号, 或由二次函数解析式中的系数判断二次函数的图象,通常以选择题、填空题的形式出现。 一、基本概念: 对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 1. 开口方向 ? a 的符号:开口向上,a>0;开口向下, a<0。 开口大小 ? a 的绝对值:绝对值越大开口越小;绝对值越小,开口越大。 a 相等(符号相同且绝对值相等)的两个抛物线开口大小(抛物线的形状)和方向都一样, 只是位置不同。 2.a、b ? 对称轴( x ? ?

b )的位置 2a

若 a、 b 同号 ? 对称轴在 y 轴的左侧; 若 b=0 ? 对称轴就是 y 轴; 若 a、 b 异号 ? 对称轴在 y 轴的右侧 3.图象与 y 轴的交点位置 ? c 的符号: 当图象与 y 轴的交点在正半轴时 c>0;当图象与 y 轴的交点在负半轴时 c<0;过原点则 c=0。 4.函数图象与 x 轴交点的横坐标为 x1,x2 和系数的关系: x1 ? x2 ? ? 5.图象与 x 轴的交点的个数 ? b 2 ? 4ac 当 b 2 ? 4ac 当 b 2 ? 4ac 当 b 2 ? 4ac 0 时,抛物线与 x 轴有两个交点. 0 时,抛物线与 x 轴有一个交点. 0 时,抛物线与 x 轴没有交点.

b c , x1 x2 ? 。 a a

6. 函数图象上的特殊点与特殊代数式 经常利用下列函数图象上的点判断相关代数式:(1, a ? b ? c ) 、(-1, a ? b ? c ) ; (2, 4a ? 2b ? c ) 、 (-2, 4a ? 2b ? c ) 二、基本类型

1

(一)对称轴不明确型 【例 1】 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于(x1,0), (x2,0),且 0<x1<1, 1<x2<2,与 y 轴交于点(0,-2),下列结论:①2a+b>1 ②3a+b>0③a+b<2 中正确的个数有( ) ④a<-1,其

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

方法 1:数形结合法 【解析】画出草图,如图,由图象可知: c=-2, 当 x=2 时,y=4a+2b-2<0,∴4a+2b<2 ① ∴2a+b<1 ②, 结论①错误; 当 x=1 时,y=a+b-2>0,∴a+b>2 ③, 结论③错误; ∵a+b>2 ∴- a-b<-2 ④,和①(4a+2b<2)相加得 3a+b<0,结论②错误; ④(- a-b<-2)和②(2a+b<1)相加得 a<-1,结论④正确。 点评:从图中捕捉与要推断的结论相关的的信息是解题的关键。 方法 2:赋值法 ∵0<x1<1, 1<x2<2,不妨设 x1=0.5,x2=1.5, 设二次函数的解析式为 y=a(x-0.5)(x-1.5), 因抛物线过点(0,-2),∴0.75a=-2,得 ,

则该二次函数解析式为



2

∴a=

,b=

,c=-2,

∴2a+b=



<1,3a+b= +

<0,a+b=



>2, a=

<-1,

容易验证只有一个结论是正确的,故选 A. 点评:由于本题中 x1,x2 的范围限定得很窄,加上过一个定点,我们就可以从特殊值的 角度来确定二次函数的 y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式,将解析式中 a,b,c 的值求出,分 别代入各待定结论中,加以验证,存真去伪,本法解题快捷,易于操作.

0) 、 ( x1, 【例】(2009 包头)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 (?2, 0) ,
2

2) 的下方.下列结论:① 4a ? 2b ? c ? 0 ;② 且 1 ? x1 ? 2 ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0,
a ? b ? 0 ;③ 2a ? c ? 0 ;④ 2a ? b ? 1 ? 0 .其中正确结论的个数是
先根据题目条件画出示意图, 个.

