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河南省南阳市2015届高三数学上学期期中质量评估试题 文


河南省南阳市 2015 届高三数学上学期期中质量评估试题 文 (扫描版) 新人教 A 版

2014 年秋期高三年级文科期中考试答案
一.选择题: 题目 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 D 6 C 7 D 8 A 9 A 10 C 11 A 12 B

二.填空题: 13.1

三.解答题:

17.解: (I)∵ f ( x ) 为偶函数

即2 恒成立 ∴ cos? ? 0 s i n x c o s ? 0

……………………………………………………………3 分 ∵ 0 ? ? , ∴ ? 2 又其图象上相邻对称轴之间的距离为 ? ∴T ? 2? ∴? ? 1 ……………………………………………………………………5 分 ∴ f ( x ) ? c o s x s i n 2 ? c o s 2 ? 1 (II)∵原式 ? ……………………………7 分 ? 2 s i n c o s 1 ? t a n 2 4 又∵ …… ………………………9 分 s i n ? c o s ? , ∴ 1 ? 2 s i n c o s ? 3 9 5 5 即2 , 故原式 ? ? ………………………………………10 分 s i n c o s ? ? 9 9

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14.重心 15.

1 4

16.①②③④

∴ s i n ? x ? ? s i n x ? ? ? ? ?

? y ? x2 ?1 3 2 18.解:由 ? ,得 x ? x ? x ? 1 ? 0 , 3 ?y ? x ? x 2 即 ( x ?1)(x ? 1) ? 0 ,? x ? 1 ,∴交点为 (1,2) .…………………………………2 分 又 f ' ( x) ? 2 x ,? f ' (1) ? 2 , ∴曲线 y ? f ( x) 在交点处的切线 l1 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) , 即 y ? 2x , ……………………5 分
又 g ' ( x) ? 3x ? 1.
2

∴ g ' (1) ? 4 . ∴曲线 y ? g ( x) 在交点处的切线 l 2 的方程为 y ? 2 ? 4( x ? 1) , 即 y ? 4x ? 2 . ………………………………………………………………8 分 取切线 l1 的方向向量为 a ? (1,2) ,切线 l 2 的方向向量为 b ? (1,4) ,…………10 分 则 cos? ?

a ?b | a || b |

?

9 9 85 ? . ……………………………………12 分 85 5 ? 17

19.解: (Ⅰ)由 cos B ?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4

2 由 b ? ac 及正弦定理得

2 sin B ? s i nA s i n C.



1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C

sin( A ? C ) sin B 1 4 ? ? ? 7. …………………………6 分 2 2 sin B sin B sin B 7 3 3 3 (Ⅱ)由 BA ? BC ? ,得 ac cos B ? ,由 cos B ? , 2 4 2 ?
可得 ac=2,即 b =2.…………………………………………………………8 分 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 a ? c ? b ? 2ac cos B ? 5 ,
2 2 2 2 2 2

2

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

……………………12 分

2 20.解: (Ⅰ)∵ n ? N * 时, an ? 2 S n ? an ,
2 当 n ? 2 时, an ?1 ? 2Sn ?1 ? an ?1 ,…………………………………………………2 分

2 2 由①-②得, an ? an ?1 ? (2Sn ? an ) ? (2Sn?1 ? an?1 )
2 2 即 an ? an?1 ? an ? an?1 ,∵ an ? an ?1 ? 0

∴ an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,………………4 分

2 由已知得,当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 .………………………………5分

故数列 {a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n(n ? N ) . …………6分
*

(Ⅱ)∵ an ? n(n ? N ) ,∴ bn ? 3 ? (?1)
*

n

n?1

? ? 2n ,…………7 分

∴ bn?1 ? bn ? 3

n?1

? 3n ? (?1)n ? ? 2n?1 ? (?1)n?1 ? ? 2n ? 2 ? 3n ? 3? ? (?1)n?1 ? 2n .

3 2 3 n ?1 3 n ?1 (1)当 n 为奇数时,即 ? ? ( ) 恒成立.又 ( ) 的最小值为 1 ,∴ ? ? 1 . ……9 分 2 2 3 3 n ?1 3 (2)当 n 为偶数时,即 ? ? ?( )n ?1 恒成立.又 ?( ) 的最大值为 ? , 2 2 2 3 ∴? ? ? ……………………………………10分 2 3 ∴由(1),(2)得 ? ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数,……………………11分 2
要使得 bn ?1 ? bn 恒成立,只须 (?1)n?1 ? ? ? ( )n?1 . …………8分 ∴ ? ? ?1 对所有的 n ? N* ,都有 bn ?1 ? bn 成立. ………………12分

21.解: (1)令x ? ?-1,0?, 则- x ? ?0,1 ?,?f(-x)? 2-x -1. 又? f ( x)是奇函数, ? f(-x)=-f(x),? ? f ( x) ? f (? x) ? 2? x ?1,

1 ? f ( x) ? ?( ) x ? 1, x ? ?? 1,0?. .................................6 分 2 (2)? f(x+4)=f(x),? f(x)是以 4 为周期的周期函数,

? log1 24 ? ? log2 24? (?5,?4), ? log1 24 ? 4 ? (?1,0),
2
2

1 log 1 24? 4 1 1 ? f (log1 24) ? f (log1 24 ? 4) ? ?( ) 2 ? 1 ? ?24? ? 1 ? ? .......12 分 2 16 2 2 2
1 3 1 2 x ? x ? 2ax ,? f ' ( x) ? ? x 2 ? x ? 2a …………………2 分 3 2 2 2 函数 f ( x) 在 ( ,??) 上存在单调递增区间,即导函数在 ( ,??) 上存在函数值大于零的部 3 3 2 2 2 2 1 分, ? f ' ( ) ? ?( ) ? ? 2a ? 0 ? a ? ? ……………………………………6 分 3 3 3 9 16 2 (II)? f ( x) 取到最小值 ? ,而 f ' ( x) ? ? x ? x ? 2a 的图像开口向下,且对称轴方程为 3 1 x ? , f ' (1) ? 2a ? 0 , f ' (4) ? 2a ? 12 ? 0 2
22.解: (I)? f ( x) ? ? 则必有一点 x0 ? ?1,4?, 使得 f '( x0 ) ? 0 ……………………………………8 分

此时函数 f ( x) 在 [1, x0 ] 上单调递增,在 [ x0 , 4] 单调递减.

1 40 f (1) ? 2a ? , f (4) ? ? ? 8a ,? f (4) ? f (1) 6 3 ? f ( x) min ? f (4) ? ? 40 16 ? 8a ? ? , 3 3
? a ? 1,
…………………10 分

此时,由 f '( x0 ) ? ? x0 2 ? x0 ? 2 ? 0 ? x0 ? 2, x0 ? ?1(舍去) , 所以函数 f ( x) max ? f (2) ? 10 3 ………………………………………………………12 分


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