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2018年高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5_图文

第二章 几个重要的不等式 §1 柯西不等式 1.2 一般形式的柯西不等式 学习目标 重点难点 1. 熟悉一般形式的柯西不等 1. 重点是利用柯西不等式解 式 , 理 解 柯 西 不 等 式 的 证 决函数的最值、不等式证明 明. 数的最值、不等式等问题. 问题. 时,拼凑出适合的结构. 2 .会用柯西不等式解决函 2 .难点是利用柯西不等式 阅读教材P29~P30“一般形式的柯西不等式”的有关内容, 完成下列问题: 1.一般形式的柯西不等式 定理2:设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数,则 2 2 2 2 2 2 2 ( a + a +…+ a )( b + b +…+ b ) ≥ ( a b + a b +…+ a b ) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 有 ___________________________________________________ , 共线 时等号 当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)________ 成立. 类比二维形式的柯西不等式的向量式,你能写出一般形式 的柯西不等式的向量式吗? 提示:设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn), 则|α||β|≥|α·β|,当且仅当向量α,β共线时等号成立. 2.三维形式的柯西不等式 定理2 的推论:设 a1 , a2 ,a3 与b1 , b2 , b3 是两组实数,则 2 2 2 2 2 2 2 ( a + a + a )( b + b + b ) ≥ ( a b + a b + a b ) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 有________________________________________________ , 共线 当向量 (a1 , a2 , a3) 与向量 (b1 , b2 , b3)____________ 时等 号成立. 设 a,b,c,x,y,z 都是正数,且 a2+b2+c2=25,x2+y2 a+b+c +z =36,ax+by+cz=30,则 =____________. x+y+z 2 解析: 由柯西不等式,知 25×36 = (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36, a b c 当且仅当x =y =z =k 时取等号. 5 由 k (x +y +z ) =25×36,解得 k=6. 2 2 2 2 2 a+b+c 5 所以 =k=6. x+y+z 5 答案:6 利用柯西不等式证明不等式 a2 b2 c2 设 a,b,c 为正数,求证: b + c + a ≥a+b+c. 明:由柯西不等式,得 ?? a ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ? b ?2 ? c ?2? 2 2 2 + + [( b ) + ( c ) + ( a ) ] ?? b? ? c? ? a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? a ? b c ? 2 ≥? · b+ · c+ · a? ? . b c a ? ? ?a2 b2 c2? 于是? b + c + a ?(a+b+c)≥(a+b+c)2, ? ? a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. [互动探究]结合本例的证明过程和结果,求证: 对实数 a1,a2,…,an,和正实数 b1,b2,…,bn,有 2 2 2 ? a + a +…+ a ? a2 a a 1 2 n 1 2 n + +…+ ≥ . bn b1 b2 b1+b2+…+bn 2? ?a2 a2 an 1 2 证明:?b +b +…+b ?(b1+b2+…+bn) ? 1 n? 2 ? a1 ? a2 an ? 2 · b2+…+ · bn ? ≥? · b1+ ? bn b2 ? b1 ? =(a1+a2+…+an)2. ∵b1,b2,…,bn 为正实数,∴b1+b2+…+bn>0. 2 2 2 ? a + a + … + a ? a2 a a 1 2 n 1 2 n ∴b +b +…+b ≥ . b + b + … + b n 1 2 1 2 n 【点评】 利用柯西不等式证明不等式的关键是根据待证 不等式的结构特征,对其进行代数式的恒等变形,通过 “ 拆 分”“拼”“合”等构造两组实数,使其满足柯西不等式的结 构后证明之. 1.(1)已知 a,b,c,d 为正数,且 a+b+c+d=1. 1 求证:a +b +c +d ≥4. 2 2 2 2 1 1 1 (2)设 x1,x2,…,xn 是正数,求证:x +x +…+x ≥ n 1 2 n2 . x1+x2+…+xn 证明:(1)由柯西不等式,得 4(a2+b2+c2+d2)=(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥ (a+b+c+d)2. ∵a+b+c+d=1, ∴4(a2+b2+c2+d2)≥1,即 1 a +b +c +d ≥4. 2 2 2 2 (2)∵x1,x2,…,xn 是正数, ?1 1 1? ∴(x1+x2+…+xn)?x +x +…+x ?=[( ? 1 n? 2 x1 ) 2 + ( x2 ) 2 + … + ( xn) ] ? ? ? ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ?2 ? 1 ?2 ? ?2 ? + + … + ≥ ? ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? ? xn ? ? 1 1 1 ? 2 2 x1· + x2· +…+ xn· ? = n . xn ? x1 x2 ? 1 1 1 n2 ∴x +x +…+x ≥ . x1+x2+…+xn n 1 2 利用柯西不等式求最值 (1)设 2x+3y+5z=29, 求函数 u= 2x+1+ 3y+4 + 5z+6 的最大值. 1 1 (2)已知正数 x, y