介绍三种解法:

3 3 , 与 y 轴 的 正 半 轴 的 交 点 (0, ) , 求 得 解 析 式 为 2 2 1 3 1 1 3 y ? ? (x ? 2)( x ? ) ? ? x 2 ? x ? ,各个结论自然得出 2 2 2 4 2 b ?2 ? x1 ?2 ? 1 b ?2 ? 2 1 b ? ?? ? ?0由 2. ∵ 1 ? x1 ? 2 , ? ∴ ,? ?? 2a 2 2 2a 2 2 2a 1 b ? ? ? ,变形得 a ? b (注意 a ? 0 时,不等式变号) 2 2a
1. 取 x1 ? ∵a ? b

2b ? c?0 ∴a ?b ? 0, 由 4a ?

? c? 2 (a? b) 变形得 2a ? 2b ? ?2a ? c , 即 ?2a

∵ a ? b ? 0 ∴ ?2a ? c ? 0

∴ 2a ? c ? 0

3. 观察图形可得 a ? b ? c ? 0 ,由 4a ? 2b ? c ? 0 变形得 b ? 得 2a ? c ? 0 ,再变形得出 a ? b ? 0 ,从而 a ? b

4a ? c 代入 a ? b ? c ? 0 即 2

【例】( 2009 黄石)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,有以下结论:①
2

a ? b ? c ? 0 ;② a ? b ? c ? 1 ;③ abc ? 0 ;④ 4a ? 2b ? c ? 0 ;⑤ c ? a ? 1 其中所有正确
结论的序号是( A.①② ) B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤
3

本题 c ? a ? 1 的判断是一个难点,解法是这样的:观察图形可得 ?

b ? ?1 ,从而变形为 2a

b ? 2a ,代入 a ? b ? c ? 1 即得 c ? a ? 1

(二)对称轴明确型 【例 2】 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为 x=-1,交 x 轴的一个交点为 (x1,0),且 0<x1<1, 下列结论:①9a-3b+c>0 ②b<a ③3a+c>0,其中正确的个数 有( ) (A)1 个 (B)2 个(C)3 个 (D)4 个

【解析】画出大致草图如右,由图象可知:a>0,b>0,c<0, 由图象的对称性知,x=-3 时,y=9a-3b+c>0,则结论①正确, ∵对称轴是 x=-1,即 ?

b ? ?1 ,∴b=2a,b-a=2a-a=a>0,则 b>a,结论②错误, 2a

当 x=1, ∴a+b+c>0, ∵b=2a,∴3a+c>0,结论③正确。 ∴①③正确。故选 C。 点评:对于对称轴明确型,常常利用等量关系进行代换消元,若所推断的结论不含字母 a, 就用 b 代换 a,若要推断的式子不含字母 b(如上题 3a+c>0),就用 a 代换 b。 三、中考试题 1. (2010 福建福州)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( ) A.a>0 B.c<0 C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0
4

【答案】D 2. (2010 天津)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如图所示,有下列结论: ① b 2 ? 4ac ? 0 ; ② abc ? 0 ; ③ 8a ? c ? 0 ; ④ 9a ?3b ?c ? 0 . 其中, 正确结论的个数是 ( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

【答案】D 3. (2010 广西梧州)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,那么下列判断不正确的是 ( ) A. ac<0 B. a-b+c>0 C. b= -4a D. 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1,x2=5

【答案】B 4 .( 2010 嵊 州 市 ) 已 知 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 象 如 图 所 示 , 记
2

p ? a ? b ? c ? 2a ? b , q ? a ? b ? c ? 2a ? b ,则 p 与 q 的大小关系为 (
A. p ? q B. p ? q C. p ? q

)

D. p 、 q 大小关系不能确定

5

【答案】C 5. (2010 山东莱芜)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则一次函数 y ? bx ? a 的 图象不经过( y )

O

x

A.第一象限 【答案】D 是( )

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6. (2010 年贵州毕节)函数 y ? ax ? b和y ? ax 2 ? bx ? c 在同一直角坐标系内的图象大致

【答案】C. 7. (2010 山东东营) 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则一次函数 y ? bx ? ac
2

