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云南省昆明市2015届高三10月摸底调研数学理试题 Word版含答案


云南省昆明一中 2015 届高三(上)摸底 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x∈Z|x <4},B={x|x>﹣1},则 A∩ B=( ) A. {0,1} B.{﹣1,0} C.{﹣1,0,1} 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为( ) D.(﹣1,﹣1) ) D.y=log2|x|
2

D.{0,1,2}

A. (1,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣1) 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( A. y=|x+1| 4.双曲线 C: C 的离心率为( A. ) B. C.2 ,AC=3,则 C.3 ? =( B.y= C.y=2
﹣|x|

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 垂直,则双曲线

D. ) D.4

5.在△ ABC 中,点 D 为 BC 的中点,若 AB= A. 1 B.2

6.已知关于 x 的方程 2sin(x+ 数值范围是( ) A. (﹣2,2) C. [﹣2, )∪( ,2]

)﹣a=0 在区间[0,2π]上有两个不同的实根,则实数 a 的

B. [﹣2,2] D. (﹣2, )∪( ,2) )

7. 执行如图所示的程序框图, 如果输入的 x, y, N 的值分别为 1, 2, 3, 则输出的 S= (

A. 27

B.81 =

C.99 ,则 tanα=( C.﹣ )

D.577

8.设 α 为第四象限的角,若 A.﹣ B.﹣

D.﹣3

9.4 名学生从 3 个体育项目中每人选择 1 个项目参加,而每个项目都有学生参加的概率为 ( ) A.
2

B.

C.

D.

10.设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点 F,准线为 l,A 为 C 上一点,以 F 为圆心且经过 点 A 的圆交 l 于 B、D 两点,若∠ ABD=90°,△ ABF 的面积为 3 ,则 p=( ) A. 1 B. C.2 D. 11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几 何体体积的最小值等于( )

A. 36

B.
2

C.18

D. )

12.已知函数 f(x)=ax ﹣lnx,若 f(x)存在两个零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0, ) B.(0,1) C.(﹣∞, )

D.(﹣∞, ﹣ 1]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ( + ) 的展开式中常数项为 _________
6

. (用数字作答)

14.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 _________ . 15.已知在△ ABC 中,C= ,AB=6,则△ ABC 面积的最大值是 _________ .

16.已知三棱锥 A﹣BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,AB 为球 O 的直径,若该三棱锥 的体积为 ,BC=2,BD= ,∠ CBD=90°,则球 O 的表面积为 _________ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2=2,a3?a5=64 (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=log2an,求数列{an+1?bn+1}的前 n 项和 Tn. 18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA=PC, (1)证明:PB⊥ AC; (2)若平面 PAC⊥ 平面平面 ABCD,∠ ABC=60°,PB=AB,求二面角 D﹣PB﹣C 的余弦值.

19. (12 分)某校高一年级共有 800 名学生,其中男生 480 名,女生 320 名,在某次满分为 100 分的数学考试中,所有学生成绩在 30 分及 30 分以上,成绩在“80 分及 80 分以上”的学 生视为优秀.现按性别采用分层抽样的方法共抽取 100 名学生,将他们的成绩按[30,40]、 [40,50]、[50,60]、[60,70]、[70,80]、[80,90]、[90,100]分成七组.得到的频率分布 直方图如图所示: (1) 请将下列 2×2 列联表补充完整, 计算并说明是否有 95%的把握认为“该校学生数学成绩 优秀与性别有关”? 数学成绩 数学成绩不 合计 优秀 优秀 男生 12 女生 100 合计 (2)在第 1 组、第 7 组中共抽处学生 3 人调查影响数学成绩的原因,记抽到“成绩优秀”的 学生人数为 X,求 X 的分布列及期望. 附:K =
2 P(K ≥k0)0.15 0.10 0.05 2.0722.7063.841 K0 2

,其中 n=a+b+c+d.

20. (12 分)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣

,0) ,过 F 的直线交 C

于 A,B 两点,设点 A 关于 y 轴的对称点为 A′ ,且|FA|+|FA′ |=4. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若点 A 在第一象限,当△ AFA′ 面积最大时,求|AB|的值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线在 x 轴上 的截距为 .
x 2

(1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=f(2x)﹣f(x) ,求证:g(x)在 R 上单调递增. 一、选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,CD 是△ ABC 中 AB 边上的高,以 AD 为直径的圆交 AC 于点 E,一 BD 为直径的圆交 BC 于点 F. (Ⅰ )求证:E、D、F、C 四点共圆; (Ⅱ )若 BD=5,CF= ,求四边形 EDFC 外接圆的半径.

