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河南省商丘市2012年高三第二次模拟考试数学试题(理数)


商丘市 2012 年高三年级第二次模拟考试



学(理科)

本试卷分试题卷和答题卷两部分,试题卷共 4 页,答题卷共 6 页。请按要求把答案涂、 写在答题卷规定的范围内,超出答题框或答在试题卷上的答案无效。满分为 150 分。考试时 间为 120 分钟。考试结束只收答题卷。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={y|y= x },N={y| x + y =2},则 M∩N=
2 2

2

A.{(1,1)(-1,1)} , C.[0,1] 2.已知复数 z= A.

B.{1} D.[0, 2 ]

7 10
2

1+2i (i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部是 3-i 7 1 B. i C. 10 10

D.

7 i 10

3.抛物线 y =2px(p>0)的准线过双曲线 标为 A. (1,0) B. (2,0)

x2 16 y 2 - 2 =1 的左焦点,则该抛物线的焦点坐 3 p
3 , 0) 2

C. (3,0)

D. (

4.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A.

5 3 3 5 3 6

B.

4 3 3

C.

D. 3

5.已知 m>0,且 mcosα-sinα= 5 sin(α+ ? ) ,则 tan ? = A.-

1 2

B.

1 2

C. 2

D.-2

6.已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 a1,

a +a9 1 a3,2a2 成等差数列,则 8 = 2 a6+a7
D.3-2 2

A.1+ 2

B.1- 2

C.3+2 2

7.下列命题中的说法正确的是

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B. “x=-1”是“ x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是: ?x ∈R,均有 x +x+1>0” “
2
2

2

2

D.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题为真命题 8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 值为 A.102 B.410 C.614 D.1638 9.关于方程 3 + x +2x-1=0,下列说法正确的是 A.方程有一负实根,一零根 B.方程有一正实根,一零根 C.方程有两个不相等的负实根 D.方程有两个不相等的正实根 10.值域为{2,5,10},其对应关系为 y= x +1 的函数的个数为 A.1 B.8 C.27 D.39 11.已知两个非零向量 a=(m-1,n-1) ,b=(m-3,n-3) ,且 a 与 b 的夹角是钝角或直角,则 m+n 的取值范围是 A. 2 ,3 2 )B. ( (2,6) C.[ 2 ,3 2 ] D.[2,6]
2
x

2

12.已知

x 2 y2 + =1(a>b>0) ,M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直 a2 b2

,若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭圆 线 PM、PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0) 的离心率为 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题( 13.二项式(1+sinx)6 的展开式中二项式系数最大的一项的值为 值为__________.

5 ,则 x 在 [0,2π]内的 2

? y+x≤1, y ? 14.设实数 x,y 满足不等式组 ?y-x≤1, 则 的取值范围是________. x+2 ? y≥0, ?
15.一个四棱锥的底面是正方形,其顶点在底面的射影为正方形的中心.已知该四棱锥的各 顶点都在同一个球面上, 且该四棱锥的高为 3, 体积为 6, 则这个球的表面积是_________.

16.数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若数列{ an }的各项按如下规律排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , …, , ,…, ,…有如下运 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n
算 和结论: ①a24=

3 ; 8

②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;

n 2+n ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 Tn = ; 4
④若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak=

5 . 7

其中正确的结论是__________. (将你认为正确的结论序号都填上) 解答题( 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=(3a—c)cosB. (Ⅰ)求 cosB 的值;

uuu r

uuu r

(Ⅱ)若 BA · BC =2,且 b=2 2 ,求 a 和 c 的值. 18. (本小题满分 12 分) 2011 年 8 月 28 日-30 日,第六届豫商大会在“三商之源、华商之都”的商丘市举行, 为了搞好接待工作, 大会组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者, 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm) .若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” . (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非 高个子”中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人 数, 试写出 X 的分布列, 并求 X 的数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直 径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中点,DE⊥面 CBB1 (Ⅰ)证明:DE∥面 ABC; (Ⅱ)若 BB1=BC,求 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分)

已知圆 C1 的方程为 x +(y-2)2=1,定直线 l 的方程为 y=-1.动圆 C 与圆 C1 外切,且与直线 l 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 m 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P, 过点 P 作直线 m 的垂线恰 好经过点 A(0,6) ,并交轨迹 M 与另一点 Q,记 S 为轨迹 M 与直线 PQ 围成的 封闭图形的面积,求 S 的值.

2

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=xlnx(x>0) . (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)设 F(x)=a x + f ′( x ) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性;
2

(Ⅲ)斜率为 k 的直线与曲线 y= f ′( x ) 交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 1<x2)两点, (x 求证:

1 1 <k< . x2 x1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分.做答时 、 、 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分. 铅笔在答题卷上把所选题目的题号涂黑. 用 2B 铅笔在答题卷上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 和△ACD 中,∠ACB= ∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O 是 以 AB 为直径的圆,DC 的延长线与 AB 的 延长线交于点 E. (Ⅰ)求证:DC 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 EB=6,EC=6 2 ,求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 M(x,y)在曲线 G: ?

? x=1+ cos θ , (θ为参数, ?y=sinθ

θ∈R)上运动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为ρcos(θ+ =0. (Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程;

π
4



(Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求△ABM 面积的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a. (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值范围.


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