与反比例函数 y ? y

a?b?c 在同一坐标系内的图象大致为( x



?1

O 1

x

y O (A) 【答案】B x

y O (B) x

y O (C)
2

y x O (D)
2

x

8. (2010 甘肃兰州) 抛物线 y ? ax ? bx ? c 图像如图所示, 则一次函数 y ? ?bx ? 4ac ? b 与反比例函数 y ?

a?b?c 在同一坐标系内的图像大致为 x
6

x 第 15 题图 【答案】D

x

x

x

x

9. (2010 内蒙古包头) 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 (?2, 0) 、( x1, 0) ,

2) 的下方.下列结论:① 4a ? 2b ? c ? 0 ; 且 1 ? x1 ? 2 ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0,
② a ? b ? 0 ;③ 2a ? c ? 0 ;④ 2a ? b ? 1 ? 0 .其中正确结论的个数是 个. 【答案】4 10. (2010 辽宁本溪)如图所示,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(-2,0) ,则 2a-3b 0.(>、<或=) y

-2

O

x

【答案】> 11. (2010 云南玉溪)如图是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在平面直角坐标系中的图象,
2 根据图形判断 ① c >0;② a + b + c <0; ③ 2 a - b <0;④ b +8 a >4 a c 中正确的

是(填写序号)



y

O

x

【答案】② 、④ 12. (2010 四川乐山).设 a、b 是常数,且 b>0,抛物线 y=ax +bx+a -5a-6 为下图中四个图 象之一,则 a 的值为( )
2 2

7

y

y

y

y

-1 O

1 x

-1 O

1

x

O

x

O

x

A. 6 或-1 【答案】D

B. -6 或 1

C. 6

D.-1

13. (2010 广西桂林)将抛物线 y ? 2x2 ?12x ? 16 绕它的顶点旋转 180°,所得抛物线的解 析式是( ) . B. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 16 D. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 20

A. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 16 C. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 19 【答案】D

14. (2010 贵州遵义)如图,两条抛物线 y1=-

1 2 1 χ +1、y2= χ 2-1 与分别经过点(-2,0) , 2 2

(2,0)且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 A.8 B.6 C.10 D .4

【答案】A 15. (2010 江苏扬州)y=2x2-bx+3 的对称轴是直线 x=1,则 b 的值为__________. 【答案】4 16. (2010 山东济南) 在平面直角坐标系中, 抛物线 y ? x ?1 与 x 轴的交点的个数是 (
2



A.3 【答案】B

B.2

C.1

D.0

17. (2010 青海西宁)下列哪一个函数,其图象与 x 轴有两个交点

1 ( x ? 23) 2 ? 155 4 1 2 C. y ? ? ( x ? 23) ? 155 4
A. y ? 【答案】D
2

B. y ?

1 ( x ? 23) 2 ? 155 4 1 2 D. y ? ? ( x ? 23) ? 155 4

18. (2010 福建三明)抛物线 y ? kx ? 7 x ? 7 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 ( )

8

A. k ? ? 【答案】B

7 4

B. k ? ?

7 7 且 k ? 0 C. k ? ? 4 4

D. k ? ?

7 且k ? 0 4

18. (2010 广西桂林)将抛物线 y ? 2x2 ?12x ? 16 绕它的顶点旋转 180°,所得抛物线的 解析式是( ) . B. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 16 D. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 20

A. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 16 C. y ? ?2 x2 ? 12 x ? 19

考点 2:增减性
1. ( 2010 山 东 泰 安 ) 下 列 函 数 : ① y ? ?3x ; ② y ? 2 x ? 1 ; ③ y ? ? ④ y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ,其中 y 的值随 x 值增大而增大的函数有( A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 【答案】B 2. (2010 江苏盐城) 给出下列四个函数: ① y ? ?x ; ②y? x; ③y? )

1 ? x ? 0? ; x

1 2 ; ④ y ? x .x ? 0 x

时,y 随 x 的增大而减小的函数有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 3. (2010 浙江衢州)下列四个函数图象中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大的是(
y 1 O 1 x 1 O 1 x y 1 O 1 x y y 1 O1 x



A.

B.

C. )

D.

