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人教b版高一数学必修一:3.1.1《实数指数幂及其运算》学案(含答案)


第三章 § 3.1 3.1.1 基本初等函数(Ⅰ) 指数与指数函数 实数指数幂及其运算 自主学习 学习目标 1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性. 2.理解有理数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 自学导引 1.如果存在实数 x,使得________________,则 x 叫做 a 的 n 次方根. n 2.式子 a叫做________,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. n 3.(1)n∈N*时,( a)n=________. n n (2)n 为正奇数时, an=________;n 为正偶数时, an=________. m 4.分数指数幂的定义:(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:a =________(a>0,m、 n m * n∈N ,且 为既约分数); n m m (2)规定正数的负分数指数幂的意义是:a- =________(a>0,m、n∈N*,且 为既约 n n 分数); (3)0 的正分数指数幂等于________,0 的负分数指数幂________________. 5.有理数指数幂的运算性质: (1)aras=________(a>0,r、s∈Q); (2)(ar)s=________(a>0,r、s∈Q); (3)(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q). 对点讲练 知识点一 根式与分数指数幂的互化 例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中 a>0)的化简结果: 3 (1)a3· a2; (3) 3 3 1 1 - - a · a 3· ?a 5?- ?a- ?13. 2 2 2 (2) a a; m n 规律方法 此类问题应熟练应用 a = am (a>0,m,n∈N*,且 n>1).当所求根式含 n 有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 变式迁移 1 将下列根式化成分数指数幂的形式: (1) 1 3 5 x? x2?2 ; (2)( 4 2 2 b- )- (b>0). 3 3 知识点二 利用幂的运算性质化简、求值 例 2 计算(或化简)下列各式: 2 + - (1)4 2 1· 2 3 2 2· 8- ; 3 1 ? 7?0 4 1 - (2)(0.064)- -?-8? +[(-2)3]- +16 0.75+|-0.01| ; 3 3 2 1 1 a+b-2a · b 2 2 a-b (3) - (a>0,b>0). 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2 规律方法 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化 小数为分数进行运算,便于进行乘、除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.利用 1 乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题,是简化运算的常用方法,熟练掌握 a = (a )2 2 13 b b b b -b b (a>0),a=(a ) 以及 a -a =(a +a- )(a -a- )等变形. 3 2 2 2 2 7 1 4 3 - ?0+80.25× 2+( 2× 3)6- 变式迁移 2 求值:1.5- ×? 3 ? 6? ?-2?2. ? 3?3 知识点三 灵活应用——整体代入法 1 1 x -y 2 2 例 3 已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 的值. 1 1 x +y 2 2 规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要, 也是高中数学的一种重要的解题 思想、解题方法,它反映了我们“把握全局”的能力.解题过程中不宜求

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