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高中数学必修5常考题型:一元二次不等式及其解法


一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式, 即形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个 一元二次不等式的解集. 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式 Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax2+ bx+c=0(a>0)的根 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 Δ>0 有两相异实根 x1,x2,(x1 <x2) Δ=0 有两相等实根 x1=x2 b =- 2a 没有实数根 Δ<0

{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

b? ? ?x|x≠- ? 2a? ? ?

R

?

【常考题型】 题型一、一元二次不等式的解法
【例 1】 解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5≤0; 81 (3)-4x2+18x- ≥0; 4 1 (4)- x2+3x-5>0; 2 (5)-2x2+3x-2<0. [解] (1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程 2x2+7x+3=0 有两个不等实根 x1=-3,

1 1 x2=- .又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>- ,或 x< 2 2

-3}. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 9?2 9? ? ? ? (3)原不等式可化为? ?2x-2? ≤0,所以原不等式的解集为 x|x=4 .
? ?

(4)原不等式可化为 x -6x+10<0, Δ=(-6) -40=-4<0, 所以方程 x2-6x+10=0 无实 根,又二次函数 y=x2-6x+10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为 2x2-3x+2>0,因为 Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程 2x2-3x+2 =0 无实根,又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 R. 【类题通法】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集. 【对点训练】 1.解下列不等式: (1)x2-5x-6>0;(2)-x2+7x>6. (3)(2-x)(x+3)<0;(4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解:(1)方程 x2-5x-6=0 的两根为 x1=-1, x2=6. 结合二次函数 y=x2-5x-6 的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>6}. (2)原不等式可化为 x2-7x+6<0. 解方程 x2-7x+6=0 得,x1=1,x2=6. 结合二次函数 y=x2-7x+6 的图象知,原不等式的解集为 {x|1<x<6}. (3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0 两根为 2 和-3. 结合二次函数 y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3 或 x>2}. (4)由原不等式得 8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于 9x2-12x+4>0. 2 解方程 9x2-12x+4=0,得 x1=x2= . 3

2

2

2 结合二次函数 y=9x2-12x+4 的图象知,原不等式的解集为{x|x≠ }. 3

题型二、解含参数的一元二次不等式
【例 2】 解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0. [解] 方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口 向上,则当 a<-1 时,原不等式解集为{x|a<x<-1}; 当 a=-1 时,原不等式解集为?; 当 a>-1 时,原不等式解集为{x|-1<x<a}. 【类题通法】 解含参数的一元二次不等式时: (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式 Δ 进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. 【对点训练】 2.解关于 x 的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R). 解:原不等式可化为: (ax+1)(x-1)<0, 当 a=0 时,x<1, 1? 当 a>0 时? ?x+a?(x-1)<0 1 ∴- <x<1. a 当 a=-1 时,x≠1, 1? 当-1<a<0 时,? ?x+a?(x-1)>0, 1 ∴x>- 或 x<1. a 1 当 a<-1 时,- <1, a 1 ∴x>1 或 x<- , a 综上原不等式的解集是: 当 a=0 时,{x|x<1}; 1 ? ? 当 a>0 时,?x|-a<x<1?;
? ?

当 a=-1 时,{x|x≠1}; 当-1<a<0 时, 1? ? ?x|x<1或x>- ?. a? ? 1 ? ? 当 a<-1 时,?x|x<-a或x>1?,
? ?

题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系
【例 3】 已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2}, 求关于 x 的不等式 bx2 +ax+1>0 的解集. [解] ∵x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2}, ∴1,2 是 x2+ax+b=0 的两根.
? ?-a=1+2, 由韦达定理有? ?b=1×2, ? ?a=-3, ? 得? ? ?b=2,

代入所求不等式,得 2x2-3x+1>0. 1 由 2x2-3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x< 或 x>1. 2 1? ∴bx2+ax+1>0 的解集为? ?-∞,2?∪(1,+∞). 【类题通法】 1. 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 根,也是函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分,是由不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的 值构成的;图象在 x 轴下方的部分,是由不等式 ax2+bx+c<0 的 x 的值构成的,三者之间相 互依存、相互转化. 【对点训练】 1 3.已知方程 ax2+bx+2=0 的两根为- 和 2. 2 (1)求 a、b 的值; (2)解不等式 ax2+bx-1>0. 1 解:(1)∵方程 ax2+bx+2=0 的两根为- 和 2, 2

?-2+2=-a, 由根与系数的关系,得? 1 2 ?-2×2=a.
解得 a=-2,b=3. (2)由(1)知,ax2+bx-1>0 可变为-2x2+3x-1>0, 1 即 2x2-3x+1<0,解得 <x<1. 2 1 ∴不等式 ax2+bx-1>0 的解集为{x| <x<1}. 2

1

b

【练习反馈】
1.不等式 x(2-x)>0 的解集为( A.{x|x>0} C.{x|x>2 或 x<0} ) B.{x|x<2} D.{x|0<x<2}

解析:选 D 原不等式化为 x(x-2)<0,故 0<x<2. 2.已知集合 M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0}, 则 M∩N 为( )

A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3} 解析:选 A ∵M={x|x2-3x-28≤0} ={x|-4≤x≤7}, N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2 或 x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}. 3.二次函数 y=x2-4x+3 在 y<0 时 x 的取值范围是________. 解析:由 y<0 得 x2-4x+3<0, ∴1<x<3 答案:(1,3) 1 ? ? 4. 若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为?x|-2<x<2?, 则实数 a=________, 实数 b=________.
? ?

1 解析:由题意可知- ,2 是方程 ax2+bx+2=0 的两个根. 2

?-2+2=-a, 由根与系数的关系得? 1 2 ?-2×2=a,
解得 a=-2,b=3. 答案:-2 3 5.解下列不等式: (1)x(7-x)≥12; (2)x2>2(x-1). 解:(1)原不等式可化为 x2-7x+12≤0,因为方程 x2-7x+12=0 的两根为 x1=3,x2=4, 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}. (2)原不等式可以化为 x2-2x+2>0, 因为判别式 Δ=4-8=-4<0,方程 x2-2x+2=0 无实根,而抛物线 y=x2-2x+2 的图象 开口向上, 所以原不等式的解集为 R.

1

b


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