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2012--2013高考数学应试训练(三)--三角函数

2012--2013 年阜阳淮上陌客高考数学应试训练(三)

---解答题专项(2012.12.16)
三、解答题: 16. (安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测理科) (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,若
(1)求角 A ;

a?c sin B ? . b ? c sin A ? sin C

(2)若 f ( x) ? cos2 ( x ? A) ? sin 2 ( x ? A) ,求 f ( x) 的单调递增区间.

a?c sin B a?c b ? ? ,得 , b ? c sin A ? sin C b?c a?c ? 1 2 2 2 即 a ? b ? c ? bc ,由余弦定理,得 cos A ? ,∴ A ? ; 3 2
16. 【解析】(1)由
2 2 (2) f ( x) ? cos ( x ? A) ? sin ( x ? A) ? cos ( x ?
2

????6 分

?

) ? sin 2 ( x ? ) 3 3

?

2? 2? ) 1 ? cos(2 x ? ) 3 ? 3 ? ? 1 cos 2 x ????9 分 ? 2 2 2 ? 由 2k? 剟2 x 2k? ? ? (k ? Z ) ,得 k? 剟x k? ? (k ? Z ) , 2 ? 故 f ( x) 的单调递增区间为 [ k? , k? ? ] , k ? Z . ???12 分 2 1 ? cos(2 x ?
16. (安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测文科) (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,若
(1)求角 A ;

a?c sin B ? . b ? c sin A ? sin C

2 2 (2)若 f ( x) ? cos ( x ? A) ? sin ( x ? A) ,求 f ( x) 的单调递增区间.

a?c sin B a?c b ? ? ,得 , b ? c sin A ? sin C b?c a?c ? 1 2 2 2 即 a ? b ? c ? bc ,由余弦定理,得 cos A ? ,∴ A ? ; 3 2
16. 【解析】(1)由
2 2 (2) f ( x) ? cos ( x ? A) ? sin ( x ? A) ? cos ( x ?
2

????6 分

?

) ? sin 2 ( x ? ) 3 3

?

2? 2? ) 1 ? cos(2 x ? ) 3 ? 3 ? ? 1 cos 2 x ????9 分 ? 2 2 2 ? 由 2k? 剟2 x 2k? ? ? (k ? Z ) , k? 剟x k? ? (k ? Z ) , f ( x) 的单调递增区间为 得 故 2 ? [ k? , k? ? ] , k ? Z . ????12 分 2 1 ? cos(2 x ?
16.(安 徽 省 2 0 1 1 年 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考 理 科 ) (本小题满分 12 分)

第 1 页 共 1 页

a ? 在△ABC 中, 内角 A, C 所对边长分别为 a , b, c ,AB ? AC ? 8 , BAC ? ? , ? 4 . B,
(Ⅰ)求 b ? c 的最大值及 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2 3 sin (
2

?

4

? ? ) ? 2 cos 2 ? ? 3 的最值.

16.解(Ⅰ) bc ? cos ? ? 8 即 b2 ? c 2 ? 32 又 b 2 ? c 2 ? 2bc 即

2 b2 ? c 2 ?2 b c o? ? 4 c s

????????2 分 所以 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16 ??????4 分 所以 0< ? ?

8 ? 16 cos ?

所以 cos ? ?

(Ⅱ) f (? ) ? 3 ? [1 ? cos(

?
2

1 , 又 0< ? < ? 2

? ??6 分 3

? 2? )] ? 1 ? cos 2? ? 3 ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 1
?????????????9 分

? 2 sin(2? ?
因 0< ? ? 当 2? ?
科§网]

?
6

) ?1

?
6

当 2? ?

?
6

? 5? ? ? ,所以 < 2? ? ? , 6 6 3 6 5? ? ? 即 ? ? 时, f (? ) min 6 3 ? ? ? 即 ? ? 时, f (? )max 2 6

1 ? ? sin(2? ? ) ? 1 ???10 分 2 6 1 ? 2? ?1 ? 2 ?????11 分 2

学§

? 2 ?1 ? 1 ? 3

?????12 分

16.(安 徽 省 2 0 1 1 年 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考 文 科 ) (本小题满分 12 分)

a ? 在△ABC 中, 内角 A, C 所对边长分别为 a , b, c ,AB ? AC ? 8 , BAC ? ? , ? 4 . B,
(Ⅰ)求 b ? c 的最大值及 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2 3 sin (
2

?