【答案】C 4. (2010 江苏泰州)下列函数中,y 随 x 增大而增大的是( A. y ? ? 【答案】A

3 x

B. y ? ? x ? 5

C. y ? ?

1 x 2

D. y ?

1 2 x ( x ? 0) 2

考点 3:对称性
1. (2010 河北)如图 5,已知抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的对称轴为 x ? 2 ,点 A,B 均在抛物 线上,且 AB 与 x 轴平行,其中点 A 的坐标为(0,3),则点 B 的坐标为 y x=2
A B

O 图5

x

9

A. (2,3) 【答案】D

B. (3,2)

C. (3,3)

D. (4,3)

2. (2010 浙江台州市) 如图, 点 A, B 的坐标分别为 (1, 4) 和 (4, 4) ,抛物线 y ? a( x ? m) 2 ? n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小 值为 ? 3 ,则点 D 的横坐标最大值为( y
A(1,4) B(4,4) C

)

O

D x

A.-3 【答案】D

B.1

C.5

D.8

3. (2010 黑龙江绥化)抛物线 y ? x ? 4 x ?
2

m 与 x 轴的一个交点的坐标为(l,0), 则此抛物 2
.

线与 x 轴的另一个交点的坐标是 【答案】 (3,0)

4.(2009 南充)抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) 的对称轴是直线( A. x ? 1 B. x ? ? 1 C. x ? ? 3
2



D. x ? 3

考点 4:平移
1. (2010 陕西西安)已知抛物线 C : y ? x ? 3x ? 10 ,将抛物线 C 平移得到抛物线 C ? 若 两条抛物线 C、 C ? 关于直线 x ? 1 对称,则下列平移方法中,正确的是 A.将抛物线 C 向右平移

5 个单位 2

B.将抛物线 C 向右平移 3 个单位 D.将抛物线 C 向右平移 6 个单位

C.将抛物线 C 向右平移 5 个单位 【答案】C
2

2. (2010 甘肃兰州) 抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位, 所得图像的解析式为 y ? x ? 2 x ? 3 ,则 b、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2, c=0 C . b=-2, c=-1 D. b=-3, c=2 【答案】B 3. (2010 台湾) 坐标平面上,若移动二次函数 y=2(x?175)(x?176)?6 的图形,使其与 x 轴 交于两点,且此两点的距离为 1 单位,则移动方式可为下列哪一种? (A) 向上移动 3 单位 (B) 向下移动 3 单位 (C) 向上移勤 6 单位 (D) 向下移动 6 单位 。 【答案】D 4. (2010 江苏徐州)平面直角坐标系中,若平移二次函数 y=(x-2009)(x-2010)+4 的图象, 使其与 x 轴交于两点,且此两点的距离为 1 个单位,则平移方式为 A.向上平移 4 个单位 B.向下平移 4 个单位 C.向左平移 4 个单位 D.向右平移 4 个单位
10

【答案】B 5. (2010 宁夏回族自治区)把抛物线 y ? ? x2 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则 平移后抛物线的表达式 A. y ? ?( x ? 1)2 ? 3 【答案】B 6. (2010 年贵州毕节)把抛物线 y=x +bx+c 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单 位,所得图象的解析式为 y=x -3x+5,则( A.b=3,c=7 【答案】A. B.b=6,c=3
2 2

( B. y ? ?( x ? 1)2 ? 3 C. y ? ?( x ? 1)2 ? 3

) D. y ? ?( x ? 1)2 ? 3 .

) C.b= ? 9,c= ? 5 D.b= ? 9,c=21

7. (2010 四川成都) 把抛物线 y ? x2 向右平移 1 个单位, 所得抛物线的函数表达式为 ( (A) y ? x2 ? 1 (C) y ? x2 ?1 (B) y ? ( x ? 1)2 (D) y ? ( x ? 1)2



【答案】D 8. (2010 湖北荆州)若把函数 y=x 的图象用 E(x,x)记,函数 y=2x+1 的图象用 E(x, 2x+1)记,……则 E(x, x ? 2 x ? 1 )可以由 E(x, x )怎样平移得到?
2 2

A.向上平移1个单位 C.向左平移1个单位 【答案】D _____________. 【答案】 y=x2 -1 10. (2010 湖北襄樊)将抛物线 y ? ?

