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数学人教版高中一年级必修1 高中数学公式定理定律概念大全

第一章 集合与简易逻辑
1 集合的概念与运算 1.1 集合的有关概念 (1)定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 (2)元素的三要素:集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。 (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法; (4)集合的分类:有限集、无限集和空集,空集记作 ? ; (5)元素 a 和集合 A 之间的关系:a∈A,或 a ? A; (6)常用数集: 自然数集:N ;正整数集: N * 或 N ? ;整数集:Z;有理数集:Q;实数集:R。

N* ? N ? Z ? Q ? R
1.2 子集 (1)定义:A 中的任何元素都属于 B,则 A 叫 B 的子集 ;记作:A ? B, 注意:A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ (2) 性质: ① A ? A, ? ? A ; ②若 A ? B, B ? C , 则A?C; ③若 A ? B, B ? A 则 A=B ; 1.3 真子集 (1)定义:A 是 B 的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于 A;记作: A ? B ; (2)性质:① A ? ? , ? ? A ;②若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ; 1.4 补集: (1)定义:记作: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A}; (2)性质: A ? CU A ? ?,A ? CU A ? U,CU (CU A) ? A; 1.5 交集与并集 (1)交集: A

B ? { x | x ? A, 且 x ? B}
②若 A ? B ? B ,则 B ? A

性质:① A ? A ? A, A ? ? ? ? (2)并集: A

B ? { x | x ? A, 或 x ? B}
②若 A ? B ? B ,则 A ? B

性质:① A ? A ? A, A ? ? ? A 1.6 集合运算中常用结论 (1)德摩根公式: CU ( A (

B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B .
2 )

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R
(3)含 n 个元素的集合的所有子集有 2 个
n

2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法 通过去分母、 去括号、 移项、 合并同类项等步骤化为 ax ? b 的形式, 若 a ? 0 ,则 x ? 若 a ? 0 ,则 x ?

b ; a

b ;若 a ? 0 ,则当 b ? 0 时, x ? R ;当 b ? 0 时, x ?? 。如:已知关于 x a 1 的 不 等 式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的 解 集 为 ( ?? ,? ) , 则 关 于 x 的 不 等 式 3

(a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集为_______(答: {x | x ? ?3})
2.2 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系: 判别式:△=b -4ac 二次函数 y
2

??0
y

??0

??0
y

f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

的图象

x1

O

x2

x O x1=x2

x O 没有实数根

x

一元二次方程

有两相异实数根

有两相等实数根

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) {x | x ? x1 , x ? x2 }
“>”取两边

b x1 ? x 2 ? ? 2a {x | x ? ? b } 2a

一元二次不等式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解
集 一元二次不等式

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解


{x | x1 ? x ? x2 }
“<”取中间

?

?

2.4 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗? 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根即为二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集的端
2

点值,也是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点的横坐标。 如( 1 ) 不等式

x ? ax ?

1 3 的 解 集 是 ( 4,b ), 则 a =__________ ( 答 : ) ; (2)若关于 x 的不等式 8 2

ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 (??, m) ? (n,??) , 其 中 m ? n ? 0 , 则 关 于 x 的 不 等 式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的 解 集 为 ________ ( 答 : (??,?
1 1 ) ? (? ,??) ) ; (3)不等式 m n

3x 2 ? 2b x? 1 ? 对 0 x ?[?1, 2] 恒成立,则实数 b 的取值范围是_______(答: ? ) 。
2.5 常用等价转换

含参数的不等式 ax +b x+c>0 恒成立问题 ? 含参不等式 ax +b x+c>0 的解集是 R;
2 2

其解答分 a=0(验证 bx+c>0 是否恒成立)、a≠0(a<0 且△<0)两种情况。 3 绝对值不等式的解法 (1)去绝对值的方法:定义、等价转换、平方 ( 2 ) 当 a ? 0 时 , | x |? a 的 解 集 是 { x | x ? ?a, 或 x ? a} , | x |? a 的 解 集 是

{x | ?a ? x ? a}
( 3 ) 当

c?0





| a ?x

|?b

? c

或 ? a x ,?

b ?

, c

? a ? x

| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c
注: “>”取两边, “<”取中间 (4)含两个绝对值的不等式:零点分段讨论法:例: | x ? 3 | ? | 2 x ? 1 |? 2 (5)绝对值的几何意义:数轴上的距离,例: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 3 4 简易逻辑 4.1 命题的有关概念 (1)命题:可以判断真假的语句;逻辑联结词:或、且、非; (2)简单命题:不含逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题; 三种形式:p 或 q、p 且 q、非 p; (3)判断复合命题真假: (1)思路:①确定复合命题的结构,②判断构成复合命题的简单命题的真假, ③利用真值表判断复合命题的真假; (2)真值表:p 或 q,同假为假,否则为真;p 且 q,同真为真;非 p,真假相反。 如:在下列说法中:①“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;②“ p 且 q ” 为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件;③“ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充 分条件;④“非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________ (答:①③) 4.2 四种命题 (1)命题的四种形式: 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若 ? p 则 ? q; 逆否命题:若 ? q 则 ? p; 注意: 互逆 逆命题 原命题 ①互为逆否的两个命题是等价的; 若p则q 若q则p ②“命题的否定”与“否命题” ; 否 互 “命题的否定”不是简单的否定结论 为逆 互 ③在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时, 互 为 逆 否 否 要注意“非或即且,非且即或” 。 互 否 (2)反证法步骤: 假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。 (3)充分条件与必要条件: 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充分条件; 若 p ? q ,则 p 叫 q 的必要条件; 否命题 若 p则 q
? ?