4 2 bc ? cos ? ? 8 b2 ? c2 ?2 b c o? ? 4 c s 16.解(Ⅰ) 2 2 即 b ? c ? 32 ????????2 分 2 2 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16??????4 分 又 b ? c ? 2bc ,所以 8 1 ? ? 16 所以 cos ? ? , 又 0< ? < ? 所以 0< ? ? 即 ??6 分 cos ? 2 3
(Ⅱ) f (? ) ? 3 ? [1 ? cos(

? ? ) ? 2 cos 2 ? ? 3 的最值.

?
2

? 2? )] ? 1 ? cos 2? ? 3 ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 1
?????????????????9 分

? 2 sin(2? ?
因 0< ? ?

?
6

) ?1

? 5? 1 ? ? ? ,所以 < 2? ? ? , ? sin(2? ? ) ? 1 ???10 分 6 6 2 6 3 6 ? 5? 1 ? 当 2? ? ? 即 ? ? 时, f (? ) min ? 2 ? ? 1 ? 2 ?????11 分 2 6 6 3 ? ? ? 当 2? ? ? 即 ? ? 时, f (? )max ? 2 ?1 ? 1 ? 3 ?????12 分 6 2 6
16. (安徽省安庆市 2011 年高三第二次模拟考试理科)(本小题满分 12 分)
第 2 页 共 2 页

在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m =(1-sinA,

12 ), 7

n =(cos2A,sin2A),且 m ∥ n 。
(1)求 sinA 的值; (2)若 b=2,ΔABC 的面积 3 为,求 a。 16.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ m ∥ n

?

12 c o s A ? (1 ? s i n ) ? 2 s i n , ………2 分 2 A A 7

? 6(1 ? 2 sin 2 A) ? 7 sin A(1 ? sin A) ? 5 sin 2 A ? 7 sin A ? 6 ? 0 ………4 分
? sin A ? 3 (sin A ? ?2 舍去). ………6 分 5

(Ⅱ)由 S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3, b ? 2 ,得 c ? 5 2
2

………7 分

又 cos A ? ? 1 ? sin A ? ?

4 5

………8 分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 cos A ? 29 ? 20cos A
当 cos A ?

4 2 时, a ? 13 ? a ? 13 ; ………10 分 5 4 2 时, a ? 45 ? a ? 3 5. ………12 分 5

当 cos A ? ?

16、(安徽省 2011 年 2 月皖北高三大联考理科)(本小题满分 12 分) 已知向量 a =(1+ sin 2x ,sin x - cos x ) b =(1,sin x ? cos x ) , ,函数 f ( x) = a ? b . (1) 求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值;

?

?

?

?

? 8 ,求 cos 2( ? 2? ) 的值. 4 5 3 16.(1) x ? k? ? ? ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 . 8 16 (2) . 25
(2) 若 f (? ) =

三、解答题: (16) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考理科) (本小题满分 12 分) 设函数, (I)求函数 的单调递减区间; 的三边,且 .若, ,求 B 的值. ,(w 为常数,且 m >0),已知 函数 f(x)的最大值为 2.

(II)已知 a,b,c 是

第 3 页 共 3 页

(16) (安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科) (本小题满分 12 分 己知函数 (I )若, (II)求函数 又∵ f ( x) ? 2 f (? x) , . ,求 的值; 的最大值和单调递增区间. ∴ f (? x) ? cos x ? sin x .┄┄┄┄┄1 分

(16)解析: (Ⅰ)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,

1 .┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 3 6 1 ? tan x cos 2 x ? sin x cos x cos 2 x ? sin x cos x ? ;┄┄┄┄┄┄6 分 ? ? ∴ 2 2 2 2 2 tan x ? 1 11 1 ? sin x 2sin x ? cos x 2 2 (Ⅱ)由题知 F ( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2sin x cos x
∴ sin x ? cos x ? 2 ? cos x ? sin x ? 且 cos x ? 0 ? tan x ?

