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【K12教育学习资料】高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题二 三角函数与平面向量专题限时训练9 文

中小学资料 专题限时训练(九) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 三角形中的综合问题 (时间:45 分钟 分数:80 分) 1.(2014·江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 2sin B-sin A 的值为( 2 sin A 1 A.- 9 C.1 答案:D 2 2 2sin B-sin A ?sin B?2 ?b? 解析:由正弦定理,可得 =2? ? -1=2?a?2-1,因为 3a =2b,所以 2 sin A ?sin A? ? ? 2 2 b 3 2sin B-sin A 7 ?3?2 = ,所以 =2×? ? -1= . 2 a 2 sin A 2 ?2? 2 2 ) B. D. 1 3 7 2 2.(2015·广西南宁二模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 sin 2A 1 +sin 2B+sin 2C= ,△ABC 的面积 S∈[1,2],则下列不等式一定成立的是( 2 A.ab(a+b)>16 2 C.6≤abc≤12 答案:B 1 解析:依题意,得 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C= ,展开并 2 1 整理,得 2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C= ,又 sin(A+B)=sin C,cos C=-cos(A 2 +B), 1 所以 2sin Ccos(A-B)+2sin Ccos C=2sin C[cos(A-B)-cos(A+B)]= , 2 1 1 所以 4sin Asin Bsin C= ,则 sin Asin Bsin C= . 2 8 1 1 1 又 S= absin C= bcsin A= casin B, 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 因此 S = a b c ·sin Asin Bsin C= a b c . 8 64 1 2 2 2 3 由 1≤S≤2 得 1≤ a b c ≤2 ,即 8≤abc≤16 2,因此选项 C,D 不一定成立. 64 ∵b+c>a>0, 学习永无止境 B.bc(b+c)>8 D.12≤abc≤24 ) 中小学资料 ∴bc(b+c)>bc·a≥8,即有 bc(b+c)>8, ∴选项 B 一定成立. ∵a+b>c>0, ∴ab(a+b)>ab·c≥8,即有 ab(a+b)>8, ∴选项 A 不一定成立.故选 B. 3.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsin A,b +c -a =bc, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 答案:C 解析:因为 b +c -a =bc, 所以 cos A= 2 2 2 2 2 2 ) B.钝角三角形 D.等边三角形 b2+c2-a2 bc 1 = = , 2bc 2bc 2 因为 A 为三角形内角,所以 A=60°, 所以 a=2bsin A= 3b, 1 利用正弦定理化简得 sinA= 3sin B,即 sin B= , 2 所以 B=30°或 B=150°(不合题意,舍去), 所以 C=90°,即△ABC 为直角三角形. 4.如图,海岸线上有相距 5 n mile 的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海 上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75°方向,与 A 相距 3 2 n mile 的 D 处;乙 船位于灯塔 B 的北偏西 60°方向, 与 B 相距 5 n mile 的 C 处, 则两艘轮船之间的距离为( ) A.5 n mile C. 13 n mile 学习永无止境 B.2 3 n mile D.3 2 n mile 中小学资料 答案:C 解析:连接 AC,∠ABC=60°,BC=AB=5 n mile,AC=5 n mile,在△ACD 中,AD=3 2 n mile, AC=5 n mile,∠DAC=45°,由余弦定理得 CD= 13 n mile. 5. (2015·河北衡水中学期中)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c.若 a=5bsin C 且 cos A=5cos Bcos C,则 tan A 的值为( A.5 C.-4 答案:B ) B.6 D.-6 解析:由已知及正弦定理,得 sin A=5sin Bsin C,① 又 cos A=5cos Bcos C,② 由②-①,得 cos A-sin A=5(cos Bcos C-sin Bsin C) =5cos (B+C)=-5cos A, ∴sin A=6cos A,∴tan A=6. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 6. (2014·天津卷)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.已知 b-c= a,2sin 4 B=3sin C,则 cos A 的值为________. 1 答案:- 4 1 解析:由已知及正弦定理,得 2b=3c.因为 b-c= a,不妨设 b=3,c=2,所以 a=4, 4 所以 cos A= b2+c2-a2 1 =- . 2bc 4 7.(2015·新课标全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是________. 答案:( 6- 2, 6+ 2) 解析: 如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB<BE. 在等腰三角形 CFB 中,∠FCB=30°,CF=BC=2, ∴ BF= 2 +2 -2×2×2cos 30°= 6- 2. 学习永无止境 2 2 中小学资料 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°, BE=CE,BC=2, BE sin 75° = 2 , s