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上饶市重点中学2013届高三六校第二次联考 数 学 试 卷(文科)


准考证号__________姓名_________
(在此卷上答题无效) 绝密★启用前

上饶市重点中学 2013 届高三六校第二次联考 数 学 试 卷(文科)
命题人:俞兴保 罗群义
本试卷分第 1 卷(选择题)和第 2 卷(非选择题)两部分。总分:150 分。时间:120 分钟。

命题学校:天佑中学

考生注意: 1、答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。 2、第(1)卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。第(2)卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答。 3、考试结束后,监考员只需要将答题卡收回装订。 一、选择题: 1、设 i 为虚数单位,复数 z ? (A)

1 2

i ?1 ,则复数 z 的虚部是( ) 2i 1 1 1 (B) ? (C) ? i 2 2 2


(D)

1 i 2

x 2、已知集合 A ? {x | | x ? 1 |? x ? 1} , B ? {x | 2 ? 1) ,则(

(A) B ? A ? B

(B) B ? A
?

(C) A

B ??

(D) A ? B
?

3、 某中学有 200 名教职工的年龄分布情况如图所示,现要从中选取 50 名教职工代表,若用分层抽样的方法, 则 50 岁以上年龄段应选取( )人.

(A)5
4、已知 sin ? ?

(B)10

(C)15

(D)20
) 第 3 题图

1 ?? ? , ? ? ? ,2? ?, 则 sin 2? ? ( 3 ?2 ?
(B)

(A) ?

4 2 9

4 2 9

(C) ?

4 2 9

(D)

2 2 9

0 5、在 ?ABC 中, ?C ? 90 ,且 CA ? CB ? 1 ,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM ? CA =(

)

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4


2 1 2

6、一个几何体的三视图如图,这个几何体的体积为( (A)7 (B)

7 3 1 2

(C)

8 3

(D)

23 3
) y 1 主视图

7、如图,函数 y ? ( ) log 2 x 的图像应是( y y y

左视图

o


(A)

o x o (B) x (C)

x o (D) 俯视图 x

2 第 6 题图

8、 过圆 x

2

? y 2 ? 10 y ? 0 内一点(4,5),有一组弦的长度组成等差数列 {an } ,记最小弦长为数列的首
? a4 ? a6 ? a8 ? a10 的值是(
开始 M=0,N=0,i=1 )

项 a1 ,最大弦长为数列的末项 a11 ,则 a2 (A)32 (B) 42 (C)40 (D)54

9、 点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上, F1 , F2 是 a2 b2
产生 ??

双曲线的两个焦点, ?F1 PF2 ? 900 ,且

?F1 PF2 的三条边长成等差数列,则此双
曲线的离心率是( )

? 1 1? , ? 范围内的二个随机数 xi , yi ? 2 2?
xi ? y i ?

2 2



(A)2

(B)3

(C)4

(D)5
M=M+1 N=N+1 i=i+1 i>600

1 4

10、用程序框图设计随机事件概率模拟法估计 圆周率 ? 的值,如图所示, P 表示圆周率

? 的输出结果,则图中空白处应 P ? (
(A)

)

结束 输出

M 150

(B)

N 150

(C)

M N (D) 600 600





P

二、填空题: 11、函数 y ? 1 ? lg( x ? 2) 的定义域为 __________。 第 10 题图

12、已知不等式 | x ? 1 | ?a ?| x ? 2 | 的解集为 (?? , 2) ,则 a 的值为__________。 13、如图,在半径为 1 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱表面积的最大值是________。 14、茎叶图表示的是甲、乙两位同学在上饶市第一次六校联考中的六科成绩,在统计时其中乙同学的一个 数字被污损如图中?,根据目前的信息,甲的总成绩超过乙的总成绩的概率为___。 甲 8 5 2 4 3 2 7 9 10 11 乙 2 2 1 ? 3 2 第 13 题图

第 14 题图 15、如图:已知在 x 轴上方有无数个相外切且与 x 轴相切的圆, ⊙ O1 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,⊙ O2 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,⊙ O3 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

2

2

⊙ O4 : ( x ? 5) ? ( y ? 1) ? 1,…
2 2

y
另有一个矩形 OABC,O 为坐标原点, 点 C 坐标(0,2), 动点 A 的横坐标为 x , 若随 x 变化的动矩形 OABC 与这一系 列圆的公共部分面积 S 的函数关系 -1 O 1 A 3 5 C 1 B

x

记为: S ? f ( x) ( x ? 0) , S ? ? f ?( x) 是 S ? f ( x) 的导函数,有下列四个结论: ① S ? f ( x) 是一个周期函数且是增函数;② S ? f ( x) 是一个偶函数且 f (2n) ? n? (n ? N ? ) ; ③ S ? f ( x) 在 ?0,??? 上递增,在 ?? ?,0? 上递减;④ S ? ? f ?( x) 在 ?? 1,0? 上递减,在 (0,1) 上递增。 则以上结论中,正确的结论有____________(填上正确结论的序号即可)。 三、解答题: 16、已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 x ? (0,2? ) ,