一、选修 4-4-:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极

轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程是

(t 是参数) .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 E,求|EA|+|EB|. 一、选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x+b|. (Ⅰ )若不等式 f(x)≤3 的解集是{x|﹣1≤x≤2},求实数 b 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,若 f(x+3)+f(x+1)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

18. (Ⅰ )证明:连接 PO, ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥ BD,且 O 为 AC 和 BD 的中点, 又 PA=PC,∴ AC⊥ PO, ∵ BD∩ PO=O,BD、PO?平面 PBD,∴ AC⊥ 平面 PBD, ∵ PB?平面 PBD,∴ PB⊥ AC. (Ⅱ )解:∵ 平面 PAC⊥ 平面 ABCD, 平面 PAC∩ 平面 ABCD=AC,AC⊥ PO,PO?平面 PAC, ∴ PO⊥ 平面 ABCD,∵ BD?平面 ABCD,∴ PO⊥ BD, 过点 O 作 OH⊥ PB 于点 H,连结 CH,得 CH⊥ PB, ∴ ∠ OHC 是二面角 D﹣PB﹣C 的平面角, 设 PA=AB=a, ∵ 在菱形 ABCD 中,∠ ABC=60°, ∴ AB=BC=AC,CO= 在 Rt△ POB 中,PO= OH= = , ,BO= , = = ,

∴ 在 Rt△ COH 中,CH= = ,

=

=



∴ 二面角 D﹣PB﹣C 的余弦值



19. 解: (Ⅰ )应抽取男生 60 人,女生 40 人, 2×2 列联表如下: 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 男生 12 48 女生 6 34 合计 18 82 k=
2

合计 60 40 100

=0.407<3.841,

计算结果表明,没有 95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”. (Ⅱ )X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)=C = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



P(X=3)= ∴ X 的分布列为 X P

=



0

1

2

3

E(X)=

= .

20. 解: (I)设 F′ 是椭圆的右焦点, 由椭圆的性质和定义可得:|FA|+|FA′ |=|FA|+|F′ A|=2a=4. 解得 a=2, ∵ 左焦点为 F(﹣ ,0) ,c= , 2 2 2 ∴ b =a ﹣c =2. ∴ 椭圆 C 的方程为 =1. =x1y1.

(II)设 A(x1,y1) (x1>0,y1>0) ,△ AFA′ 面积 S=

∵ ∴ .

≥2×

=



当△ AFA′ 面积取得最大时, 由 F(﹣ ,0) ,A =0,

= ,解得

,y1=1. ,化为

,可得直线 AB 的方程为:

设 B(x2,y2) ,联立

,解得





可得 B ∴ |AB|=

. =
x



21. 解: (1)函数的导数 f′ (x)=e ﹣2ax,f′ (1)=e﹣2a,f(1)=e﹣a, ∴ y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣(e﹣a)=(e﹣2a) (x﹣1) , 由 y=0,得 x= , .

∵ 切线在 x 轴上的截距为 ∴ = .解得 a=1.

(2)由(1)知 f(x)=f(x)=e ﹣x ,则 g(x)=e ﹣e ﹣3x , 2x x 函数的导数 g′ (x)=2e ﹣e ﹣6x, 2x x 令 h(x)=2e ﹣e ﹣6x, 2x x h′ (x)=2e ﹣e ﹣6, 令 h′ (x)>0,得 或 (舍去) ,

x

2

2x

x

2

∴ 当 x>ln 当 x<ln ∴ h(x)≥h(

时,h(x)递增, 时,h(x)递减, )=2( = )﹣ ,
2

﹣6ln

=

﹣6ln



下面证明:ln(x+1)≤x, (x>﹣1) , 设 d(x)=ln(x+1)﹣x,则 d′ (x)= ,

则 d(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴ d(x)≤d(0)=0,∴ ln(x+1)≤x, ∴ ln( +3)≤ , ∴ h(x) ,

即 g(x)在 R 上单调递增. 22. (Ⅰ )证明:连接 ED,FD, ∵ AD,BD 是直径,∴ ∠ AED=∠ BFD=90°, ∴ ∠ DEC=∠ DFC=90°, ∴ ∠ DEC+∠ DFC=180°, ∴ E、D、F、C 四点共圆; (Ⅱ )解:∵ ∠ DEC=90°, ∴ CD 是四边形 EDFC 外接圆的直径, ∵ CD 是△ ABC 中 AB 边上的高, ∴ BD 是四边形 EDFC 外接圆的切线, ∴ BD=BF?BC ∵ BD=5,CF= ∴ BF=3, 同理 CD= ∴ 四边形 EDFC 外接圆的半径为 .
2



23. 解: (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0,化为 ρ ﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0, 2 2 ∴ x +y ﹣2x﹣4y=0;

由直线 l 的参数方程

(t 是参数)化为


2

(2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程可得:t ﹣t﹣4=0. 点 E 对应的参数为 t=0.设点 A,B 分别对应的参数为 t1,t2. 则 t1+t2=1,t1t2=﹣4.

∴ |EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= 24.

=

=

. ≤x≤ . =2,解得 b=﹣1.

解: (Ⅰ )由不等式 f(x)≤3 可得|2x+b|≤3,解得 =﹣1,

再由不等式 f(x)≤3 的解集是{x|﹣1≤x≤2},可得

(Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,f(x)=|2x﹣1|,设 g(x)=f(x+3)+f(x+1) , 则 g(x)=|2x+5|+|2x+1|≥|(2x+5)﹣(2x+1)|=4, 若 f(x+3)+f(x+1)≥m 对一切实数 x 恒成立,应有 4≥m. 故实数 m 的取值范围为(﹣∞,4].


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