逆否命题 互逆 若? q 则? p

若 p ? q ,则 p 叫 q 的充要条件; (4)利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系 设满足条件 p 的元素构成集合 A,满足条件 q 的元素构成集合 B ①若 A ? B ,则 p 是 q 成立的充分条件; ②若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ③若 A ? B ,则 p 是 q 的充分不必要条件; ④若 A ? B, 且 B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

第二章 函数
1、函数的定义 : (1)映射的定义:

(2) 一 一 映 射 的 定

义:

上面是映射的是___(一) (二)__________,是一一映射的是___(二)_____。 (3)函数的定义: 定义 1 给定两个实数集 D 和 M ,若有对应法则 f ,使对 D 内每一个 数x, 都有唯一的一个数 y ? M 与它相对应,则称 f 是定义在数集 D 上的函数,记作

f :D?M ,
x ? y.

(1)

数集 D 称为函数 f 的定义域, x 所对应的数 y ,称为 f 在点 x 的函数值,常记为 f ( x) .

f ( D) ? { y | y ? f ( x), x ? D}(? M ) 称为函数 f 的值域.
(1)中第一式 “D ? M ” 表示按法则 f 建立数集 D 到 M 的函数关系; 第二式 “x ? y” 表示这两个数集中元素之间的对应关系,也可记为“ x ? f ( x) ” .习惯上,我们称此函数 关系中的 x 为自变量, y 为因变量. (4)在函数定义中,对每一个 x ? D ,只能有唯一的一个 y 值与它对应,这样定义的函数 称为单值函数.若同一个 x 值可以对应多于一个的 y 值,则称这种函数为多值函数.在本书

范围内,我们只讨论单值函数. 2、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性(在整个定义域内考虑) ①定义: ②判断方法:Ⅰ.定义法 步骤:a.求出定义域; b.判断定义域是否关于原点对称;

c.求

f (? x) ;d.比较 f (? x)与f ( x) 或 f (? x)与 ? f ( x) 的关系。
Ⅱ图象法 ③已知: H ( x) ? f ( x) g ( x) 若非零函数 f ( x), g ( x) 的奇偶性相同,则在公共定义域内 H ( x ) 为偶函数 若非零函数 f ( x), g ( x) 的奇偶性相反,则在公共定义域内 H ( x ) 为奇函数 ④常用的结论:若 f ( x) 是奇函数,且 0 ? 定义域 ,则 f (0) ? 0或f (?1) ? ? f (1) ; 若 f ( x) 是偶函数,则 f (?1) ? f (1) ;反之不然。 (4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑) ①定义: ②证明函数单调性的方法: Ⅰ.定义法 步骤: a.设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ; b.作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (一般结果要分解 为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) c.判断正负号。 ③求单调区间的方法: a.定义法: b. 图象法: c.复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性:

若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数; 若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数。 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 ④一些有用的结论: a.奇函数在其对称区间上的单调性相同; b.偶函数在其对称区间上的单调性相反; c.在公共定义域内 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; d. 函 数 y ? ax ? 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。

??

ab,0 或 0,ab 上是单调递减。

? ?

b (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?,? ab 或 ab,?? 上 单 调 递 增 ; 在 x

?

? ?

?

?

(5)函数的周期性 定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 3、函数的图象 3.1、基本函数的图象: (1)一次函数、 (2)二次函数、 (3)反比例函数、 (4)指数函数、 (5)对数函数、 (6)三角函数。 3.2、图象的变换 (1)平移变换 ①函数 y=f(x+a),(a>0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 x 轴 向左 移a个单位得到的; ②函数 y=f(x+a),(a<0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 x 轴 向 右平 移 a 个单位得到的; ③函数 y=f(x)+a,(a>0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 y 轴 向上 平 移a个单位得到的; ④函数 y=f(x)+a,(a<0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 y 轴 向下 平 移 a 个单位得到的。 (2)对称变换 ①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x=0 对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x) 的图象关于直线 y=0 对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f (? x) 的图象关于坐标原点对称; ②如果函数 y=f(x)对于一切 x ? R, 都有 f(x+a)=f(a-x),那么 y=f(x) 的图象关于直线 x ? a 对 称。 如果函数 y=f(x)对于一切 x ? R, 都有 f(x+a)=f(b-x), 那么 y=f(x) 的图象关于直线 x ? 称。 ③函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x=0 对称。 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x= ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x)

a?b 对 2

b?a 对称 2

⑤ y ? f ( x) ? y ? f ( x )

⑥y? f

?1

( x) 与 y ? f ( x) 关于直线 y ? x 对称。

(3)伸缩变换 ① y ? af ( x), (a ? 0) 的图象,可将 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标伸长

(a ? 1) 或缩短 (0 ? a ? 1) 到原来的 a 倍。
② y ? f (ax), (a ? 0) 的图象,可将 y ? f ( x) 的图象上的每一点的横坐标伸长

(0 ? a ? 1) 或缩短 (a ? 1) 到原来的
4、函数的反函数 4.1、求反函数的步骤: ① 求原函数 y ? f ( x) , ( x ? A) 的值域 B ③x,y 互换的 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f
?1

1 倍。 a

②把 y ? f ( x) 看作方程,解出 x ? ?( y ) ;

