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广东省五校协作体 2016届高三 12月第一次联考--理科数学试题(含答案)


深圳二高、真光中学、珠海二中、肇庆一中、阳春一中

广东省五校协作体 2016 届高三第一次联考试卷 数学(理科)
命题学校:深圳市第二高级中学 命题人:郑继良 审题人:李淑梅 2015.12 本试卷共 4 页,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上. 用 2B 铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 参考公式:球的表面积公式: S球面 ? 4? R (R为球的半径)
2

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. cos 6000 的值为( A. ? ) B. ?
55 2

3 2

1 2


C.

1 2

D.

3 2

2.i 为虚数单位,则 (1 ? i ) ? A.4 B.0



C. 2i )

D. ? 2i

3.下列有关命题的说法中,正确的是(

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B.命题“若 ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? ”的逆否命题为真命题
2 2 C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0 ” 2 D.“ x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件。

4.集合 P ? x ? Z | y ? 1 ? x2 , Q ? ? y ? R | y ? 2cos x, x ? R? ,则 P ? Q ? ( A.[-1,1] B. {0,1} C. {?1,1}

?

?



D. {?1, 0,1} )

5.已知 a ? (?1, 2), b ? (m2 ? 2, 2m) ,若 a与b 共线且方向相反,则 m 的值为( A. 1 或 ?2 B. 2
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?

?

? ?

C. ?2
理科数学试题

D. ?1 或 2

第 1 页/共 9 页

6.下列函数中,在其定义域内是减函数的是( A. f ( x) ? 7.

) C. f ( x) ? sin x ? x D. f ( x) ?

1 x

| x| B. f ( x ) ? ( )

1 3

ln x x

下列命题中正确的是(



A. 函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?是奇函数 B. 函数 y ? 2 sin( C. 函数 y ? 2sin(

?

? ? ?? ? 2 x) 在区间 ? ? , ? 上单调递减 6 ? 6 3?
? 2 x) ? cos(

?
3

?
6

? 2 x)( x ? R) 的一条对称轴方程是 x ?

?
6

D. 函数 y ? sin ?x ? cos?x 的最小正周期为 2,且它的最大值为 1. 8. m, n 是空间两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下面有四个命题: ① m ? ? , n // ? , ? // ? ? m ? n ③ m ? n, ? // ? , m // ? ? n ? ? 其中正确命题的个数是( A.1 9. B.2 ) B. e ? 1 C.1 D. e ) C.3 D. 4 ② m ? n, ? // ? , m ? ? ? n // ? ④ m ? ? , m // n, ? // ? ? n ? ?

?

e

1

ln xdx ? (
A.

1 ?1 e

10.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,设其导函数为 f '( x) ,当 x ? (??,0] 时,恒有 xf '( x) ? f (? x) ,令

F ( x) ? xf ( x) ,则满足 F (3) ? F (2 x ?1) 的实数 x 的取值范围是(
A. ? ?1, 2? B. ? ?1, ?

) D. ? ?2,1?

? ?

1? 2?

C. ?

?1 ? ,2? ?2 ?

11.某几何体的三视图如图所示,其中三个图中的四边形均为边长为 1 的正方形,则此几何体的表面积可以 是( )

正视图 A.3 B.6

侧视图

俯视图 C. 3 ? 3 D .2 3

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理科数学试题

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12. 已知函数 f ( x) ? ?

?kx ? 1, x ? 0, 则下列关于函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数的判断正确的是 ? ln x, x ? 0 .

A. 当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点 B. 当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 C. 无论 k 为何值,均有 2 个零点 D. 无论 k 为何值,均有 4 个零点

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知 sin ? ? cos ? ?

4 ? (0 ? ? ? ) ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3 4



10 ? 2 , ??4 x ? 14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?[?1,1) 时, f ( x) ? ? 9 ? , ?log3 x
则 f ( f ( )) ?

?1 ? x ? 0 0<x ? 1



3 2

.

b 是两个互相垂直的单位向量,且 c ? a ? c ? b ? 1 , 15.已知 a、 ,则对任意正实数 t, c ? ta ? b 的最小值
是 。

??

? ?

? ?

?

? 1? t

16.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? 3, AC ? 2, AA1 ?

