当前位置:首页 >> 数学 >>

解三角形教案


姓名 学科 课题 名称 教学 目标 教学 重点

王光明 数学

学生姓名 年级 正、余弦定理

张小飞 高一 课时计划

填写时间 教材版本 第( )课时 共( )课时 上课时间

2014.1.12 人教版 2014.1.16

同步教学知识内容
个性化学习问题解决

教师活动 正弦定理、余弦定理 教学目的: ⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形,解决实际问题 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程: 一、引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的
王新敞
奎屯 新疆

边和角求出未知的边和角 那么斜三角形怎么办?
王新敞
奎屯 新疆

——提出课题:正弦定理、余弦定理 二、讲解新课: 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 教学 过程 即
a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C a b ,sinB= , sinC=1 c c

1.直角三角形中:sinA= 即 c= ∴

a b , c= , sin A sin B

c=

c . sin C

a b c = = sin A sin B sin C

2.斜三角形中 证明一: (等积法)在任意斜△ABC 当中 S△ABC= ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 两边同除以 abc 即得: 证明二: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D a a ∴ ? ? CD ? 2 R sin A sin D
1

1 2

1 2

1 2

1 2

a b c = = sin A sin B sin C

C

a b
A O B D

c

同理

b c =2R, =2R sin B sin C

证明三: (向量法) ???? ? 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由
???? ??? ? ??? ? AC + CB = AB

? ? ??? ? ? ? ???? ??? 两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB

则 j ? AC + j ? CB = j ? AB
???? ??? ? ??? ? ? ? ? ∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A)

∴ a sin C ? c sin A



a c = sin A sin C c b = sin C sin B

??? ? ? 同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得:



a b c = = sin A sin B sin C

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (见图示)已知 a, b 和 A,
王新敞
奎屯 新疆

用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时:
无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

?a ? b 无解 ⑵若 A 为直角或钝角时: ? ?a ? b 一解(锐角)

三、讲解范例:
2

例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 0 , C ? 30 0 , 求a, b和B 解:? c ? 10, A ? 45 0 , C ? 30 0 ∴ B ? 180 0 ? ( A ? C ) ? 105 0 由 由
a c 得 ? sin A sin C
b c 得 ? sin B sin C

a?

c sin A 10 ? sin 45 0 ? ? 10 2 sin C sin 30 0

c sin B 10 ? sin 105 0 6? 2 b? ? ? 20 sin 75 0 ? 20 ? ?5 6 ?5 2 0 sin C 4 sin 30

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 0 , c ? 1, 求a和A, C 解:∵
b c c sin B 1 ? sin 60 0 1 ? ,? sin C ? ? ? sin B sin C b 2 3

? b ? c, B ? 60 0 ,? C ? B, C为锐角, ? C ? 30 0 , B ? 90 0

∴ a ? b2 ? c2 ? 2 例 3 ?ABC中,c ? 6 , A ? 45 0 , a ? 2, 求b和B, C 解:?
a c c sin A ? ,? sin C ? ? sin A sin C a 6 ? sin 45 0 3 ? 2 2

? c sin A ? a ? c,? C ? 60 0 或120 0

?当C ? 60 0 时,B ? 75 0 , b ?

c sin B 6 sin 75 0 ? ? 3 ? 1, sin C sin 60 0 c sin B 6 sin15 0 ? ? 3 ?1 sin C sin 60 0

?当C ? 120 0 时,B ? 15 0 , b ?

? b ? 3 ? 1, B ? 75 0 , C ? 60 0 或 b ? 3 ? 1, B ? 15 0 , C ? 120 0

例 4 已知△ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而 B 的平分线 BD 将△ABC 分成了两个三角形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶AD=BC∶DC, 从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正 弦 定 理 将 所 证 继 续 转 化 为 AB AD BC DC 根据相等角正弦值相等, ,再 ? , ? sin ABD sin ABD sin BDC sin DBC 互补角正弦值也相等即可证明结论 证明:在△ABD 内,利用正弦定理得:
王新敞
奎屯 新疆