?? ? ? F ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? F ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 .┄┄┄┄┄┄┄10 分 4? ? ?? ? ∴当 sin ? 2 x ? ? ? 1 时, F ( x)max ? 2 ?1 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 4? ?
第 4 页 共 4 页



?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k?





















? ? 3? ? ? ? 8 ? k? , 8 ? k? ? (k ? Z ) .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 ? ?
分 16. (安徽省合肥一中 2012 届高三下学期第二次质量检测文科) 12 分) ( 设函数 f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和在 ? 0, ? ? 上的单调递增区间; (2) ?ABC 中, A, B, C 角 所 对 的 边 为 围
2 a, b, c , 且 a 2 ? b?

?c 2

a 求 , b

f (C ) 的 取 值 范



16. (安徽省合肥一中 2012 届高三下 学期第二次质量检测理科) 12 分) ( 设函数 f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和在 ? 0, ? ? 上的单调递增区间; (2) ?ABC 中, A, B, C 角 所 对 的 边 为 a , b, c , 且 a ? b ?
2 2 2 c?

a, 求 f (C ) 的 取 值 范 围 . 解 : b

(1) ? f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?
2

?
6

) ? 1,

? ? ?

? ? 2



?函数 f ( x)的最小正周期 T ?

2? ?? 2

??????4 分

在[ 0,π ]上单调递增区间为 [0,
2 2 2 (2) a ? b ? c ? ab , cos C ?

?

6

], [

2? ,? ]. 3

??????6 分

1 2

?????????8 分

第 5 页 共 5 页

?0 ? C ?

?
3

???????????9 分

由f (C ) ? 2sin(2C ? ) ? 1, 6 当C ?

?

?

6

时,f (C ) max ? 3 ?10 分

当 C=

? 时, f (C )min ? 2 ?????11 分 3

? f (C ) ? [2,3]

?????????12 分

16、 (安徽省安庆市 2012 年 3 月 高三第二次模拟文科) (本题满分 12 分) 在△ABC 中, cos A ? ?

7 3 , cos B ? 。 25 5

(I)求 sinC 的值; (II)设 BC=5,求△A BC 的面积。

(16) (安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测文科) (本小题满分 12 分)在 ?ABC
1 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 cos A ? . 3

第 6 页 共 6 页

(Ⅰ)求 sin 2

B?C (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值. ? cos 2 A 的值; 2

【命题意图】.本题考查三角函数恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形以及综合 运算求 解能力.中等题. (16)(安徽省马鞍山市 2012 年 4 月高三第二次质量检测理科)(本题满分 12 分) 已知在 锐角△ABC 中 ,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c ,向量 m ? ( a2 ? b2 ? c2 , ab) ,
?? ? ? n ? (sin C, ? cos C ) ,且 m ? n .

??

(Ⅰ)求角 C 的大 小; (Ⅱ)当 c ? 1 时,求 a 2 ? b 2 的取值范围.

∵△ABC 是锐角三角形,由 0? ? A ? 90? 及 0? ? B ? 150?? A ? 90? ,得:

第 7 页 共 7 页

60? ? A ? 90? ?120? ? 2A ? 180? ,从而 60? ? 2A ? 60 ? 120?
3 ? sin(2 A ? 60?) ? 1 ? 3 ? 2 3 sin(2 A ? 60?) ? 2 3 2
7 ? a 2 ? b 2 ? 4 ? 2 3 ?????????????????12 分

注: (Ⅱ)用基本不等式求得 a 2 ? b 2 ? 4 ? 2 3 可给 3 分 ( 本 题 易 漏 掉 0? ? B ? 150?? A ? 90? , 导 致 ?
1 ? a 2 ? b2 ? 4 ? 2 3 )

3 ?s i n A 2 ? ( 2

6 0 ?) 得 ? 而 1

16、 (安徽省皖南八校 2012 届高三第二次联考理科) (本题满分 12 分)已知△ABC 的三个内 角 A、B、C 的对边分别为 a , b, c ,满足 a ? c ? 2b , 且 2cos 2 B ? 8cos B ? 5 , (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 2 ,求△ABC 的面积。

法二:∵a+c=2b, ∴ sinA+sinC=2sinB=2sin ∴sinA+sin(

2? -A)= 3, 3 2? 2? ∴sinA+sin cosA-cos sinA= 3. 3 3
化简得

? = 3. 3

3 3 ? sinA+ cosA= 3 ,∴sin(A+ )=1. 2 2 6

∵0<A<π ,∴A+ ∴A=

? ? ,C= ,又∵ a=2 3 3

? ? = . 6 2

∴△ABC 是边长为 2 的等边三角形.