2 6 , 3

?BAC ? 600 ,则它的这个外接球的表面积为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,曲线 L 的极坐标方程为: 7 cos ? ?
2

144

?2

? 9 , 以极点为原点,极轴为 x 的非负半轴,

? ?x ? 3 ? ? 取与极坐标系相同的单位长度, 建立平面直角坐标系, 在直角坐标系中, 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 7 ? ? ?
(t 为参数) 。 (1).在直角坐标系中,写出曲线 L 的一个参数方程和直线 l 的普通方程; (2).在曲线 L 上任取一点 P,求点 P 到直线 l 距离的最小值,并求此时点 P 的坐标。

2 t 2 2 t 2

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第 3 页/共 9 页

18.(本小题满分 12 分) 设向量 m ? (sin ? x,cos ? x), n ? (cos ?,sin ?) , ( x ? R,| ? |? y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的一个点)为 P(

??

?

?
2

?? ? , ? ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的图象在

?
6

,1) ,在原点右侧与 x 轴的第一个交点为

Q(

5? , 0) 12
(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 若 f (C ) ? ?1, CA ? CB ? ? 边长 c. 19. (本小题满分 12 分) 如图,底面为平行四边形的四棱柱 ABCD—A'B'C'D' , DD'⊥底面 ABCD , ∠DAB=60° ,AB=2AD,DD'=3AD,E、F 分别是 AB、D'E 的中点。 (1)求证:DF⊥CE; (2)求二面角 A—EF—C 的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) 如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? DC ? CB ? 1 . (1)若 ?A ? 60 ,求 cos C 。
0

??? ? ??? ?

3 ,且 a+b= 2 3 ,求 2

C D

2 2 (2)若△ABD 和△BCD 的面积分别为 S、T,求 S ? T 的取值范围。 A

B

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x
2

A
(a ? R)

A A A

(1)若 f ( x)在x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2) 当x ? [a 2 , a] 时,求函数 y ? f ( x) 的最大值。 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax)(a ? R), g ( x) ? f ?( x) 。

(1)若曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,求实数 a 的值。 (2)若函数 F ( x) ? g ( x) ?

1 2 x 2

?若函数 F ( x) 有两个极值点,求 a 的取值范围 ?将函数 F ( x) 的两个极值点记为 s 、 t ,且 s ? t ,求证: ?1 ? f (s)
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广东省五校协作体 2016 届高三第一次联考

理科数学参考答案及评分细则
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)1——5 BDDDC 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、 ? 6——10 CBBCA 11——12 DA

2 3

14、 ?2

15、 2 2

16、 12?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (本小题满分 10 分) 解: (1)方程 7 cos ? ?
2

144

?

2

? 9 可化为

7? 2 cos2 ? ? 144 ? 9? 2 ————————1 分

所以,曲线 L 的直角坐标方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ————————————————2 分 9 16

曲线 L 的一个参数方程为 ?

? x ? 3cos ? ? y ? 4sin ?

(? 为参数)————————-----————3 分

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 10 ? 0 ——————————————————————4 分

(2)由(1)知曲线 L 的一个参数方程为 ?

? x ? 3cos ? ? y ? 4sin ?

(? 为参数)

所以,曲线 L 上的点到直线 l 距离 d=

| 3cos ? ? 4sin ? ? 10 | 2

——————————6 分

?

10 ? 5sin(? ? ? ) 2

3 4 (sin ? ? , cos ? ? ) ——————————————————7 分 5 5
5 2 ————————8 分 2

当 sin(? ? ? ) ? 1 时曲线 L 上的点到直线 l 距离最小,最小值为 此时 P 点直角坐标为 ( , 18、 (本小题满分 12 分)

9 16 ) ————————————————————————10 分 5 5

解: f ( x) ? m ? n = sin ? x cos ? ? cos ? x sin ? ? sin(? x ? ? ) ——————————2 分 由题意,得 将点 P(

?? ?

?
6

T 5? ? ? ? 4 12 6

? T=?

?? =2
得 sin(2 ?

————————————————3 分

,1) 代入 y ? sin(2 x ? ? ) 6 ? 2 k? , ( k ? Z )

?
6

? ?) ? 1

所以 ? ?

?

,又因为 | ? |?

?
2

,?? ?

