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空间向量与立体几何期末复习


兴化市文正实验学校高二数学学案 (期末复习)

选修 2-1

空间向量与立体几何

2013/1/8

空间向量与立体几何复习

【知识点巩固】
一.空间向量及其加法、数乘运算 1.空间中具有 的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示 或 空间向量的加减与数乘运算和平面向量同类。 2.共线向量 若表示空间向量的有向线段所在的 ,则这些向量叫做平行向量或共线向量。 共线向量定理:若 b ? 0 ,则 a//b ? 。 3.共面向量: 的向量叫做共面向量。 共面向量基本定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与 a,b 共面的充要条件是存在实数

x , y ,使
4.平面向量基本定理及其推论



定理:若三个向量 a,b,c 不共面,则对空间中任一向量 p ,存在唯一的有序实数组 x, y , z , 使 。

推论:设 O, A, B, C 的不共面的四点,则对于空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y, z ,使
5.两个向量的数量积



定义: a ? b =| a || b | cos < a,b > .其中, ? a,b ? 为向量 a,b 的夹角,通常 0 ?? a,b ?? ? . 性质:若 a,b 是两个非零向量,则(1) a ? e = | a | cos < a,e > (其中 e 为单位向量) (2) a ? b ? _______________ .(3) a ? a ? a
2

1

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运算律:(1) (?a) ? b = _________. (2) a ? b = _________. (3) a ? (b + c) = ___________. 二.向量的坐标运算 6. a ? ( x, y, z) 设 1 1 1 , ? ( x2 , y2 , z2 ) , a ? b ? ____________ ; ? b ? ____________ ; 则 a b

a ? b ? ____________ ; a // b ? ____________(? ? R) ; a ? b ? ____________ .
夹角和距离公式:夹角 cos < a,b >= __________________. 空间两点 A ? ( x1 , y1 , z1 ) , B ? ( x2 , y2 , z2 ) 的距离公式为 d AB ? _____________. 若表示向量的 n 的有向线段所在的直线垂直于平面 的 . 三、空间向量在立体几何中的应用 以下 n 是平面 ? 的法向量。 1.直线与平面平行与垂直的判定 (1) a // ? ? a ? n (2) a ? ? ? a // n ? a ? ? n 2.平面与平面平行与垂直 (1) ? // ? ? n1 // n2 (2) ? ? ? ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0

? ,则称 n 为平面 ?

?

? n

? a

? n

? a

?

??

?? ?

?? ?? ?

?? n1

?? ? n2

?? n1 ?? ? n2

?
?
?
A 3.立体几何中的角 (1) 异面直线所成的角 ? (2) 求线面角 B

?
L

B

在 L 上取定 AB ,求平面 ? 的法向量 n (如图 2 所示) , 再求 cos ?? ? ? ? ?

A

?

n

| AB ? n | | AB | ? | n |

, ? ? 则

?
2

?
图2

? ? 为所求的角.

(3)平面与平面所成的角

2

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?? ?? ? n1 ? n2 cos(? ? ? ) ? ?? ?? (图一) ? n1 ?n2

?? ?? ? n1 ? n2 或 cos ? ? ?? ?? (图二) ? n1 ?n2

?? n1 ?? ? n2
(图一)

?? n1

?? ? n2
(图二)

四、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行: 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直: 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即 a ? b ? 0 ? a ? b . (3)线面平行: 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向 量. (4)线面垂直: 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量) ; ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 五、典型例题

? ?

?

?

例 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E,F 分别为 AD,AB 的中点, (1)求 BC1 与平面 A1EF 所成角的大小. (2)求二面角 A1-FC-B 的余弦值.

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PA PA 例 2 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, ? 平面 ABCD , ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M .
(1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角的正弦值; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.
P

M

A

D

O B C

例 3 如图, PCBM 是直角梯形,∠ PCB =90°, PM ∥ BC , PM =1, BC =2,又 AC =1,∠ ACB =120°, AB ⊥ PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (Ⅰ)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AC ? B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P ? MAC 的体积.

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例4

如图, 正方形 ABCD 所在的平面与平面四边形 ABEF 所在的平面互相垂直,

△ABE 是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°. (1)求证:EF⊥平面 BCE; (2)设线段 CD,AE 的中点分别为 P,M, 求证:PM∥平面 BCE.

六【课后练习】 1.已知 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x), c ? (1,? x,2) , (a ? b) ? c , x ? __________ ____ 若 则
2.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b, 则 x= ,y= 。 3.设 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0) ,AB 的中点 M,则 | CM |? 4. 已 知 点 A(1,?2,11) , B(4,2,3) , 是 、 。

C ( x, y,15) 三 点 共 线 , 那 么 x, y 的 值 分 别

5、若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 AB 取最小值时, x 的值等于 6、若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是 7.已知 A,B,C 三点不共线,O 是平面外任意一点,若有 OP ? 的点与 A,B,C 三点共面,则 λ=______. 。

?

1 2 OA ? OB ? ? OC 确定 5 3

? ? 8 若两个平面 ? , ? 的法向量分别是 u ? (1,0,1), v ? (?1, ?1,0) ,则这两个平面所成的锐
二面角的度数是________. 9 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,?BAC ? 90° ,O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

S

O
B A

C

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10.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形, ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。
(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。
O

M

A B C

D

11. 如图,在正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的中点。求证: A1O⊥平面 GBD。

12. 如 图 , 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 中 , AA1 ? 面 ABC , BC ? AC , BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点。
(I)求证: AB1 // 面 BDC1 ;(Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值

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