3

AB AD AB sin ADB ? 即 ? sin ADB sin ABD AD sin ABD 在△BCD 内,利用正弦定理得:? BC DC BC sin BDC ? ,即 ? . sin BDC sin DBC DC sin DBC ∵BD 是 B 的平分线 ? ∴∠ABD=∠DBC ∴sinABD=sinDBC ? ∵∠ADB+∠BDC=180°? ∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC ? AB sin ADB sin BDC BC ∴ ? ? ? AD sin ABD sin DBC CD AB AD ∴ ? BC DC 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正 弦值相等这一特殊关系式的应用 ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

四、课堂练习:
a b c )? ? ? ? k ,则 k 为( sin A sin B sin C 1 A 2R BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2 2 2 2 2 △ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( )? A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形 D 等腰三角形 3 在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 cos 2 A cos 2 B 1 1 4 在△ABC 中,求证: ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b 参考答案:1 A,2 A ? 3 C a b sin A sin B sin A 2 sin B 2 4 ? ? ) ?( ) ? ?( sin A sin B a b a b

1 在△ABC 中,
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

sin 2 A sin 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B ? ? ? ? 2 2 a b a2 b2

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b 五、小结 正弦定理,两种应用 六、课后作业:

?

1 在△ABC 中,已知
王新敞
奎屯 新疆

sin A sin(A ? B) ? ,求证:a2,b2,c2 成等差数列 sin C sin(B ? C )

王新敞
奎屯

新疆

证明:由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B) ·sin(A-B)? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B ? 2cos2B=cos2A+cos2C 1 ? cos 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 2? ? ? 2 2 2 ∴2sin2B=sin2A+sin2C ? 由正弦定理可得 2b2=a2+c2
4

即 a2,b2,c2 成等差数列 ?
王新敞
奎屯 新疆

课 题:正弦定理、余弦定理(2) 教学目的: 1.掌握正弦定理、余弦定理; 2.使学生能初步运用它们解斜三角形,并会解决斜三角形的计算问题 教学重点:正弦定理、余弦定理的运用 教学难点:正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、复习引入: 1 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,
王新敞
奎屯 新疆


王新敞
奎屯 新疆

a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (见图示)已知 a, b 和 A,
王新敞
奎屯 新疆

用正弦定理求 B 时的各种情况:
无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ⑴若 A 为锐角时: ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

?a ? b 无解 ⑵若 A 为直角或钝角时: ? ?a ? b 一解(锐角)

3.在 Rt△ABC 中(若 C=90?)有: c 2 ? a 2 ? b 2 其夹角还有什么关系呢?

在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及

5

二、讲解新课: 1.余弦定理 :三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍
王新敞
奎屯 新疆



a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca

a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC ? cos C ? 2ab
2 2 2

[问题] 对于任意一个三角形来说,是否可以根据一个角和夹此角的两边,求出此角的对边? [推导] 如图在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b ??? ? ??? ? ??? ? ∵ AC ? AB ? BC C
王新敞
奎屯 新疆

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AC ? AC ? ( AB ? BC ) ? ( AB ? BC ) ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AB ? 2 AB ? BC ? BC
??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AB ? 2 | AB | ? | BC | cos(180? ? B) ? BC

b A c

a B

? c 2 ? 2ac cos B ? a 2

即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B 同理可证 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
王新敞
奎屯 新疆

三、讲解范例: 例 1 在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C 解:∵
cos A ? b2 ? c2 ? a2 =0 725, 2bc
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆



A≈44°



a2 ? b2 ? c2 cos C ? =0 8071, 2ab
王新敞
奎屯 新疆



C≈36°,

∴ B=180°-(A+C)≈100° c sin A (∵sinC= ≈0 5954,∴ C ≈ 36°或 144°(舍) ) a
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

6

例 2 在Δ ABC 中,已知 a=2 730,b=3 696,C=82°28′,解这个三角形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

解:由 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ,得 c≈4 297
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

∵ ∴

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ≈0 7767, ∴ 2bc
王新敞
奎屯 新疆

A≈39°2′,

B=180°-(A+C)=58°30′ a sin C (∵sinA= ≈0 6299,∴ A=39°或 141°(舍) ) c 例 3 Δ ABC 三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求 A
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

解法一:∵ |AB| = [6 ? (?2)] 2 ? (5 ? 8) 2 ? 73 |BC| = (?2 ? 4) 2 ? (8 ? 1) 2 ? 85 |AC| = (6 ? 4) ? (5 ? 1) ? 2 5
2 2

B

8

7

6

5

A

4

3

2

1

cos A ?