?
6

————————————5 分

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即函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2)由 f (C ) ? ?1 ,即 sin(2C ?

?
6

) ( x ? R) ——————————————6 分 2? ——————8 分 3

?

6 ??? ? ??? ? 3 3 由 CA ? CB ? ? ,知 ab cos C ? ? ,? ab ? 3 ————————————————10 分 2 2
由余弦定理知 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? 2ab cos C
2 = (2 3) ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 9

) ? ?1 又? 0 ? C ? ? ,? C ?

1 2

? c ? 3 或 c ? ?3 (舍去) ,故 c ? 3 ————————————————————12 分
19. (本小题满分 12 分) 解:(1) AD ? AE, ?DAE ? 60? ?△DAE 为等边三角形,设 AD ? 1 ,则

DE ? 1, CE ? 3, CD ? 2,??DEC ? 90? , 即 CE ? DE . ————————————3 分
? DD ? ? 底面 ABCD , CE ? 平面 ABCD , ? CE ? DD' .
? ' ? ? CE ? 平面DD E ? ' CE ? DD ? CE ? DF . ——————————————6 分 ?? ' ? DF ? 平面 DD E ? ? ? DE ? DD ' ? D ? 1 ? (2)取 AE 中点 H ,则 AD ? AE ? AB ,又 ?DAE ? 60 ,所以△ DAE 为等边三角形. 2
则 DH ? AB , DH ? CD . 以 D 点为原点,分别以 DH、DC、DD ' 所在直线为 x、y、z 轴建立空 间直角坐标系, 设 AD ? 1 则

CE ? DE

D(0, 0, 0), E (

3 1 3 1 3 1 3 , , 0), A( , ? , 0), D '(0, 0,3), F ( , , ), C(0, 2, 0) , 2 2 2 2 4 4 2

??? ? ? ??? ? 3 1 3 ??? 3 3 EF ? (? , ? , ), AE ? (0,1, 0), CE ? ( , ? , 0) 4 4 2 2 2
设平面 AEF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,

??

? 3 1 3 x? y? z ?0 ?? 则? 4 4 2 ?y ? 0 ?

取 n1 ? (2 3,0,1) .

??

——————————————8 分

平面 CEF 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,

?? ?

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第 6 页/共 9 页

? 3 1 3 x ? y ? z ? 0 ?? ?? ? ? 4 4 2 则? 取 n2 ? (3 3,3,2) . ? 3 x? 3 y ?0 ? ? 2 2

——————————————10 分

cos? ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

20 13 ? 40

?

130 . 13

依题意可判断二面角 A ? EF ? C 的平面角为钝角, 所以二面角 A ? EF ? C 的余弦值为 ? 20、 (本小题满分 12 分) (1)在△ABD 中由余弦定理得

130 . 13

——————————————————12 分

C D

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos600 ? 4 ? 3
在△BCD 中由余弦定理得

BD2 ? BC 2 ? DC 2 ? 2BC ? DC cos C ? 2 ? 2cos C

A

B

A
? cos C ? 3 ? 1 ———————————————————————————3 分 A 2

(2)在△ABD 中由余弦定理得

BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ? 4 ? 2 3 cos A
2 2 2

A A

在△BCD 中由余弦定理得

BD2 ? BC 2 ? DC 2 ? 2BC ? DC cos C ? 2 ? 2cos C

?cos C ? 3 cos A ?1 —————————————————————————5 分
两边平方整理得: sin C ? ?3cos A ? 2 3 cos A —————————————6 分
2 2

1 ?1 ? ?1 ? 3 S 2 ? T 2 ? ? AB ? AD sin A ? ? ? CB ? CD sin C ? ? sin 2 A ? sin 2 C 4 ?2 ? ?2 ? 4
? 3 2 1 sin A ? (?3cos 2 A ? 2 3 cos A) 4 4

2

2

3 3 3 3 3 2 7 ? ? cos 2 A ? cos A ? ? ? (cos A ? ) ? —————————8 分 2 2 4 2 6 8
依题意知: 0 ? A ?

?
2且

A?

?
6

————————————————————————10 分

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?0 ? c o A s ?且 1 cosA ?

