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2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计


双曲线的简单几何性质
一、学习目标
知识目标: 了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究,提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情,感受事物之间处处存在联系.

二、学习重点、难点
1. 教学重点:双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质; 2. 教学难点:双曲线的渐近线.

三、学习过程:
(一)复习式导入: 在椭圆部分,我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么,你认为应该

x2 y 2 研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的哪些性质呢?范围、对称性、顶点、离心率等. a b
这就是我们今天要共同学习的内容:双曲线的简单几何性质 (二)新课: 我们先来研究一下焦点坐标在 x 轴上的双曲线的简单几何性质。

x2 y 2 1 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 a b

(1)范围
从图形看, x 的取值范围是什么? 师生: x ? a或x ? ?a y2 x2 x2 从标准方程能否得出这个结论呢? ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ? 2 ? 1, 即x 2 ? a 2

y 的范围呢? y ? R

b

a

a

? x ? a或x ? ?a

(2)对称性
从图形看,双曲线关于什么对称性? 生:关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的 那么,类比椭圆几何性质的推导,从标准方程如何得出这个结论呢? 提示:用 ? y 代替原方程中的 y ,若方程不变,则该曲线??关于 x 轴对称。 同理,若用 ? x 代替原方程中的 x ,若方程不变,则该曲线关于 y 轴对称。若用 ? x , ? y 分别代 替原方程中的 x , y ,若方程不变,则该曲线关于原点对称。 所以,双曲线是关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。x 轴、y 轴是双曲线的对称轴,原点是对称 中心,又叫做双曲线的中心。

(3)顶点
椭圆的顶点有几个?(4 个)它是如何定义的?(椭圆与对称轴的交点) 类比椭圆顶点的定义,我们把双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点。由图形可以看到,双曲

线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的顶点有几个?顶点坐标是? (? a, 0) a 2 b2
虽然对比椭圆,双曲线只有两个顶点,但我们仍然把 (0, ?b) 标在图

形上。为了后面定义渐近线表述的方便,定义如图矩形为双曲线的特征 矩形。 椭圆中有长轴和短轴的概念,并且长轴比短轴长。双曲线中也有类 似的定义。如图,线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长为 2a,a 叫做半 实轴长;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长为 2b,b 叫做双曲线的半 虚轴长. 我们知道,双曲线定义中 a 和 b 的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系: a=b。此时实轴 2a 和虚轴 2b 也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方 程为 x 2 ? y 2 ? m(m ? 0)

(4)渐近线
图 2:标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢?通过操作确认,发现渐近线是双曲线特征 矩形的对角线,其方程是 y ? ?

b x a

定义:特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。 双曲线

b x y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 y ? ? x 即 ? ? 0 2 a a b a b

注: 通过变形, 对比双曲线方程与渐近线方程, 可以发现: 将双曲线方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

中的 1 改为 0 后得到新的方程

x2 y 2 ? ? 0(a ? 0, b ? 0) ,它的解就是两条渐近线方程。 (此处提供 a 2 b2

了一种求双曲线的渐近线方程的方法,避免记忆公式) 等轴双曲线 x ? y ? m(m ? 0) 的渐近线方程是 y ? ? x
2 2

焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线

y??

a y x x即 ? ?0 b a b

渐近线的作用:利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。 (简述作 图过程)

(5)离心率
类比椭圆,我们把双曲线的焦距与实轴长的比 e ?

2c c ? ,叫做双曲线的离心率。 2a a

椭圆离心率的范围是什么?( 0 ? e ? 1 ) 。它对椭圆的形状有何影响?(影响椭圆的扁平程度, e 越大椭圆越扁) 。

那么,双曲线的离心率的范围是什么呢?? 0 ? a ? c ? e ? 1 由等式 c ? a ? b ,可得:
2 2 2

b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e2 ? 1 ,不难发现:e 越小(越接 2 a a a

近于 1) ,

b b 就越接近于 0,双曲线开口越小;e 越大, 就越大,双曲线开口越大。所以,双曲线 a a

的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究,就可以更好的理解双曲线图形与这 些基本量之间的关系,更加准确的作出双曲线的图形。 e 对双曲线的形状有何影响呢?得出结论:e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大。

(三)例题解析
例 1.求双曲线 9 y 2 ?16 x2 ? 144 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解:把方程 9 y 2 ?16 x2 ? 144 化为标准方程

y 2 x2 ? ?1. 16 9

由此可知,半实轴长 a ? 4 ,半虚轴长 b ? 3 . 离心率 e ?