( x) , ( x ? B) 。
?1

4.2、函数与反函数之间的一个有用的结论: f

(a) ? b ? f (b) ? a

4.3 、原函数 y ? f ( x) 在区间 [?a, a] 上单调递增(减) ,则一定存在反函数,且反函数 ;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调。 y ? f ?1 ( x) 也单调递增(减) 5、函数、方程与不等式
2

y ? 1? 2

x 3

? x ? 0?
2

5.1、 “实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为“ ? ? b ? 4ac ? 0 ” ,
2 你是否注意到必须 a ? 0 ;当 a =0 时, “方程有解”不能转化为 ? ? b ? 4ac ? 0 。

若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能 为零的情形? 5.2、利用二次函数的图象和性质,讨论一元二次方程实根的分布。 设 x1 , x 2 为方程 f ( x) ? 0, (a ? 0) 的两个实根。

①若 x1 ? m, x2 ? m, 则 ? f (m) ? 0 ;

②当在区间 (m, n) 内有且只有一个实根时,

?(1) f (m) ? f (n) ? 0 ?? ?(2)考虑端点,验证端点。
③当在区间 (m, n) 内有且只有两个实根时,

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? ?? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0

④若 m ? x1 ? n ? p ? x2 ? q 时

? f (m) ? f (n) ? 0 ?? ? f ( p) ? f ( q) ? 0

注意:①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件。 ②注意端点,验证端点。

第三章 基本初等函数(Ⅰ)
我们最常用的有五种基本初等函数,分别是:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角 函数。 下面我们用表格来把它们总结一下: 函数名称 函数的记号 函数的图形 函数的性质

a):不论 x 为何值,y 总为正数; 指数函数 b):当 x=0 时,y=1.

a):其图形总位于 y 轴右侧,并过 (1,0)点 对数函数 b):当 a>1 时,在区间(0,1)的值 为负;在区间(-,+∞)的值为正;在 定义域内单调增.

令 a=m/n a):当 m 为偶数 n 为奇数时,y 是 偶函数; 幂函数 a 为任意实数 这里只画出部分函数图形 的一部分。 b):当 m,n 都是奇数时,y 是奇函 数; c):当 m 奇 n 偶时,y 在(-∞,0)无 意义. a):正弦函数是以 2π 为周期的 (正弦函数) 三角函数 这里只写出了正弦函数 周期函数 b):正弦函数是奇函数且

a):由于此函数为多值函数,因此 (反正弦函 反三角函数 数) 这里只写出了反正弦函数 初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解 析式表出的函数称为初等函数. 有关运算性质 我们此函数值限制在[-π /2,π /2] 上,并称其为反正弦函数的主值.

1. 指 数 运 算 : a ? 1 ( a ? 0 ) , a ? ( a ? 0 ) p
0

? p

1 a

1 a ?a ( a ? 0 ) , a ? ( a ? 0 ) n m a

m n n m

m ? n

数 运 算 : l o g M · N ? l o g M ? l o g N M ? 0 , N ? 0 2. 对 a a a
log a M 1 ? log a M ? log a N, log a n M ? log a M N n

?

?

l o g x a 对 数 恒 等 式 : a ? x

l o g b n n c 对 数 换 底 公 式 : l o g b ? ? l o g b ? l o g b m a a a l o g a m c
第四章 基本初等函数(Ⅱ) 1、角的换算

(1)换算关系: 180 ? ? (弧度 )
?

180 ? 1弧度 ? ( ) ? 57 ?18?

?

(2)弧长公式: l ?

? ?r
0 0 1 0 不存在

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? ? r 2 2

2、特殊角的三角函数值

?

sin ? cos ? tan ? cot ?

300 1 2

450

600

900
1 0 不存在 0

1800
0

2700
?1
0 不存在 0

3 2 3 3

2 2 2 2
1 1

3 2 1 2

?1
0 不存在

3
3 3

3

3、任意角的三角函数 y x y r x r sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? , cot? ? , sec ? ? , csc ? ? r r x x y y
三角函数值的符号规律: “一全二正弦,三切四余弦”

4、诱导公式: “

k?

?
2

??

,奇变偶不变,符号看象限”

?
正弦 余弦 正切 余切

2k? ? ?
sin ?

??
? sin ?

? ??
sin ?

? ??
? sin ?

2? ? ?
? sin ?

?
2

??

?
2

??

cos?
tan ? cot ?

cos?
? tan ? ? cot ?

? cos?
? tan ? ? cot ?

? cos?
tan ? cot ?

cos?
? tan ? ? cot ?

cos? sin ?
cot ? tan ?

cos?
? sin ? ? cot ? ? tan ?

n n ? ? n? (?1) 2 co s ? , ( n为偶数) ?(?1) 2 sin ? , ( n为偶数) n? ? sin( ? ? ) ? ? , co s( ??) ? ? n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , ( n为奇数) ?(?1) 2 sin ? , ( n为奇数) ? ?

5、同角三角函数的基本关系式: 2 2 2 2 ①平方关系 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ; 1 ? tan ? ? sec ? ; 1 ? cot ? ? csc ? cos ? sin ? ? cot ? ②商式关系 ? tan ? ; sin ? cos ? ③倒数关系 tan ? cot ? ? 1; sin ? csc? ? 1; cos? sec? ? 1 。 记忆方法:上弦,中切,下割,左正,右余,中间一 6、两角和与差公式 令 ? ? ? s i n ? ? ? ? s i n ? c o s ? ? c o s ? s i n ? ? ? ? ? ? s i n 2 ? ? 2 s i n ? c o s ? ? ?

令? ?? cos?? ? ?? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?? ?? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? tan?? ? ?? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ?· tan ?
? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ?
1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ?