x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m ? n 4 4 4

f ( x) ? 1,求 sin x 的值;
1 c ?b, 2

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cos C ? 求函数 f ( B ) 的取值范围。

?x ? 1 17、已知区域 D : ? y ? 3 ? ?x ? y ? 0 ?
(1) 若集合 A ? ? 1,2,3,?, B ? ?0,1,2,3?, M ? ?( x, y) | x ? A, y ? B?,则在集合 M 内随机任取出一个元素为坐标的点正好位于区域 D 内的概率; (2) 若在区域 D 内任取一个点正好到点 (1,1) 的距离小于 2 的概率。 18、在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, P F D C

?DAB ? ?ADC ? 900 , PA ? PB ? PD ? 3 ,
AB ? AD ? 2CD ? 2 . (1)求证:平面 PBD ? 平面 ABCD ;
(2)若 PF : FC ? ? ,求使得平面 DBF 与 AP 平行时 ? 的值及 VC ? DBF 。 A

第 18 题图

B

19、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S n ? nan ? n(n ? 1) (n ? N ? ) 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? 。 2 a n a n ?1

20、已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

ax2 ? 1 2

(1)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 图像恒在函数 g ( x) 图像下方,求 a 的取值范围。

21、如图,椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,左、右顶点分别为 A1,A,上顶点为 B,抛物线 C1: a2 b2

y2=16x 与抛物线 C2:x2=2py 分别以 A,B 为焦点,且 C1 与 C2 的交点 P 在直线 y= 2x 上。 (1)求椭圆 C 及抛物线 C2 的方程; (2)若直线 l 与直线OP垂直,且与椭圆 C 交于不同两点M,N,已知点Q(- 2,0), 且 S ?QMN ? ?

19 tan ?MQN ,求直线 l 的方程。 9

第 21 题图

上饶市重点中学 2013 届高三六校第二次联考 数学(文)参考答案
一.选择题: 1-5 二.填空题: 5、 ?? 2,8? 三、解答题 16、解: (1)由 f ( x) ? m ? n 得 f ( x) ? 即 f ( x) ? sin( 12、3 13、 BDBCB 6-10 AACDA

?

2 ?1?

?

14、

2 5

15、②、③

3 sin

x ? 1 ? ) ? ,-----------------------------------------------3 分 2 6 2 x ? 1 x ? 1 又因为 f ( x) ? 1 所以 sin( ? ) ? ? 1 即 sin( ? ) ? 2 6 2 2 6 2

x x x cos ? cos 2 ----------------1 分 4 4 4

因为 x ? (0,2? ) 故

所以

x ? 5? 即 4? ----------------------------------------------------5 分 ? ? x? 2 6 6 3

x ? ? 7? ? ? ( , ) ,---------------------------4 分 2 6 6 6

所以 sin x ? ?

3 ---------------------------------------------------------------6 分 2

(2)由题意得: 2 sin A cos C ? sin C ? 2 sin B --------------------------7 分 即 化简得: cos C ?

2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin( A ? C ) -------------8 分

1 ? 2? ,可得 2? ,? C ? ,? A ? B ? B ? (0, ) ---10 分 2 3 3 3 B ? ? ? 。 故 B ? 1 3 ----------12 分 ? ? ?( , ) f ( B) ? sin( ? ) ? ? (1, ) 2 6 6 2 2 6 2 2

(2,0), (2,1), ? ?(1,0), (1,1)(1,2)(1,3), M ?? ? 17、解: (1)由题意可得 (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3) ?(2,2), ? 共 12 个元素。---------3 分
在区域 D 内的点有 ?((1,1)(1,2)(1,3), ?共 6 个元素,-----5 分 (2,2), (2,3), (3,3) 故在集合 M 内任取出一个点正好位于区域 D 内的概率为 p1 ?

6 1 。-----------6 分 ? 12 2

(2)记在区域 D 内任取一个点正好到点 (1,1) 的距离小于 2 的点的集合记为 S1 , 区域 D 内所有点的集合记为 S , S ?

S1 ?

1 ? ? ? ? 2 2 ? , -------------------------------------------------------------------------------10 分 2 4 2

1 (3 ? 1)( 3 ? 1) ? 2 -----------------------------8 分 2

故在区域 D 内任取一个点正好到点 (1,1) 的距离小于 2 的概率为:

S ? p2 ? 1 ? 2 ? -------------------------------------------------------------12 分 S 2 4
18、解:(1)取 BD 中点 M ,连结 AM 、 PM 。 在 ?PBD 中, M 是 BD 中点, PB ? PD, ? PM ? BD, ---------2 分 在 ?PBD 中, PB ? PD ? 3, BD ? 2 2 可得 PM ? 1 ---------3 分 在 ?PAM 中, PA ? 3, AM ? D

?

