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高一数学培优训练题四


高一数学培优训练题四
一、选择题: 1.已知集合 M={x | x∈N 且 8-x∈N }, 则集合 M 的元素个数为 A.10 B.9 C.8 D.7 2.函数 f : ? ,2? ? ? ,2? 满足 f ? f ?x ?? ? f ?x ? , 则这样的函数个数共有 1 1 A.1 个 3.函数 B.2 个
log3 x

( (

) )

C.3 个

D.4 个 ( )

y ?3

的图象是

A.
2

B.

C.

D.

4.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) A. ? 2 ? a ? 1 B. ? 2 ? a ? 1
2

C. ? 3 ? a ? ?2

D. ? 3 ? a ? 1 ( )

5.若 f ( x) ? 1 ? 2 x, g[ f ( x)] ?

1? x 1 ( x ? 0), 则g ( ) 的值为 2 2 x

A.1 B.3 C.15 D.30 2 6.若函数 f(x)=lg(x -ax-3)在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值范围是 txCj ( A. a>2 B. a<2 C.a≥2 D. a≥-2 7.已知函数 f
1 x ) ? x ? ? ? 2f ? x?((x??00) , ?1?
?x

) C

若方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则

实数 a 的取值范围为( A.



? ??, 0?

B.

? 0,1?

C.

? ??, ?1?

D. ? 0, ?? ? )

8.设 f ( x) = A. x

1? x ,记 f1 ? x ? ? f ? x ? ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)),则 f 2006 ( x)= ( 1? x 1 1? x x ?1 B.C. D. x 1? x x ?1

9.已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? g (x) 的图像与函数 y ? f (x) 的图 像关于直线 x ? y ? 0 对称,若 x1 ? x2 ? 0, 则g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?
1





A.0 二、填空题:

B.1

C.2

D.-2

10.已知函数 f ( x) ? ? 11.函数 f ( x) ? x a
2

?? x ? 1 (?1 ? x ? 0) , 则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为 ? ? x ? 1 (0 ? x ? 1)
(常数 a ?Z)为偶函数且在(0,+∞)是减函数,则 f (2) = .

.

? 2 a ?3

.

12.函数 f ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a ? b(a ? 0)在(0, 上零点的个数为 1 )

13.将 n 2 个正整数 1,2,3,?, n 2 填入到 n? n 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的
数的和相等, 这个正方形就叫做 n 阶幻方。 如右图就是一个 3 阶幻方。 定义 f (n) 为 n 阶幻方对角线上数的和。例如 f (3) ? 15 ,那么 f (4) = . 8 3 4 1 5 9 6 7 2

14.设数集 M ? ? x m ? x ? m ? 3 ? , N ? ? x n ? 1 ? x ? n? ,且 M , N 都是集合 ? ? ? ?
? 4?

?

3

?

?x 0 ? x ? 1?的子集,如果把 b ? a 叫做集合 ?x a ? x ? b?的“长度”
度”的最小值是 .

,那么集合 M ? N 的“长

15.下列命题中:①对于每一个实数 x, f ( x)是y ? 2 ? x 2 和y ? x 这两个函数中的较小者,则
f (x) 的最大值是 1.
②已知 x1是方程x ? lg x ? 3 的根, x 2是方程x ? 10 x ? 3 的根,则 x1 ? x 2 ? 3 . ③函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 f (x) 的图象是以
2

(0,1)为顶点,开口向下的抛物线. ④若集合 P={ x|x=3m+1, m? N }, Q={ x|x=5n+2, n ? N },则 P ? Q={x|x=15m-8, m ? N }
+ + +

⑤若函数 f ( x) 在 (??, ??) 上递增,且 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) . 其中正确的命题的序号是________. 三、解答题: 16. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0} , B ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,
2 2

C ? {x | x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0} ,求实数 a 的取值范围:
2

(1)使 C ? A ? B ; (2)使 C ? CU A∩CU B.

17.若非零函数 f (x) 对任意实数 a, b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (Ⅰ)求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)求证:判断函数 f (x) 的奇偶性; (Ⅲ)当 f (4) ?