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? . 7、三角函数的图像和性质
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) 定义域 值域 周期性 奇偶性 R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

?
当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数

奇函数

偶函数

奇函数

[?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , 2k? ]

; 上

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

?
2

? 2k? ]

为 增 函 数
[2k? ,

上 为 增 函 数 (k?Z )

单调性

上为增函数;
[

?2k ? 1?? ]

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? ( A), ? ? ? 上为增函数; ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??
? ? 2 ( A), ? ? ? 上为减函数 ? 3 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

?

?

2 上 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为减函数 (k?Z )

?

为 减 函 数 (k?Z )

(k?Z )

注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同 样相反.一般地,若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增) .


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ③ y ? sin(
2?

y

?


O

x

y ? tan

x 的周期为 2 ? ( ? . T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效) 2 ?

? o s c ?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? ( k ? Z ) ④ y ? sin( , 对称中心 ( k? ,0 ) ;y ? ( 2
2

?x ? ? )

的对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心( k? ? 1 ? ,0 ) ;y?t a n ( ?x ? ? ) 的对称中心 (

k? 点 对 称 .y?c ,0 ) o s 2x ?原 ? ? ?? y ? ? c o ( s ?2x) ? ? c o s 2x 2 ? ? tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? · tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) . ⑤当 tan? ·
2 2

? ? ⑥ y ? cos x 与 y ? sin? ? x ? ? 2k? ? 是 同 一 函 数 , 而 y ? (?x ? ? ) 是 偶 函 数 , 则 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? s i n ?(x ? k? ? ? ) ? ? c o s? (x) . 2

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数. (× ) [只能在某个单调区间单调递增.若在整个定 义域, y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].


⑧ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; y ? cos x 为周期函数( T ? ? ) ; y ? cos x 是周期函数(如图)

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

a b c ? ? ? 2R 8.正弦定理: sin A sin B sin C ,
余弦定理:

S?

1 bc sin A ? ? 2 ;

a 2 = b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

cosA=

b2 ? c2 ? a2 2bc

解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、c) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和夹角(如 a、b、C) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C.

9.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象可以通过下列两种方式得到:
??? ?? y ? sin(x ? ? ) ????????? (1) y ? sin x ????
A倍 y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标伸长为原来的 ???????? ?? y ? A sin(?x ? ? )
图象左移? 1 横坐标缩短到原来的 倍

? ??? y ? sin(?x) ????? ?? (2) y ? sin x ?????????
1 横坐标缩短到原来的 倍 图象左移

A倍 y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标伸长为原来的 ???????? ?? y ? A sin(?x ? ? )

第五章 立体几何
1、平面的基本性质: 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那它们还有其它公共点,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线 。 公理 3:经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。 推论 3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。 公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行 2、.空间两条直线的位置关系: 2.1、位置关系:平行、相交、异面 2.2、异面直线所成的角:关键是选点平移,范围是(0,π /2〕 。 求两条异面直线所成的角的大小一般方法 ①找角。一般点选择在特殊的位置上(常用中位线、平行四边形) ;②证角;③求角。 3、直线与平面 3.1、位置关系:在面内、相交、平行 3.2、直线与平面平行 判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平 面平行 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行。 3.3、直线与平面垂直 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 4、直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{00.900} 5、三垂线定理及其逆定理: 定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条 斜线垂直; 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线 的射影垂直。 4、平面与平面 4.1、位置关系:平行 ,相交 4.2、两个平面平行 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行. 另:垂直于同一条直线的两个平面平行. 性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 另:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,必垂直于另一个平面. 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

直接法 两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ ? ? ?体积法 4.3、两个平面垂直 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。 4.4、二面角 ① 定义法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的 角,就是二面角的平面角。 ②三垂线法: 找二面角的一个面的垂线, 再由垂足向棱作垂线得斜足, 连斜足与另一面上点。 5、简单几何体 5.1 棱柱 (1)棱柱的性质 ①侧棱都相等,侧面是平行四边形 ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
(2)相关计算:长方体的对角线 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,

V棱柱 ? Sh

5.2 棱锥 (1)正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心) (2)正棱锥性质 ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它 叫做正棱锥的斜高 ②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 (3)相关计算: V棱锥 ? 5.3 球 (1)相关计算: S圆 ? ? r 2 C圆 ? 2? r , S球 =4π R2 , V球 = (2)球的截面的性质: ①球心和截面圆心的连线垂直于截面 ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系: r ? (3)两点的球面距离:经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度. 5.4 正多面体: 正多面体的种数有 欧拉公式:V+F-E=2 其中:V 顶点数 E 棱数 F 面数 5.5 空间向量在立体几何中的应用: (1)两异面直线所成角 ? : cos? ? cos ? a, b ? (2)直线与平面所成角 ? : sin ? ? cos ? a, n ? (3)二面角 ? :先求 cos ? n1 , n2 ? 在根据图形情况作答 (4)点到平面的距离: d ?

