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《4.1第一节 平面向量的概念及其线性运算》 学案


平面向量的概念及其线性运算
适用学科 适用区域 数学 新课标 鱼向量有关的基本概念、向量记法与表示 知 识 点 向量的加法运算及其几何意义、向量加法交换律与结合律 向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义 向量的数乘运算律、两个向量共线的判定定理及其应用、用向量处理共线问题 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 学习目标 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 学习重点 学习难点 三角函数的定义及应用,三角函数值符号的确定 三角函数的定义及应用 适用年级 课时时长 高三 60 分钟

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学习过程
复习预习 1.我们已经学习过位移、速度、力等,你能总结出它们的特点吗?特点为________________________________. 2.在学习三角函数线时,我们已经学习过有向线段了,你还记得吗? 所谓有向线段就是________________________,三角函数线都是_____________.

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知识讲解 考点 1 向量的有关概念 名称 定义 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度 (或称模) 长度为零的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线 向量.规定:0 与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量

向量

零向量 单位向量

平行向量

相等向量 相反向量

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考点 2

向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:a+b=b+a 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律:(a+b)+c=a +(b+c) 减法 求 a 与 b 的相反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)|λa|=|λ||a| 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运 算 (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同; 当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λa=0 a-b=a+(-b)

λ(μ a)=(λ μ) a (λ+μ)a=λa+μ a λ(a+b)=λa+λb

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考点 3

共线向量定理

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.

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例题精析 【例题 1】 【题干】设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;

③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

)

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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若

a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命 题.综上所述,假命题的个数是 3.

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【例题 2】 【题干】如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 DB= OB.设 OA =a,

1 3

OB =b,用 a,b 表示向量 OC , DC .

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【解析】 OC = OB + BC = OB +2 BA = OB +2( OA - OB )

=2 OA - OB =2a-b.
DC = OC - OD = OC - OB

2 3

2 =(2a-b)-3b 5 =2a-3b.

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【例题 3】 【题干】已知 a,b 不共线,OA =a,OB =b,OC =c,OD =d,OE =e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,

e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值,若不存在,请 说明理由.

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【解析】由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线上的充

要条件是存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
? ?t-3+3k=0, 因为 a,b 不共线,所以有? ?t-2k=0, ?

6 解之得 t=5. 6 故存在实数 t=5使 C,D,E 三点在一条直线上.

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课堂运用 【基础】 1.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =( 3 A.a+4b 1 1 C.4a+4b 1 3 B.4a+4b 3 1 D.4a+4b )

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a b 2.已知向量 p=|a|+|b|,其中 a、b 均为非零向量,则|p|的取值范围是( A.[0, 2] C.(0,2] B.[0,1] D.[0,2]

)

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3.(2013· 保定模拟)如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且 AM =x AB , AN =y AC ,则 x· y 的值为( x+y )

A.3 C .2

1 B.3 1 D.2

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【巩固】 4.在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN =________(用 a,b 表示).

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5.(2013· 淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得 AB + AC =m AM 成立,则 m =________.

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【拔高】 6.如图所示,在五边形 ABCDE 中,点 M、N、P、Q 分别是 AB、CD、BC、DE 的中点,K 和 L 分别是 MN 和 PQ 的 1 中点,求证: KL =4 AE .

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7.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

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课程小结
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0” ,否则λ 可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题, 可用向量共线来解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所 在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

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