1 1 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x 2 ) ? 16 4

18.已知圆 C 满足下列三个条件 (1) 圆 C 与 x 轴相切; (2) 圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上; (3) 圆 C 与直线 x ? y ? 0 交于 A、B 两点,且△ABC 的面积为 14 . 求符合上述条件的圆 C 的方程.
3

19. 已知关于 x 的方程: x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0 ,
2

(Ⅰ)若方程有两个实根,求实数 a 的范围; (Ⅱ)若方程有两个实根,且两根都在区间 ?1, ?? ? 内, 求实数 a 的范围; (Ⅲ)设函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6, x ? ? ?1,1? ,记此函数的最大值为 M (a) ,
2

最小值为 N (a) ,求 M (a) 、 N (a) 的解析式。

答案
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 C 7 C 8 B 9 D

16.

解: A ? {x | ?2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? ?3 或 x ? 1} ??????????????2 分
4

(1) A ? B ? {x | 1 ? x ? 4} ,又 x ? 3ax ? 2a <0,
2 2

即 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0, 且 C ? A ? B , ∴ a ? 0 ,即 C ? {x | a ? x ? 2a} 由此得 a ≥1 且 2a ≤4,∴ 1 ? a ? 2 ;????? 4 分 又 a ? 0 时,C=Φ ,满足题设, ∴ 使 C ? A ? B 成立时 a 的取值范围是[1,2]∪{0}.???????????????6 分 (2)∵
U

A∩

U

B=

U

(A∪B)= {x | ?3 ≤ x ≤ ? 2} ,且 C ?

U

A∩

U

B,由此得

3 2a ? ?3且a ? ?2 ? ?2 ? a ? ? .??????????????????????10 分 2 3 ∴ 使 C ? U A∩ U B 成立时, a 的取值范围是(-2,- ).????????? 12 分 2 x x x 2 17、解: (Ⅰ) f ( x) ? f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )] ? 0, 又 f ( x) ? 0, 则 f ( x) ? 0 。 2 2 2
(Ⅱ)令 a ? b ? 0 , f (0) ? f (0) ? f (0) ? 1 或 f (0) ? 0 (舍去)
2

令 a ? b ? 0 ,得 f ( x) ? f (? x) ? 1,? f (? x) ?

1 , f ( x)

设定义域内的两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? 1, 且f ( x) ? 0 , f ( x2 )

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则f ( x) 为减函数。
(Ⅲ) f (4) ?

1 1 1 ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? , f ( x ? 3) ? f (5 ? x 2 ) ? ? f (2) 16 4 4

即 f (2 ? x ? x 2 ) ? f (2), 且f ( x)是R上的减函数,则2 ? x ? x 2 ? 2,得0 ? x ? 1 , 故原不等式的解集是 {x | 0 ? x ? 1} 18、 ?x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9或?x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9
2 2 2 2
2 19、解: (Ⅰ)方程有两个实根时,得 ? ? [2(a-1)] ? 4 ? (2a +6) ? 0

解得 a ? -1或a ? 5
5

(Ⅱ)令 f(x)=x +2(a-1)x +2a +6 由题意得
2

f (1) ? 1 ? 2( a ? 1) ? 2a ? 6 ? 0 2( a ? 1) ? 1? a ? 1 2 ? ? [2(a -1)]2 ? 4 ? (2a +6) ? 0 ?

5 解得 - ? a ? ?1 4 2 (Ⅲ) f(x)=x +2(a-1)x +2a +6

对称轴为 x ? 1 ? a ,顶点为 ?1 ? a, ?a 2 ? 4a ? 5 ?

当 1 ? a ? ?1, 即 a ? 2 时 M (a) ? f (1) ? 4a ? 5, N (a) ? f (?1) ? 9 当 ?1 ? 1 ? a ? 0 即 1 ? a ? 2 时 M (a) ? f (1) ? 4a ? 5, N (a) ? f (1 ? a) ? ?a 2 ? 4a ? 5 当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1时 M (a) ? f (?1) ? 9, N (a) ? f (1 ? a) ? ?a 2 ? 4a ? 5 当 1 ? a ? 1,即 a ? 0 时 M (a) ? f (?1) ? 9, N (a) ? f (1) ? 4a ? 5

?9????????????????????(a ? 2) ?4a ? 5???(a ? 1) ? ∴综上所述 M (a ) ? ? , N (a) ? ??a 2 ? 4a ? 5???(0 ? a ? 2) ?9??????????(a ? 1) ?4a ? 5?????????????(a ? 0) ?

6


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