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高中数学 第三章 推理与证明 例谈综合法在解题中的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2

例谈综合法在解题中的应用
综合法是一种常用的解题思考方法,它是一种从已知到未知的逻辑推理方法。具体说, 就是从题设中的已知条件或已证的命题出发, 经过一系列的逻辑推理, 最后推出所要求证的 结论成立。在中学数学中,综合法在不等式、几何、三角、解析等证明中有着广泛的应用。 举例说明。 例 1.已知 a, b, m, n ? R ,求证: a
m? n

? b m? n ? a m b n ? a n b m 。
m? n

.证明: (a m?n ? b m?n ) ? (a mb n ? a n b m ) ? a

? a m b n ? b m? n ? a n b m

? (a m ? b m )(a n ? b n )
m m n n 因为 a ? b 与a ? b 同号,且 a ? b 时二式都为 0 ,

? a m? n ? b m? n ? a m b n ? a n b m 。

sin ? 。 1 ? cos ? sin ? sin ? ? 4 sin ? cos ? ? 证明: 2 sin 2? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
例 2 已知 ? ? (0, ? ] ,求证: 2 sin 2? ?

?

sin ? (4 cos? ? 4 cos2 ? ? 1) 1 ? cos? ? sin ? (2 cos? ? 1) 2 , 1 ? cos?

?

因为 ? ? (0, ? ] ,

?sin ? ? 0,1 ? cos? ? 0, (2 cos? ? 1) 2 ? 0 ,
sin ? ? 0, 1 ? cos ? sin ? 。 ? 2 sin 2? ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2? ?

例 3 设 ABCD 是空间四边形, AB ? AD, CB ? CD ,求证: AC ? BD 。 证明:设 BD 的中点为 E ,连结 AE, CE 。 A 因为 AB ? AD , B E

D C

? AE ? BD ,
同理 CE ? BD , 又 AE ? CE ? E ,

? BD ? 平面AEC ,
又 AC ? 平面AEC

? BD ? AC 。

例 4 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为
2

3 ? 的直线,交抛物线于 A, B 两 4

点。求证: | AB |? 4 p 。 证明:由题意可知,焦点为 (

p 3 ,0) ,直线的斜率为 tan ? ? ?1 ,直线方程为 4 2

y ? 0 ? ?1 ? ( x ?
即y?

p ), 2

p ?x。 2

p ? ?y ? ? x 联立 ? ,消 y 得: 2 ? y 2 ? 2 px ?
x 2 ? 3 px ? p2 ?0 4

p2 ? x1 ? x2 ? 3 p, x1 x 2 ? , 4

? y1 ? y2 ? p ? ( x1 ? x2 ) ? p ? 3 p ? ?2 p,
y1 y 2 ? ( p p p2 p ? x1 )( ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 2 2 4 2

=

p2 3p2 p2 ? ? ? ? p2 。 4 2 4

| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2
2 2 2 2 = (3 p ) ? p ? 4 p ? 4 p ? 4 p 。

由以上几例可知,在应用综合法证题时,论断过程的语气是肯定的,并且每一步的推理

都必须是正确的。尤其是应用综合法证明不等式、三角等问题时,往往从已知的一些公式、 等式出发进行推理。但对几何问题的证明,通常先用分析法探明解题途径,然后用综合法表 达证明过程,当用分析法探路的过程,一般就不用书写了。


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