1 Sh 3
4 π R3 3

R2 ? d 2

AB ? n n
(A 为所给点,B 为平面内任意一点)

第六章 平面向量

1、加法与减法的代数运算: (1)向量加法满足:平行四边形法则------“同一起点” 、三角形法则-------“首尾相接” 。 向量减法满足:三角形法则------“同一起点,指向被减数” (2)若 a=( x1 , y1 ),b=( x2 , y2 )则 a ? b=( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 2、实数与向量的积: ? a (1)长度:︱ ? a ︱=︱ ? ︱·︱ a ︱; 方向: 当 ? >0 时,? a 与 a 同向; 当 ? <0 时,? a 与 a 反向;当 ? =0 时,? a =0. (2)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? · . a =( ?x1 , ?y1 ) (3)两个向量共线的充要条件: ①向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且仅有一个实数 ? ,使得 b= ? a . ② 若 a =( x1 , y1 ),b=( x2 , y2 )则 a ∥b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 . 3、向量的数量积: (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ? . b =︱ a ︱· 其中︱ b ︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. (2) 若 a=( x1 , y1 ),b=( x2 , y2 )则 a﹒b= x1 x2 ? y1 y 2 (3)性质: a ⊥ b ? a · b =0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ( a , b 为非零向量); ︱ a ︱= a ? a ? cos ? =

x1 ? y1 ;

2

2

a ?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



(4)运算律:不满足消去律、乘法结合律 4.P 分有向线段 P 1P 2 所成的比: (1)若点 P 分有向线段 P 1P 2 成定比λ ,则λ = (2)定比分点坐标公式: 若点 P 1 ( x1 , y1 ),P 2 ( x2 , y 2 ),P( x, y) ,点 P 分有向线段 P 1P 2 成定比λ ,则

P1 P PP2

?x 2 ? x ? x11? ?? ? y ? y1 ? ?y 2 1? ? ?

( ? ≠-1) ,

中点坐标公式:

x2 ? x ? x1 ? ? y ? y1 2 ? y2 2 ?



(3)若点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 则 AB ?

( x 2 ? x 2 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
的 重 心 G 的 坐 标 是

(4) 若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) , 则 △ ABC

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ? ? 3 3 ? ?
5.平移公式:将 F ( x, y) 按 a ? (h, k ) 平移后得到 F ' ( x' , y' ) ,则有 ?

? x' ? x ? h ? y' ? y ? k

第七章 平面解析几何
1、直线和圆 1.1 直线的倾斜角与斜率:

直线的倾斜角范围是[0,π ], 直线的斜率: k ? tan? ,

k?

y 2 ? y1 , x2 ? x1

k ??

A B

1.2 直线方程的几种形式: 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 斜截式: y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 x y , 截距式: ? ? 1 ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1 一般式: Ax ? By ? C ? 0
两点式: 1.3 两条直线的位置关系 (1)平行: 若斜率存在:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2 有 l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2; (2)垂直:若斜率存在:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2 有 l1⊥l2 ? k1·k2=-1 l1⊥l2 ? k1·k2=-1 (3)相交:

l1 到 l 2 的角θ : tan? ? l1 与 l 2 的夹角θ : tan? ?
1.4 点到直线的距离公式

k 2 ? k1 , ? ∈ [0, ? ) 1 ? k1 k 2

? k 2 ? k1 , ? ∈ [0, ] 2 1 ? k1k 2
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2

点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ? 1.5 两平行直线间的距离:

两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离: d ? 1.6 圆的方程四种形式 (1)圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 (2)圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 : ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
圆中有关重要结论: 2 2 2 (1) 若 P( x0 , y0 ) 是 圆 x ? y ? r 上 的 点 , 则 过 点 P( x0 , y0 ) 的 切 线 方 程 为

xx0 ? yy0 ? r 2 .
(2)若 P( x0 , y0 ) 是圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上的点,则过点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为
2 2 2

( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 .
(3)若 P( x0 , y0 )是圆 x ? y ? r 外一点,由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A、B
2 2 2

则直线 AB 的方程为 xx0 ? yy0 ? r .
2

(4)若 P( x0 , y0 )是圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 外一点, 由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切
2 2 2

点分别为 A、B,则直线 AB 的方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r .
2

圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切 当 ( x0 , y0 ) 在圆外时 , x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . 1.7 直线与圆的位置关系: 相离、相切和相交。

?d ? r ? 相交 判断方法(几何法) :圆心到直线的距离 ? ?d ? r ? 相切 ?d ? r ? 相离 ?
过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点P( x0 , y0 ) 的切线方程是: x0 x ? y0 y ? r 2 弦长问题:利用垂径定理,构造直角三角形解决 切线长问题:构造直角三角形解决 2.圆锥曲线 一、椭圆

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆 ,
1.椭圆方程的第一定义: PF ? PF ? 2a ? F F 无轨迹, 1 2 1 2

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 为端点的线段

平面内与两定点 F1,F2 的距离的和为常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹。其中两 定点 F1,F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。
(1)①椭圆的标准方程:
2 2 i.中心在原点,焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

a

b

ii.中心在原点,焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2
a b

2

2

②一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .
x2 a
2

③椭圆的标准参数方程:

?

y2 b
2

? x ? a cos? ? 1 的参数方程为 ? ? y ? b sin?

(一象限 ? 应是属于 0 ? ? ?

?
2

) .

几何性质
①顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b . ③焦点: (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④焦距: F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 . ⑤准线: x ? ?
a2 a2 或y?? .⑥离心率: e c c

?

c (0 ? e ? 1) . a

⑦焦半径: PF 1 ? a ? ex 0 , PF 2 ? a ? ex 0 ? PF 1 ? a ? ey 0 , PF 2 ? a ? ey 0 ? 由椭圆第二定义可知: pF 1 ? e( x 0 ? 归结起来为“左加右减”. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: ( ?c,
x2 a
2

a2 a2 ) ? a ? ex 0 ( x 0 0), pF 2 ? e( ? x 0 ) ? ex 0 ?a( x 0 0) c c

b2 b2 ) 和 (c, ) a a
c (c ? a 2 ?b 2 ) , a

(3)共离心率的椭圆系的方程:椭圆 方程
x
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 e ?

a2

?

