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2012浙江省第二次五校联考文科数学试题及答案


2011 学年浙江省第二次五校联考

数学(文科)试题卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分种. 请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应试题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 球的表面积公式: S ? 4 ? R 2 (其中 R 表示球的半径) 球的体积公式: V ?
4 3

? R (其中 R 表示球的半径)
3

锥体的体积公式: V ?

1 3

S h (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高)

柱体的体积公式 V ? S h (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.在复 平面内,复数 A.第一象限 2.若集合 ?1, a ,
? ?
1? i 2?i

( i 为虚数单位)对应的点位于( B.第二象限 C.第三象限 )

) D.第四象限

b? 2 ? ? ? 0 , a , a ? b ? ,则 a ? b 的值为( a?

A.0

B.1

C.-1

D. ? 1 )

3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

侧视

A.

B.
x ?1

C.

D.

4.若“ 0 ?

”是“ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2 )] ? 0 ”的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是( B. ( ? 1, 0 )



A. [ ? 1, 0 ]

C. ( ? ? , 0 ] ? [1, ? ? ) 5.已知直线 l , m 与平面 ? , ? , ? 满足 ? A. ? ? ? 且 l ? m C. m // ? 且 l ? m 6. 若函数 f ? x ? ?

D. ( ? ? , ? 1) ? ( 0 , ? ? )
? ? ? l, l // ? , m ? ?

和m

??

,则有(



B. ? D. ?

? ? // ?

且 m // ? 且? ? ? 个单位后得到的图象对应的函数是奇

a s in x ? b c o s x ( a b ? 0 ) 的图象向左平移

?
3

函数,则 直线 a x ? b y ? c ? 0 的倾斜角为( A. 30? B. 6 0 ?
2

) C. 1 2 0 ? D. 1 5 0 ? )

7. 已知数列 ? a n ? , a n ? ? 2 n ? ? n ,若该数列是递减数列,则实数 ? 的取值范围是( A. ? ? ? , 3 ? 8. 过双曲线
x a
2 2

B. ? ? ? , 4 ?
? y b
2 2

C.

? ?? ,5?

D.

? ?? , 6 ?

? 1 (a ? 0,b ? 0)

的右焦点 F 2 作斜率为 ? 1 的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线 ) D. 3 x ? 2 y
?0

的交点分别为 A. 3 x ? y ? 0 9. 若
??? ? AB ? 1

???? ??? ? A , B .若 F 2 A ? A B

,则双曲线的渐近线方程为( B. x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 的最大值为( )
8?5 9 2

,

??? ? ??? ? CA ? 2 CB

??? ??? ? ? ,则 C A ? C B

A.

2 3

B.2

C.

D.3

1 ? | x ? |, | x |? 1 ? x 10.设函数 f ( x ) ? ? , g (x) ? ? 2 sin x , | x |? 1 ? 2
g ( x ) 的值域是

是二次函数,若 f [ g ( x )] 的值域是 [0, ? ? ) ,则



) B. ( ? ? , ? 1] C. [0, ? ? ) D. ?1, ? ? ?

A. ( ? ? , ? 1] ? [1, ? ? )

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 为了分析某同学在班级中的数学学习情况,统计了该同学在 6 次月考 中数学名次,用茎叶图表示如图所示: 位数为
1 3 5 8 9 2 1 2
S=S+i2 S=S-i2 是

开始
i=1,S=0 i=i+1

,则该组数据的中

. .
i<4?




12.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为
2 2

i是奇数?


13. C : x ? y ? 4 x ? 2 y ?0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆 C ? 的方 圆

输出S 结束

程为

.

14.平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量;与直线的方向向量垂直的非零向量称为 直线的法向量.在平面直角坐标系中,利用求动点的轨迹方程的方法,可以求 出 过 点
A ( 2 ,1)

且 法 向 量 为

? n ? ( ? 1, 2 )的 直 线
?0

第 12 题

( 点 法 式 ) 方 程 为

? ( x ? 2 ) ? 2 ( y ? 1) ? 0

,化简后得 x ? 2 y

.类比以上求法,在空间直角坐标系中,经过点 A ( 2 ,1, 3) ,

且法向量为 n
x a
2 2

?

? ( ? 1, 2 ,1)

的平面(点法式)方程为_______________(请写出化简后的结果).

15 . 椭 圆

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? , F1 , F 2 分 别 是 其 左 、 右 焦 点 , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 满 足

P F1 ? 2 P F 2 ,

则该椭圆离心率的取值范围是_____________. 16 . 若 A B ? ? x , y ? , x , y ? ? ? 2, ? 1, 0,1, 2 ? , a ? ? 1, ? 1 ? , 则 A B 与 a 的 夹 角 为 锐 角 的 概 率 是 .
? ?x ?1 ? ? A ? ?? x, y ? | ? y ? 1 ? ? ?x ? y ? ? ? ? ? ? 2?