B.向下平移1个单位 D.向右平移1个单位

9. (2010 湖南郴州)将抛物线 y=x2 +1 向下平移 2 个单位,?则此时抛物线的解析式是

1 2 x 向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位后,得 2

到的抛物线的解析式为____________. 【答案】 ?

1 1 3 ( x ? 1) 2 ? 2 或 ? x 2 ? x ? 2 2 2


11. (2010 四川泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数 y=(x-2)2+2 的图像向左平移 2 个单位,所得图像对应的解析式为 【答案】y=x2+2
2

12. (2010 青海西宁)将抛物线 y ? 2( x ? 1) 先向左平移 1 个单位后所得到的新抛物线的表 达式为 【答案】 y ? 2x
2

.

13. (2010 浙江义乌)将抛物线 y1=2x2 向右平移 2 个单位,得到抛物线 y2 的图象,则 y2= ;
11

考点 5:函数与方程、不等式
1. (2010 山东日照)如图,是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线 x=1, 若其与 x 轴一交点为 A(3,0) , 则 由 图 象 可 知 , 不 等 式 ax2+bx+c < 0 的 解 集 是 .

【答案】-1<x<3 2 2. (2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团)抛物线 y=-x +bx+c 的部分图象如图所示,若 y >0,则 x 的取值范围是_______。

【答案】-3<x<1 3. (2010 浙江金华)若二次函数 y ? ? x 2 ? 2x ? k 的部分图象如图所示,则关于 x 的一元二 次方程 ? x 2 ? 2 x ? k ? 0 的一个解 x1 ? 3 ,另一个解 x 2 ? ;

【答案】-1 4. (2010 山东潍坊)已知函数 y1=x2 与函数 y2=- 自变量 x 的取值范围是( ) .

1 x+3 的图象大致如图,若 y1<y2,则 2

12

A.-

3 <x<2 2

B.x>2 或 x<-

3 2

C.-2<x<

3 2

D. x<-2 或 x>

3 2

【答案】C

考点 6:顶点坐标
1. (2010 北京) 将二次函数 y=x -2x+3,化为 y=(x-h) +k 的形式,结果为( A.y=(x+1) +4 C.y=(x+1) +2 【答案】D 2. (2010 安徽省中中考) 若二次函数 y ? x2 ? bx ? 5 配方后为 y ? ( x ? 2)2 ? k 则 b 、k 的 值分别为( ) A)0.5 B)0.1 C)—4.5 【答案】C
2 2 2 2



B.y=(x-1) +4 D. y=(x-1) +2
2

2

D)—4.1
2

3. (2010 甘肃兰州) 二次函数 y ? ?3x ? 6 x ? 5 的图像的顶点坐标是( ) A. (-1,8) B. (1,8) C. (-1,2) D. (1,-4) 【答案】A 4. (2010 台湾)坐标平面上有一函数 y=24x2?48 的图形,其顶点坐标为( ) (A) (0,?2) (B) (1,?24) (C) (0,?48) (D) (2,48) 。 【答案】C 5. (2010 湖北宜昌)抛物线 y ? x ? 2 x ? 1的顶点坐标是( ) 。
2

A. (0,-1) 【答案】C

B. (-1,1)

C. (-1,0)
2

D.(1,0)

6. (2010 湖南株洲)已知二次函数 y ? ? x ? 2a ? ? ? a ? 1? ( a 为常数) ,当 a 取不同的值 时,其图象构成一个“抛物线系” .下图分别是当 a ? ?1 , a ? 0 , a ? 1 , a ? 2 时二次函 数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是 y ? .

13

【答案】

1 x ?1 2
.

7. (2010 山东泰安)将 y=2x2-12x-12 变为 y=a(x-m)2+n 的形式,则 m· n= 【答案】-90

14


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