3 2

所以 S 2 ? T 2 的取值范围为 ( 21、 (本小题满分 12 分)

2 3 ?3 3 3 7 , ) ? ( , ] —————————————————12 分 4 8 8 8

(1)因为函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x ,所以函数的定义域为 (0, ??) 所以 f ?( x) ?

1 ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ————————————————2 分 x x

因为 f ( x)在x ? 1 处取得极值,即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)(a ? 1) ? 0, 所以 a ? ?1 ——————3 分

1 2 符合题意。所以 a ? ?1 ————————————————————————————5 分
2 (2)因为 a ? a ,所以 0 ? a ? 1 ———————————————————————7 分

当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x)在x ? 1 处取得极小值,

1 ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? 因为 x ? (0, ??) ,所以 ax ? 1 ? 0 x x 1 1 所以, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减。————————————8 分 2 2 1 1 当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 [a 2 , a] 上单调递增 ○ 2 f ?( x) ?
所以, f ( x)max ? f (a) ? ln a ? a3 ? a2 ? 2a ; ——————————————————9 分 2 当 ?a? ○ 2

1

1 2 2 1 时, f ( x ) 在 ( a , ) 上单调递增,在 ( , a ) 上单调递减 2 2 2 1 2 a a?2 a ? ? ? 1 ? ln 2 ;————————————10 分 4 2 4

所以, f ( x) max ? f ( ) ? ? ln 2 ? 3 当 ○

2 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a 2 , a] 上单调递减 2

所以, f ( x)max ? f (a2 ) ? 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a2 ; ————————————————11 分 综上所述,当 0 ? a ?

1 1 2 3 2 2 时, f ( x ) 在 [a , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ;当 ? a ? 时 2 2 2

f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是

a 2 ? 1 ? ln 2 ;当 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 4 2

2ln a ? a5 ? a3 ? 2a 2 ————————————————————————————12 分
22、 (本小题满分 12 分) (1) f ?( x) ? ln x ? ax ? x( ? a ) ? ln x ? 2ax ? 1 ——————————————1 分
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1 x

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f ?(1) ? 1 ? 2a ,因为直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 3,所以1 ? 2a =3,解得 a ? ?1 ——2 分
经检验 a ? ?1 时曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, 所以 a ? ?1 ——————————————————————————————3 分 (2)因为 F ( x) ? g ( x) ? 所以, F ?( x) ?

1 2 1 x ? ln x ? 2ax ? 1 ? x 2 2 2

1 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a ? x ? ——————————————————4 分 x x

1 函数 F ( x) 有两个极值点 s、t,s<t 即 h( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 首先要存在两个相异 ○ 零点 s、t, 由
2 h( x)? x ? 2ax ? 1的系数可知

st ? 1 ? 0

? ? ? 4a 2 ? 4 ? 0 所以, ? ? s ? t ? 2a ? 0

所以 a ? 1

当 0 ? x ? s 或 x ? t 时, F ?( x) ? 0 ,当 s ? x ? t 时 F ?( x) ? 0 所以 F ( x) 有两个极值点 s、t 所以,若函数 F ( x) 有两个极值点 a 的取值范围为 (1, ??) ———————————6 分 2 由前所述,易知 s ? a ? ○

a2 ?1 ?

1 a ? a2 ?1

(a >1) 所以 s ? (0,1) —————7 分

2 又 s ? 2as ? 1 ? 0 ? as ?

s2 ? 1 2 s2 ? 1 ) 2 ——————————————————————8 分

f ( s) ? s(ln s ? as) ? s(ln s ?

要证-1<f(s)只要证 s (ln s ?

s2 ? 1 s2 1 1 ) ? ?1 即证 ln s ? ? ? ? 0 2 2 2 s ——————————10 分

设函数 g ( s) ? ln s ?

s2 1 1 1 1 ?s3 ? s ? 1 0 ? s ? 1时 ? ? , 0 ? s ? 1, g ?( s) ? ? s ? 2 ? 当 2 2 s s s s2 s2 1 1 ? ? 在区间(0,1) 上是减函数, 2 2 s

所以, g ( s ) ? ln s ? g ?(s) ? 0,

所以 g (s) ? g (1) ? 0 ,即 ln s ?

s2 1 1 ? ? ?0 2 2 s



得证。—————12 分

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