c ? a2 ? b2 ? 5 所以,焦点坐标是 (0, ?5)

c 5 y x ? ,渐近线方程是 ? ? 0 a 4 4 3

注:此问题由学生口答。 练习:求双曲线

x2 y 2 ? ? 2 的渐近线方程 9 16
y x ? ? 0 ,且双曲线过点 A(?3, 2 3) ,求此双曲线的标准方程 4 3

变式:已知双曲线的渐近线方程为

x2 y 2 ? ? ? (? ? 0) ,由题意得 解:设所求双曲线的标准方程可设为 9 16

(?3) 2 (2 3) 2 ? ?? 9 16

解得 ? ?

1 4

所以,所求双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 9 4 4

例 2 .如图, 设 M ? x, y ? 与定点 F ?5,0? 的距离和它到直线 l :x ? 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ? 则容易得点 M 的轨迹方程.

16 5 的距离的比是常数 , 求点 M 5 4

? x ? 5?

2

? y 2 ,到直线 l : x ?

16 16 的距离 d ? x ? , 5 5

例 3 .过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 倾斜角为 30? 的直线交双曲线于 A,B 两点求|AB| 3 6

解:直线 AB: y ?

3 ( x ? 3) 3

? 3 ? ? y ? 3 ( x ? 3) 由? 2 2 ? x ? y ?1 ? 6 ? 3
解得

消去 y,得

5x 2 ? 6 x ? 27 ? 0

x1 ? ?3, x2 ?

9 5

代入直线 AB,得 A(?3,?2 3),

9 2 3 B ( ,? ) 5 5

所以, AB ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

16 3 5

(四)课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获? 1 双曲线的简单几何性质

2 双曲线与渐近线 (1)双曲线

x y x2 y 2 x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0) ? 2 ? 0即 ? ? 0 的渐近线方程是 2 2 2 m n m n m n

x y x2 y 2 (2)渐近线是 ? ? 0 的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) m n m n

(五)作业布置

课本 P61 A 3,4 B 1

登封市 2014—2015 学年课堂教 学达标评优活动参评教学设计

双曲线的简单几何性质

单 学

位:登封一中 科:数 学

主讲人:张 凤 娟

《双曲线的简单几何性质》教学反思
本节内容是人教 A 版选修 2-1 第二章第三节双曲线的第二课时,本节课是在学习了“椭圆的几 何性质和双曲线的定义、方程”后进行的,课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程, 知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较,本节课的要求相对较低。 但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面,本节课是利用双曲线的方程研究其几何性 质。这是解析几何研究的两个主要问题之一,通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结 合的思想;另一方面,通过类比椭圆学习双曲线的几何性质,有利于培养学生科学的思维方法。 平面解析几何研究的主要问题之一就是:通过方程,研究平面曲线的性质。课程标准明确要求: 学生要掌握圆锥曲线的性质,初步掌握根据曲线的方程,研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据 这些教学原则和要求,以及学生的学习现状,我制定了本节课的教学目标。 (1)知识目标: ①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质; ②掌握双曲线标准方程中 a, b, c 的几何意义,理解双曲线的渐近线的概念; ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 (2)能力目标: ①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,培养学生的观察能力,想象能力,数形结合能力, 分析、归纳能力和逻辑推理能力,以及类比的学习方法; ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的 理解。 (3)情感目标: 通过本课时对双曲线几何性质的研究、探讨,让不同层次的学生都能切实体验成功的喜悦,感受数 学的美和魅力,激发创造的激情,培养审美的情趣。 根据本节的教学内容和课程标准以及高考的要求,结合学生现有的实际水平和认知能力,我把 对双曲线的几何性质的理解和简单应用作为本节课的重点。 渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对较低,不要求严格证明, 为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多 媒体展示,帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义 。 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质,本节内容类似于“椭圆的简单的几何 性质” ,教学通过类比,让学生自己进行探究,得到类似的结论。在教学中,凡是难度不大,经过学 习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的 学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能 力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质,我们常利用它作出双曲线的草图,而学生对渐近线的发现、理解 和掌握有一定的困难。因此,在教学过程中着重培养学生的创造性思维,通过诱导、分析,从已有 知识出发,启迪思维,调动学生自身探索的内驱力,进一步清晰概念(或图形)特征,培养思维的 深刻性。 例题的选备,可将此题作一题多变(变条件,变结论) ,开拓其解题思路,使他们在做题中总结 规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。


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