第 8 页 共 8 页

∴△ABC 的面积等于 3 .???????????????????????12 分

16、(安徽省淮南市 2011 届高三第一次模拟考试理科)(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin(?x) ? 2 sin 2

?x
2

( ? ? 0 )的最小正周期为 3? ,

(Ⅰ)当

? ? 3? ? x?? , 时,求函数 f (x ) 的最小值; ?2 4 ? ?

2 (Ⅱ)在 ?ABC ,若 f (C ) ? 1 ,且 2 sin B ? cos B ? cos(A ? C) ,求 sin A 的值。

16. 【 解 析 】

f ( x) ? 3 sin(? x) ? 2 ?

? 2sin(? x ? ) ? 1 6
依题意函数 f (x ) 的最小正周期为 3? ,即

?

1 ? cos(? x) 2

? 3 sin(? x) ? cos(? x) ?1

2?

2 ? x ? ) ?1 3 6 ? 3? ? 2 ? 2? (Ⅰ)由 ? x ? 得 ? x? ? , 2 4 2 3 6 3
所以 f ( x) ? 2 sin( 所以,当 sin( x ?

?

? 3? ,解得 ? ?

2 , 3

2 3

?
6

)?

3 3 ?1 ? 3 ?1 时, f ( x) 最小值 ? 2 ? 2 2

??6 分

第 9 页 共 9 页

(Ⅱ)由 f (C ) ? 2 sin(

2C ? 2C ? ? ) ?1 ? ) ? 1 及 f (C ) ? 1 ,得 sin( 3 6 3 6 ? ? 2 ? 2? 2 ? ? 而 ? C? ? , 所以 C ? ? ,解得 C ? 2 2 3 6 3 3 6 2
在 Rt?ABC 中,? A ? B ?

?

2

, 2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C)

2 cos2 A ? sin A ? sin A ? 0 ,

? sin 2 A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得 sin A ?
5 ?1 2

?1? 5 2
??????12 分

? 0 ? sin A ? 1, ? sin A ?

16、 ( 安 徽 省 淮 南 市 2011 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 ) (本 小题 12 分) 已 知函 数

f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1.
(Ⅰ)已知: x ? ??

? ? ?? ,求函数 f (x ) 单调减区间; , ? 2 3? ?

(Ⅱ)若函数 f (x ) 按向量 a 平移后得到函数 g (x) ,且函数 g ( x) ? 2 cos2 x ,求向量 a 。 16.【解析】(1) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 1 = 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1.

…………………2 分

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

? 当 k ? ?1 时,? ?
又? x ? ??

5? ? ?x?? ; 6 3

3? ? 2? ,? k? ? ? x ? k? ? , 2 6 3
当 k ? 0 时,?

?

6

?x?

2? , 3

? ? ? ? ? ? ?? , ? ,? ? ? x ? ? ;? ? x ? 2 3 6 3 ? 2 3?

所以,函数 f (x ) 单调减区间为: ?? (2) g ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

? ? ?? ? ? ? ? , ? ? 和? , ? 3? ?6 3? ? 2
?
2 ) ? 2 sin 2( x ?

…………………6 分

?
4

),
?

f ( x) ? 2 sin(2 x ?
g ( x) ? 2 sin (x ? 2

?
6

) ? 1 ? 2 sin 2( x ?
?

?
12

) ? 1 ???????? ? ?

向左平移 ,再向下平移 1个单位 6

?
12

?
6

) ? 1 ? 1 ? 2 sin 2( x ?

?
4

) ,所以,

第 10 页 共 10 页

( 向量 a ? ?

?
6

, 1) ? ……………12 分

17.(安徽省百校论坛 2011 届高三第三次联考理科)(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量

m ? (4, ?1), n ? (cos 2

7 A , cos 2 A) ,且 m ? n ? . 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ?

3 ,试判断 b·c 取得最大值时△ABC 的形状。

第 11 页 共 11 页


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