??? ?

?

??? ?

?

17 . 已 知 集 合

,集合

B ?

?? x , y ? | x co s ?

? y sin ? ? 1 ? 0 , ? ? ? 0 , 2 ?

?? , 若

A ? B ? ? ,则 ? 的取值范围是____________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)设△ ABC 的三内角 A、 B 、 C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等 比数列,且 sin
A sin C ? 3 4

.

[来源:学#科#网]

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 x ? [0 , ? ) ,求函数
f ( x ) ? sin ( x ? B ) ? sin x

的值域.

19. (本题满分 14 分)设公比为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 3 ? 8 , S 2 ? 4 8 ,数 列 { b n } 满足 b n ? 4 lo g 2 a n .
[来源

(Ⅰ)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得
b m ? b m ?1 bm ? 2

是数列 { b n } 中的项.

D

20. (本题满分 14 分) 如图, D C
AC ? 1 2 BC ? 3 2 CD

?

平面 A B C , ? B A C
? 3ED

? 90?



E

,点 E 在 B D 上,且 B E
? BC

.[来源
B C

(Ⅰ)求证: A E



(Ⅱ)求二面角 B ? A E ? C 的余弦值.
A

(第 20 题)

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1, g ? x ? ? ln x .
3

(Ⅰ)求 F ? x ? ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实常数 k 和 m ,使得 x ? 0 时, f ? x ? ? kx ? m 且 g ? x ? ? kx ? m ? 若存在,求出 k 和 m 的值;若不存在,说明理由.

22. (本题满分 15 分)已知抛物线 x ? 4 y .
2

(Ⅰ)过抛物线焦点 F ,作直线交抛物线于 M , N 两点,求 M N 最小值; (Ⅱ) 如图,P 是抛物线上的动点, P 作圆 C : x ? ? y ? 1 ? ? 1 的切线交直线 y ? ? 2 于 A , B 两 过
2 2

点,当 P B 恰好切抛物线于点 P 时,求此时 ? P A B 的面积.

y

P

O x A C B

2011 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 A 6 D 7 D 8 A 9 B 10 C

二、填空题: 11. 18.5 13. ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

12.-6 14.
x ? 2y ? z ?3? 0

?1 ? ,1 ? ? 15. ? 3 ?
, 2? ? 17. ? 0 , ? ? ? ? 2? ? 4 ? ?

16.
? 7? ?

8 25

? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b 2 ? a c .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C . 又 sin
A sin C ? 3 4

,所以 sin 2 B
?
3

?

3 4

.因为 sinB>0,则 sin B
2? 3

?

3 2

.

因为 B∈(0,π),所以 B= 又 b2 分 (Ⅱ)因为 B
? 3 2 sin x ?
? π 3
? ac



.
B ? π 3

,则 b

? a



b?c

,即 b 不是△ ABC 的最大边,故

.

???? 6

,则

f ( x )?

s i nx? (

?
3

?)

sx i?n

xs i n 3

?

? o s x c

?
3

c o? s

sx n i

s i n

3 2

cos x ?

3 sin ( x ?

?
6

)

.

???? 10 分
x ? [0 , ? )

,则 ?
f (x)

?
6

? x?

?
6

?

5? 6
3 2 ,

,所以 sin ( x ?
3]

?
6

) ? [?

1 2

,1] .

故函数

的值域是 [ ?

.

???? 14 分
? a1 ? q ? 8 1 1 ? q ? 19. 解: (Ⅰ)设 { a n } 的公比为 q ,则有 ? 或 q ? ? (舍) 。 2 2 ? a1 ? a1 q ? 2 8
2

则 a1 ?

8 q
2

? 32 , an ? 32 ? (

1 2

)

n ?1

? 2

6?n



???? 4 分

b n ? 4 lo g 2 a n ? 4 lo g 2 2

6?n

? ?4 n ? 24 。
1
n ?1

???? 6 分
? 2
6?n

即数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式为 a n ? 3 2 ? ( )
2

, bn ? ? 4 n ? 2 4 。 ,令 t ? 4 ? m ( t ? 3, t ? Z ) ,所以

(Ⅱ)

b m ? b m ?1 bm ? 2

?

( 2 4 ? 4 m )( 2 0 ? 4 m ) (1 6 ? 4 m )

?

4 ( 6 ? m )(5 ? m ) (4 ? m ) 2 t

b m ? b m ?1 bm ? 2

?

4 ( 6 ? m )(5 ? m ) (4 ? m )

?

4 ( 2 ? t )(1 ? t ) t

? 4(t ? 3 ?