y

2

b2

? t (t 是大于 0 的参数,a

? b ? 0) 的离心率也是 e ? , 我们称此方程为共离心

c a

率的椭圆系方程. (4)若 P 是椭圆: 为 b 2 tan
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 上的点. F 1, F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积

?
2

(用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得) .若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot

?
2



二、双曲线

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线
1.双曲线的第一定义: PF ? PF ? 2a ? F F 无轨迹 1 2 1 2

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

平面内与两个定点 F1 , F2 距离的差的绝对值等于 2a(2a ?| F1 F2 |) 的点的轨迹。
(1)双曲线标准方程:
2 2

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ( a , b ? 0 ), ? ? 1(a, b ? 0) . a2 b2 a2 b2

一般方程: Ax ?Cy ? 1( AC ? 0) . (2)①i.焦点在 x 轴上:顶点: (a,0), (?a,0) ,焦点: (c,0), (?c,0) ,准线方程 x ? ? 渐近线方程:
x2 y2 x y ? ? 0或 2 ? 2 ? 0 a b a b
a2 , c

ii. 焦点在 y 轴上: 顶点:(0,?a), (0, a) . 焦点:(0, c), (0,?c) . 准线方程:y ? ? 近线方程:
? x ? a sec? ? x ? b tan ? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? a b a b ? y ? b tan ? ? y ? a sec?

a2 . 渐 c

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c.③离心率 e ? ④准线距

c . a

2a 2 2b 2 c (两准线的距离) ;通径 .⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ? . c a a

⑥焦半径公式:对于双曲线方程 曲线的上下焦点) “长加短减”原则:
MF1 ? ex 0 ?a MF 2 ? ex 0 ?a M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a
MF 1 ? ey 0 ? a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a ? M ?F 2 ? ?ey 0 ? a

x2 a2

?

y2 b2

? 1( F 1, F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)


y



y F1 M

M'

M

x F1 F2 M' F2

x

(3)等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率
e? 2.

(4)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的 共轭双曲线.
x2 a2 ? y2 b2 ? 0. x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 a b a b

(5)共渐近线的双曲线系方程: 的渐近线为

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b



y

例如:若双曲线一条渐近线为 y ? 解:令双曲线的方程为:

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
F1

4

3

2 1
F2 x

x2 y2 1 x2 ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 2 4

53 3

(6)直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. 若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 法与渐近线求 “?” 交和两根之和与两根之积同号. (7)若 P 在双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m :n,则 P 到两准线

PF 1

的距离比为 m︰n.简证:

d1 ? e d2 PF 2 e

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径

F(

p ,0) 2 p 2

F (? x?

p ,0) 2 p 2

F (0,

p ) 2 p 2

F (0,? y? p 2

p ) 2

x??

y??

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b , ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) ( t 为参数) .

直线与圆锥曲线的位置关系: (1)判定方法:联立直线与圆锥曲线方程,消元得关于 x(或 y)的一元二次方程,求出 ? ,根据 ? 判定直线与圆锥曲线的位置关系 (2)弦长公式:直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y)=0 交于两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

命题:经过圆锥曲线焦点弦的端点的两条切线相交于准线上。
①经过椭圆

x x y y x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上一点 P(x0,y0)的切线方程为 02 ? 02 ? 1 。 2 a b a b

x x y y x2 y2 ② 经过双曲线 2 ? 2 ? 1 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 02 ? 02 ? 1 。 a b a b
③ 经过抛物线 y =2Px(P>0)上一点 P(x0,y0)的切线方程为 y0y=P(x0+x)。
2

“四线”一方程
对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 x0 x 代 x , 用 y0 y 代 y 2 ,
2

x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0, 2 2 2 曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.


第八章 不等式
1、不等式的基本性质:此类选择题多采用取特殊值法处理
2 2 2、均值不等式:若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取等号)

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? 基本变形:① a ? b ? ;( ; 2 a2 ? b2 a?b 2 2 2 ?( ) ②若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab , 2 2
若 a, b ? 0 ,则 应用条件: “①一正二定三取等;②积定和小,和定积大” 。 3、绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b 4、证明不等式常用方法:

(1)比较法: 步骤:⑴作差;⑵变形(对差进行因式分解或配方变成几个数(或式)的完全平方和) 。 ⑶判断差的符号 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证…… 5、不等式的解法: 注意“系数化正” (1)一元一次不等式: ax ? b(a ? 0) ; ax ? b(a ? 0)
2 (2)一元二次不等式: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 先“系数化正” ,再根据 ? 的三 ? b ? 4 a c

种情况即 ? 写出解集, ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 (3)绝对值不等式:若 a ? 0 ,则 | x |? a ? ; | x |? a ? ; 注意:(1).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (2).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (4)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g ( x)

;⑵

f ( x) ?0? g ( x)



(5)高次不等式:穿根法: )

第九章 数列 1.数列的定义: 按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各 项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项),第 2 项,……,第 n 项,……. 数列也可以看作一个定义域为自然数集 N(或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 2.数列的表示法 数列的表示法与函数的表示法相同. ①列表法:把数列表示成 a1,a2,a3,……,an,……. ②图象法: 在直角坐标系中, 数列可用一群坐标为(1, a1), (2, a2), (3, a3), ……, (n,an),……分散的弧立的点表示. ③解析法:用通项公式来表示或用递推公式来表示. 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示, 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.

4.数列的前 n 项和 已知数列{an},Sn=a +a +a +……+an,称为数列的前 n 项的和,
1 2 3

注意在 Sn?S 的表达式中令 n=1 不一定与 S 相同.
n-1 1

5.数列的分类 (1)按项数分:有穷数列,无穷数列. (2)按项与项之间大小关系分:递增数列,递减数列,摆动数列. (3)按|an|的取值范围分:有界数列,无界数列 6.等差数列 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就 叫做 (一阶) 等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母 d 表示.