P F C N M A 第 18 题图 B

2 ,由勾股逆定理得? PM ? AM ,------4 分

? PM ? 平面ABCD, ?平面 PBD ? 平面 ABCD ---------------------6 分
(2)连结 AC 交 BD 于点 N ,连结 FN ,? 平面DBF // PA,? PA // FN ,-----8 分 在梯形 ABCD 中, AB ? 2CD,? AN ? 2 NC ? PF : FC ? 2 即 ? 的值为 2,--10 分

所以 VC ? DBF ? V F ? BCD ?

1 1 PM 1 ? ?1? 2 ? ? ----------------------------12 分 3 2 3 9

19、解: (1)由 S n ? nan ? n(n ? 1) (n ? N ? ) 得 S n?1 ? (n ?1)an?1 ? (n ?1) (n ? 2) (n ? 2且 ? N ? ) -------------------------------2 分 相减得: an ? nan ? (n ? 1)an?1 ? 2(n ? 1) ,即 an ? an?1 ? 2 -----------------4 分 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ----------------------------------------------------------6 分 (2) b ? n

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ---------------------7 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) -------------10 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1 ? n ? N ? ? Tn ? 2 ------------------------------------------------12 分

20、解: (1)由题意得: y ? ln x ?

ax2 ? 1 1 1 ? ax2 ( x ? 0) ,则 y ? ? ? ax ? ( x ? 0) --2 分 2 x x

当 a ? 0 时, y? ? 0 ,此时函数的单调增区间为 (0,??) -----------------------------3 分 当 a ? 0 时,令 y? ? 0 得 x ? ? 0,

? ? ?

? a ? a ? ,令 -------------------5 分 y ? 0得 x ? ? ,?? ? ? ? a ? ? a ?

可得函数的单调增区间为 ? 0,

? ? ?

? a ? ,单调减区间为 ? a ------------------------6 分 ,?? ? ? ? ? a ? a ? ?

(2)由题意得: f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 ln x ?
2

ax2 ? 1 ,得 ax2 ? 1 ln x ? ? 0 ,-------7 分 2 2

ax ? 1 单调增区间为 当 a ? 0 时,由(1)得, y ? ln x ? (0,??) 2
令 x ? 1, y ?

1? a ? 0 不合题意,舍去。----------------------------------------9 分 2
2

ax ? 1 ,单调增区间为 ? 当 a ? 0 时,由( 1 )得, y ? ln x ? ? 0, 2
? ?

? a ? ,单调减区间为 ? a , ,?? ? ? ? ? a ? a ? ?

y max ? y

a x? a

? ln

a ? 0 ,----------------------------------------------------11 分 a

解得 a ? 1 --------------------------------------------------------------------12 分 综上所述可得 a 的取值范围 a ? 1 ------------------------------------------------13 分 21 解: (1)设 P 点坐标为 (m, 2m) 由题意得:

P 是 C1 和 C2 的交点,且 C1 : y 2 ? 16x ,解得 m ? 8 ,
即 P 点坐标为 (8,8 2 ) ,可得 82 ? 2 ? 8 2 p 即 p ? 2 2 ,----------------------2 分 故抛物线 C2 的方程为 x 2 ? 4 2 y ,-------------------------------------------3 分 可得 B 点坐标为 (0, 2 ) , A 点坐标为 ( 4,0) ,

所以椭圆 C:

x2 y2 2 2 x2 y2 C ? ? 1 的 ,即椭圆 的方程为 a ? 16 , b ? 2 ? ? 1 ----------6 分 a2 b2 16 2

(2)由(1)得, k op ?

2 可得 kl ? ?

2 ,设直线 l 的方程为 2 y?? x ? m ,----7 分 2 2

? x2 y2 ?1 ? ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ?16 2 消 y 得: ? 2 ?y ? ? x?m ? 2 ?

5x 2 ? 8 2mx ? 8m2 ? 16 ? 0 ,-----------------------------------------------------------------------8 分
即 x1 ? x 2 ?

8 2m ---① , 5

8m 2 ? 16 ---② x1 x2 ? 5

又由得 S ?QMN ? ? 即

19 1 19 sin ?MQN tan ?MQN , QN QM sin ?MQN ? ? 9 2 9 cos ?MQN

38 即 38 , QM ? QN ? ? ---------------------------------------10 分 9 9 38 ? ( x1 ? 2 , y1 ) ? ( x2 ? 2 , y 2 ) ? ? --------------------------------------------------------------11 分 9 QN QM cos ?MQN ? ?
即 x1 x2 ?

2 ( x1 ? x2 ) ? 2 ? (?
2

2 2 38 x1 ? m)(? x2 ? m) ? ? , 2 2 9
8 ,--------------------13 分 9

把①、②式代入整理得: 81m ? 144m ? 64 ? 0 ,解之得: m ? ? 所以直线方程为 y ? ?

2 8 x ? ,经验证符合题意。--------------------------------------------14 分 2 9


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