),

???? 10 分

如果

b m ? b m ?1 bm ? 2

是数列 { b n } 中的项,设为第 m 0 项,则有 4 ( t ? 3 ?

2 t

) ? 4 ( 6 ? m 0 ) ,那么 t ? 3 ?

2 t



小于等于 5 的整数,所以 t ? { ? 2 , ? 1,1, 2} . 当 t ? 1 或 t ? 2 时, t ? 3 ?
2 t ? 6 ,不合题意; 2 t ? 0 ,符合题意.
b m ? b m ?1 bm ? 2

当 t ? ? 1 或 t ? ? 2 时, t ? 3 ?

所以,当 t ? ? 1 或 t ? ? 2 时,即 m ? 5 或 m ? 6 时,

是数列 { b n } 中的项. ? ? ? ? 1 4 分
D E

20. (1)面 BCD 中,作 EH⊥B C 于 H,因 CD⊥BC,故 EH||CD 因 D C ⊥面 A B C ,故 EH⊥面 A B C 连 AH,取 BC 中点 M,可得正△ACM,H 是 MC 中点,得 AH⊥B C BC⊥面 AHE ? B C ? A E ………6 分 B (2)作 BO⊥AE 于 O,连 CO 由(1)得 AE⊥面 BCO, ? ? B O C 就是 B ? A E ? C 的平面角………10 分 令 AC=1, ? A C E 中, E C ? A C ? 1, A E ?
6 2 42 4 ? O 是 AE 中点 ? C O ? 10 4
A

C

R t ? B O A 中可得 B O ?

? B O C 中, B O ?

42 4

,CM ?

10 4

, B C ? 2 ? cos B O C ? ?

6 420

? ?

105 35

………14 分

21. 解 : (1) F ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? ln x ? x ? 0 ? ,求导数得 F ? ? x ? ?
3

? x ? 1? ? 3 x ? 1?
x

?x

? 0?

? F ? x ? 在(0,1)单调递减,在(1,+ ? )单调递增,从而 F ? x ? 的极小值为 F ?1 ? ? 0 。

………6 分 (2)因 f ? x ? 与 g ? x ? 有一个公共点(1,0),而函数 g ? x ? 在点(1,0)的切线方程为 y ? x ? 1 。…9 分 下面验证 ?
? f ?

?x? ?

x ?1

?g ?x? ? x ?1 ?
3

都成立即可。

设 h ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1? ? x ? 3 x ? 2 ? x ? 0 ?
3

求导数得 h ? ? x ? ? 3 x ? 3 ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? ? x ? 0 ?
2

? h ? x ? 在(0,1)上单调递减, (1, ?? ) 上单调递增, 在 所以 h ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1 ? ? x ? 0 ? 的最
3

小值为 h ?1 ? ? 0 , 所以 f ? x ? ? x ? 1 恒成立。 12 分 设 k ? x ? ? ln x ? ? x ? 1 ? ? k ? ? x ? ?
1? x x

………………

?x

? 0?

k ? x ? 在(0,1)上单调递增, (1, ?? ) 上单调递减, 在 所以 k ? x ? ? ln x ? ? x ? 1 ? 的最大值为 k ? 1 ? ? 0

所以 k ? x ? ? x ? 1 恒成立。 故存在这样的实常数 k 和 m ,且 k ? 1 且 m ? ? 1 。 22.
y

……………………15 分

P

O x A C B

[解] (Ⅰ)F(0,1) 设 PF:y=kx+1 代入 x ? 4 y 得 x ? 4 kx ? 4 ? 0
2
2

P Q ? y 1 ? y 2 ? 2 ? k ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? 4 k ? 4 ? 4
2

故当 k=0 时, P Q (2)设 P ? a ,
? ?
2

m in

=4
2

……………………5 分
2 2

a ? x x a a a a ? y? ? ? 抛物线在点 P 处切线: y ? ? x ? a ? ? ? x? ?,y ? 4 ? 4 2 2 4 2 4

1?

a

2

圆心 C 到该切线距离=1 ?
a
2

4 ?1

? 1 ? a ? 12
2

4

由对称性,不妨设 P ? 2 3 , 3 ?

……………………9 分

显然过 P 作圆 C 的两条切线斜率都存在,设 y ? 3 ? k ? x ? 2 3 ? ? kx ? y ? 3 ? 2 3 k ? 0
4 ? 2 3k

因相切,故
k ?1
2

? 1 ? 1 1k ? 1 6 3 k ? 1 5 ? 0 ? k ?
2

3o r

5 3 11

y ? 3 ? k x ? 2 3 中,令 y=-2,得 x=

?

?

?5 k

?2 3

………………13 分

? AB ?

?5 3

?

?5 5 3 11

? 2 3 ? S ?PAB ?

1 2

AB

? yP

? 2? ? 5 3

……………15 分


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