等差数列的性质:
①.等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d ②.对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。
a1 ? an ????? ????? ? a , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1 , an ? ?? ,如图所示: 1 ? ?? ? ???? ? a2 ? an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

③.若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k ,

S 3k ? S 2 k 成等差数列。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

④.设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的 和,则有如下性质:(i)奇数项 a1 , a3 , a5 ,?成等差数列,公差为 2d (ii)偶数项 a2 , a4 , a6 ,?成等差数列,公差为 2d (iii) 若有奇数项 2n ? 1项,则 S奇 ?

a1 ? a2n?1 ? (n ? 1) ? an?1 ? (n ? 1) 2

S偶 ?

?S 奇 ? S 偶 ? a n?1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 1)a中 ? a2 ? a2n ? n ? an?1 ? n 所 以 有 ? S 奇 ? S 偶 ? a n?1 ? a中 2 ?

S奇 S偶

?

S ? S偶 Sn n ?1 ; ? 奇 ? 2n ? 1 n S奇 ? S偶 S奇 ? S偶
a1 ? a 2 n?1 ? n ? n ? an 2

若有偶数项2n项,则S 奇 ? a2 ? a2n ? n ? n ? a n?1 2

S偶 ?

⑤.若等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为
' ,则 S2 n ?1

所以有 S偶 ? S奇 ? ?a2 ? a1 ? ? ?a4 ? a3 ? ? ?? ?a2n ? a2n?1 ? ? nd
a n S 2 n ?1 ? ' 。 bn S 2 n ?1

7.等差数列的通项公式 等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d 时,该数列的通项公式是 an=a1+(n?1)d.
8.等差数列{an}的前 n 项的和的公式

等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d 时,该数列的前 n 项的和的公式是

9.等比数列 如果一个数列从第 2 项起, 第一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 10.等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项是 a1,公比是 q 时,该数列的通项公式是 an=a1qn-1

等比数列的性质:
⑴.等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 a n ? a m q n?m ⑵.对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av
a1?an ????? ?????? a , a 2 , a3 ,?, a n?2 , a n?1 , a n ? ?? 。如图所示: 1 ? ?? ? ???? ? a2 ?an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

⑶. 若数列 ?a n ?是等比数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N , 那么 S k ,S 2 k ? S k ,S 3k ? S 2k

成等比数列。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

数列的求和方法: (1)等差与等比数列 (2)裂项相消法: a n ? 常用裂项公式①

1 1 1 1 ? ( ? ) 如:an=1/n(n+1) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

1 1 ? 1 ? 1 ,② ? 1 (1 ? 1 ) , n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), ? ? ? 2? ? ? , 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k



1 1 1 1 n 1 1 , ? [ ? ] ,⑤ ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)! n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) n
,⑦



an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)



m ?1 m m m m m ?1 ⑧ Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ?1 ? Cn

(3)错位相减法: an ? bn ? cn ,

?bn ?成等差数列, ?cn ?成等比数列

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn 则qSn ? b1c2 ? ?? ? bn?1cn ? bn cn?1
所以有 (1 ? q)S n ? b1c1 ? (c2 ? c3 ? ??cn )d ? bn cn?1 如:an=(2n-1)2n
n ⑷倒序相加法:如 an= nC100 ;又如已知函数 f ( x) ?

1 ( x ? R) 4 ?2
x

求: S m ? f (

1 2 )? f ( )? m m

m ? f( )。 m

⑸通项分解法: an ? bn ? cn 如:an=2n+3n

12.排列组合与二项式定理
12.1 计数原理 ①加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ②乘法原理:N=n1· n2· n3· …nM (分步) 12.2 排列(有序)与组合(无序)

n! ; (n ? m)! n! m n( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) 组合数公式是: C n = = ; 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)!
排列数公式是: An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =
m

m n?m 组合数性质: C n = Cn

m m?1 m + Cn = Cn Cn ?1

12.3.二项式定理:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n ① (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②通项为第 r+1 项:
r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b

③主要结论: 0 所有二项式系数的和:Cn +Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +…=Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +…=2n -1

第十章 概率统计
1.必然事件:P(A)=1,不可能事件:P(A)=0,随机事件:0<P(A)<1。

m n 3.互斥事件有一个发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
2.等可能事件的概率(古典概率) : P ( A) ? 4.对立事件间的概率关系: P( A) ? P( A) ? 1 5.相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
k k 6.独立重复试验的概率: Pn (k ) ? Cn p (1 ? k ) n?k

表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 次 的概率。 .....k . . P 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。

概率与统计的公式和重要结论
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 公式名称 离散性随机 变量分布列 期 期 方 方 望 望 差 差 内 (1) Pi≥0,i=1,2, … (2) P1+P2+…=1 E ? =x1p1+x2p2+…+xnpn+… E(a ? +b)=aE ? +b D ? =(x1- E ? )2p1+…+(xn- E ? )2pn+… D(a ? +b)=a2 D ? 容

二项分布 几何分布 标准差

? ~B(n,p),则 E ? =np D ? =np(1-p) ?
~g(k,p), 则 E ? =1/p D ? =(1-p)/p2

? ? = D?
(1) 标准正态总体 N(0,1) ? ( x0 ) ? P (x<x0) (2)

9

正态分布 N(u, ? 2)

? (? x0 ) ? 1 ? ? ( x0 )
x?u

(3) 一般正态总体 F(x)= ? (

?


