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数学文卷·2014届黑龙江省大庆一中高三上学期第三阶段考试(2013.12)


黑龙江省大庆一中 2014 届高三上学期第三阶段考试(数学文)
一、单项选择题(下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的。每小题 5 分,12 小 题,共 60 分。 )

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? 2 1 A. {x ?1 ? x ? 2} B. {x | ? ? x ? 1} 2 C. {x | x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2}
1. 设集合 A ? {x | ? 2.设 S n 为等比数列 ?a n ?的前 n 项和, 8a 2 ? a5 ? 0 A. ? 8 B. 5 C. 8 , 则

S4 ? S2
D.15

3.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是

1 2 ??? ? ??? ? ??? ? 4. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则
A.-1 B. ? C. A. PA ? PB ? 0

1 2

D.1

??? ? ??? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

?

5. 已知等比数列 {a n } 中有 a3 a11 ? 4a 7 ,数列 {bn } 是等差数列,且 a7 ? b7 ,则 b5 ? b9 ? A.2 B.4
x

C.8

D. 16

6.已知 x 0 是函数 f ( x) ? 3 ? log 1 x 的零点,若 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值满足
2

A. f ( x1 ) ? 0 与 f ( x1 ) ? 0 均有可能 C. f ( x1 ) ? 0

B.

f ( x1 ) ? 0

D. f ( x1 ) ? 0
?

7 .等 腰三角形 ABC 中, AB ? AC ? 5, ? B ? 30 , P 为 BC边中线上任意一点,则

CP ? BC 的值为
A. ?

75 2

B. ?

25 2

C.5

D.

75 2
)

8.数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a n ?

1 ,则 S 5 =( n(n ? 1)
D.1

A.

1 30

B.

1 6
2

C.

5 6
2

9. 已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

第 1 页 共 9 页

10. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如 图所示.若函数 y ? f ( x) 在区间 [m, n] 上的值域为

y

2
6

O

2

x

[? 2, 2] , 则 n ? m 的最小值是
A.4 B.3
2

-2
22

C.2

D.1 2

(第 10 题)

11.设 F 为抛物线 y ? 6 x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点。若 FA + FB + FC = 0 , 则| FA |+| FB |+| FC |=( ) A.4 B.6 C.9 D.12

12.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1 ,x 2 (x1 <x 2 ),则 1 2 1 C.f(x1 )>0,f(x 2 ) ? ? 2 A.f(x1 )<0,f(x 2 ) ? ? 1 2 1 D.f(x1 )>0,f(x 2 ) ? ? 2 B.f(x1 )<0,f(x 2 ) ? ?

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? ? ? ? 13.设向量a ? (4sin ? ,3), b ? (2,3cos ? ),且a ? b,则锐角? 为__________ 14.设a=20.3,b=log 2 0.3,c=0.32 ,则a,b,c的大小关系为_____________

15. 若数列{an }的前n项和Sn =

16.对于 ?ABC ,有如下几个结论: ①若 sin 2 A ? sin 2B ,则 ?ABC 为等腰三角形; ②若 Sn 是等比数列 {a n } 的前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列。 ③若 sin B ? cos A ,则 ?ABC 是直角三角形; ④若

2 1 an + ,则数列{an }的通项公式an = ____________ 3 3

,则 ?ABC 是等边三角形; A B C cos cos cos 2 2 2 ⑤P 在 ?ABC 所在平面内,且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 P 是 ?ABC 的垂心。 其中正确的结论序号是_______________ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a>0。 ⑴当 a=1 时,求不等式 f (x) ? 3x ? 2 的解集; ⑵若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1? ,求 a 的值。 18.已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 55 ,且 a2,a4,a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? an ? 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
n

a

?

b

?

c

第 2 页 共 9 页

19.已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 周长的最大值。 20.如图 1, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 面A B C D PA ? 底面 ABCD , 为正方形, E 为侧棱 PD

上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

21. 已知椭圆 C : 过点 (2, 2) .

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,且 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)M , N ,P ,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分别过点 F1 , F2 ,且这两条直线互相垂直,求证: 22. 已知函数 f ( x) ?

1 1 为定值. ? | MN | | PQ |

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) . 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.