)

第十一章 导

1.求导公式及法则: 编号 公 式 名 1




f 1 ( x) ? y 1 ? lim
?x ?0


?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim . ? x ? 0 ?x ?x

f 1 ( x)

①C1=0 (C 为常数) ② (xn)1=nxn-1 (n ? Q) 1 ③(Sinx) =cosx 2 常见六种函数的导数 ④(cosx) =-sinx ⑤(logax) =
x 1 1 1

1 1 1 logae 特殊情况(lnx) = x x
x

⑥(a ) =a lna

特殊情况(e ) =e

x 1

x

①和差(u ? v)1=u1 ? v1 3 两个函数的导数的四则运算 法则 复合函数的导数 ②积(uv)1=u1v+uv1 特殊情况(cu ) 1=cu1

4

u 1 u 1v ? uv1 )= (v≠0) v v2 1 1 y x=y u ? u1x
③商(
f(x)在这个区间是增函数 f(x)在这个区间是减函数 f1(x)≥0 f1(x)≤0
1

一般地,函数 f(x)在某个区间可导 ,f1(x) >0 一般地,函数 f(x)在某个区间可导 ,f (x)〈0

5

一般地,函数 f(x)在某个区间可导, f(x)在这个区间是增函数 一般地,函数 f(x)在某个区间可导, f(x)在这个区间是减函数

6

一般地,连续函数 f(x)在点 x0 处有极值

f1(x0)=0

求函数的极值的一般步骤:先求导,再求驻点,再列表确定极值。 7 一般地,函数在 f(x)点 x0 连续时,如果 x0 附近左侧 f1(x0)>0,右侧 f1(x0)<0,那么 f(x0)是极大值。 一般地,函数在 f(x)点 x0 连续时,如果 x0 附近左侧 f1(x0)<0,右侧 f1(x0)>0,那么 f(x0)是极小值。 函数在区间内只有一个点使 f1(x)=0 成立,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比 8 9 10 较,也可以说这就是最大(小)值。如果没有一个点使 f1(x)=0 成立,则这个函数在这个区间必 定单调递增或单调递减。

F1(x0)表示函数图象在点 x0 处的切线的斜率

S1(t)表示物体在时刻 t 处的瞬时速度 2.导数的应用: ①求切线的斜率。k=f/(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 ②求函数的单调区间 (1)求导数 y ? ? f ?( x) (2)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; 解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间。 ③求极值、求最值。 函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值 和 f(a) 、f(b)中最小的一个。 ④常见话语:当 x=x0 时,函数有极值 m ? f/(x0)=0;f(x0)=m

第十二章 算法初步 1.秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个 n 次

多项式,只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下:

an x n ? an?1 x n?1 ? ... ? a1 ? ????an x ? an?1 ?x ? an?2 ?x ? ...?x ? a2 ?x ? a1

2. 理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,
其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明 书是空调使用的算法… (algorithm)

2.1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码). 2.2 算法的特征:
①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可 以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。 ③可行性: 算法的每一步都必须是可执行的, 即每一步都可以通过手工或者机器在 一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度

2.3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等
②控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构

3. 流程图: (flow chart):

是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及

程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意: 3.1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 3.2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框 时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查 这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了。 3.3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结 到结束框。

4.算法结构:
A B

顺序结构,选择结构,循环结构

A

A p Y N N 当型循环

Y A

p

N B

N

p Y

直到型循环

Ⅰ.顺序结构(sequence

structure ) :是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、

控制转移和重复执行的操作, 一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行 的。

Ⅱ.选择结构(selection

structure ) :或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要

是注意临界条件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不 能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在 某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构 (cycle structure) : 它用来解决现实生活中的重复操作问题, 分直到型 (until) 和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不 知道循环次数时)用当型循环。

5.基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code) ,且是使用 BASIC 语言
编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单 而实用的好方法。伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理解即可, 但也要注意符号要相对统一, 避免引起混淆。 如: 赋值语句中可以用 x ? y ,
也可以用

x? y ;

表示两变量相乘时可以用“*” ,也可以用“ ? ”

Ⅰ. 赋值语句(assignment statement) :用 ? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值
赋给 x,其中 x 是一个变量,y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式.

一般格式: “ 变量 ? 表达式 ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ x ? y ” ,
但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量, 不能是常数或者表达式, 右边可以是常数或者表达式。 “ = ” 具有计算功能。如: 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而 a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3 都是正确的。 2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.

Ⅱ.

输入语句 (input statement) : Read a ,b 表示输入的输一次送给 a ,b 输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y 注: 1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开! 2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句,一次不能在 Print 语句中用 “ = ” 4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ; ”隔
开.

Ⅲ.条件语句(conditional statement) : 1. 行 If 语句: If A Then B 注:没有 End If 2. 块 If 语句: 注: (1)不要忘记结束语句 End If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If ,就
必须要有几个 End If (2) Else If 是对上一个条件的否定, 即已经不属于上面的条件, 另外 Else If 后面也要有 End If (3)注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条 件。

(4)为了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下:

If Else

A Then B

If

C End If

A Then B Else If C Then D End If

Ⅳ.循环语句( cycle statement) : (1)当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 此也是已知次数的循环
(2)当循环次数不确定时用 While 循环

(3)Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
For I From 初值 to … End For 终值 Step 步长 For 循环 While A … End While

While 循环

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明: 1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解
决有关问题时,可以写成 While 循环,较为简单,因为它的条件相对好判断.

2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写 3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化是条件要相应变化
5. 注意临界条件的判定.