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大庆一中高三年级上学期第三次阶段考试试题答案 一.选择题 1 A 2 B 3 B 4 B 5 C 15. (?2) 6 D
n ?1

7 A

8 C

9 D

10 B

11 C

12 B

二.填空题

13.

?
4

14.a>c>b

16. ④⑤

三.解答题 18. (Ⅰ) 设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知得:

10 ? 9d ? ? 55 ?2a1 ? 9d ? 11 ?10 a1 ? ?? 2 2 ? ?d ? a1 d ? 0 ?(a ? 3d ) 2 ? (a ? d )( a ? 7d ) 1 1 ? 1
因为

d ? 0 所以 d ? a1

所以 2a1 ? 9a1 ? 11 ,所以 a1 ? 1, d ? 1

第 4 页 共 9 页

所以 a n ? 1 ? (n ? 1) ? n

(Ⅱ).bn ? n ? 2 n ,? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) (1 ? n) n 2(1 ? 2 n ) ? 2 1? 2 2 n ?n ? 2 n ?1 ? ?2 2 ?
19. 解 (Ⅰ)∵b +c =a +bc,∴a =b +c -bc,结合余弦定理知 cosA=
2 2 2 2 2 2

1 ,又? 0 ? A ? ? ∴ 2

A= ,
∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C)=sinA= 3 2

π 3

(Ⅱ)由 a=2,和正弦定理,得 4 3 4 3 4 3 4 3 2π b+c= sinB+ sinC = sinB+ sin( -B) 3 3 3 3 3 =2 3 sinB+2cosB=4sin(B+ ∵0<B< ? ? A ? π ), 6

π 2? ,∴当 B= 时,b+c 取得最大值 4 3 3

此时周长 a+b+c 的最大值为 6 . 20.(Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为

1 ?1 ? 2 ? 1 2

1 VP ? BFC ? S?BFC ? PA 3 1 2 ? ?1? 2 ? . 3 3
(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ .

………………4 分

由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? ∥ CD ,

1 CD .又因为 AF 2

1 AF ? CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC ,
第 5 页 共 9 页

所以 直线 AE ∥平面 PFC . (Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所以 AE ? 平面 PCD . 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . 因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD . 21. 解:由已知 e ?

c 2 ? , a 2

b2 a 2 ? c 2 1 所以 2 ? ? 1 ? e2 ? . 2 a a 2
所以 a ? 2b .
2 2

所以 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,即 x 2 ? 2 y 2 ? 2b2 . 2 2b b

因为椭圆 C 过点 (2, 2) , 得b ? 4 , a ? 8.
2 2

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 8 4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) . 根据题意, 可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 y ? ? 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

1 ( x ? 2) . k

? y ? k ( x ? 2), ? 由方程组 ? x 2 y 2 消y得 ?1 ? ? 4 ?8
第 6 页 共 9 页

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 .
则 x1 ? x2 ?

?8k 2 8k 2 ? 8 . , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2 2

所以 MN ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 =

4 2(1 ? k 2 ) . 2k 2 ? 1

同理可得 PQ ?

4 2(1 ? k 2 ) . k2 ? 2

所以

3k 2 ? 3 3 2 2k 2 ? 1 k2 ? 2 1 1 ? ? ? ? . ? 2 2 2 8 | MN | | PQ | 4 2(1 ? k ) 4 2(1 ? k ) 4 2(1 ? k )

2 ( x ? 0) . 1 分 x 2 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? . ---------3 分 3 (ax ? 1)( x ? 2) (Ⅱ) f ?( x) ? ( x ? 0) . 4 分 x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ?1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) , 单调递减区间是 (2, ??) . 5 分 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 , a 2 1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) , a 1 单调递减区间是 (2, ) . 6分 a ( x ? 2 2) 1 ③当 a? 时 , f ?( x) ? , 故 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( 0 ?? . , ) 2x 2
22. 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? 7分

1 1 ④当 a ? 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ) 和 (2, ??) , 单 调 递 减 区 间 是 ( , 2) . a a
8分 (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x) max ? g ( x) max .9 分 由已知, g ( x) max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,
第 7 页 共 9 页

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1, 1 故 ln 2 ? 1 ? a ? . 10 分 2 1 1 1 ②当 a ? 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? ? 2ln a . a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2ln a ? ?2 , ?2ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 , 11 分
①当 a ? 综上所述, a ? ln 2 ? 1. 12 分

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