AB ? AC ? BC 2 AB ? AC
王新敞
奎屯 新疆

2

2

2

=

2 365

C
2 4 6 8

-4

-2

∴ A≈84° ???? ??? ? 解法二:∵ AB =(–8,3), AC =(–2,–4)

王新敞
奎屯

新疆

??? ? ???? AB ? AC (?8) ? (?2) ? 3 ? (?4) 2 ∴ cosA= = ,∴ A≈84° ? AB ? AC 73 ? 2 5 365

王新敞
奎屯

新疆

? 例 4 设 a =(x1, y1)

? b =(x2, y2)

? ? , a 与 b 的夹角为? (0≤?≤?)

? ? 求证:x1x2+ y1y2=| a || b |cos? ? ? 证明:如图,设 a , b 起点在原点,终点为 A,
则 A=(x1, y1) B=(x2, y2)
? ? AB = b ? a

B

在△ABC 中,由余弦定理 ? ? ? ? ? ? | b ? a |2=| a |2+| b |2?2| a || b | cos?
? ? ∵| b ? a |2=| AB |2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2

? | a |2=x12+y12

? ,| b |2= x22+y22

? ? ∴(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y22?2| a || b | cos? ? ? ∴x1x2+ y1y2=| a || b |cos? ? ? ? ? 即有 a ? b = x1x2+ y1y2=| a || b |cos?
7

四、课堂练习: 1 在△ABC 中,bCosA=acosB,则三角形为( )? A 直角三角形 B 锐角三角形? C 等腰三角形? D 等边三角形 2 在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则△ABC 为;若 a2=b2+c2,则△ABC 为 且 b2<a2+c2 且 c2<a2+b2,则△ABC 为 3 在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 ? sin C 2 4 在△ABC 中,BC=3,AB=2,且 ? ? ( 6 ? 1) ,A= sin B 5 参考答案: 1 C 2 钝角三角形,直角三角形,锐角三角形? 3 等腰三角形 4 120°? 五、小结 余弦定理及其应用 六、课后作业: 1 在△ABC 中,证明下列各式: (1) (a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0 cos 2 A cos 2 B 1 1 (2) ? ? 2 ? 2. 2 2 a b a b sin A sin B 证明:(1)左边=(a2-b2-c2) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) cos A cos B a 2bc b 2ac ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ? 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ? 2 2 2 2R b ? c ? a 2R a ? c 2 ? b 2 2abc ? ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? ? 2 ? ? 2R ? b 2 ? c 2 ? a 2 a ? c2 ? b2 ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

;若 a2<b2+c2

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

?

abc (?1 ? 1) ? 0 ? 右边 R
王新敞
奎屯 新疆

故原命题得证
(2)左边 ?

1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B ? a2 b2 1 1 2 sin 2 A 2 sin 2 B ?( 2 ? 2)? ? a b (2 R ) 2 sin 2 A (2 R ) 2 sin 2 B 1 1 2 2 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 右边 2 2 a b (2 R) (2 R) a b
王新敞
奎屯 新疆

故原命题得证 ?
A ,试判断此三角形的类型 ? 2 1 ? cos A A 解:∵sinB·sinC=cos2 , ∴sinB·sinC= 2 2 ∴2sinB·sinC=1+cos[180°-(B+C) ] 将 cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC 代入上式得? cosBcosC+sinBsinC=1, ∴cos(B-C)=1 ? 又 0<B,C<π ,∴-π <B-C<π ?∴B-C=0 ∴B=C 故此三角形是等腰三角形 3 在△ABC 中,bcosA=acosB 试判断三角形的形状 解法一:利用余弦定理将角化为边

2 在△ABC 中,已知 sinB·sinC=cos2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

∵bcosA=acosB ?,∴b·

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? a? 2bc 2ac
8

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2 ?,∴a2=b2 ?,∴a=b,故此三角形是等腰三角形 ? 解法二:利用正弦定理将边转化为角 ?∵bcosA=acosB ? 又 b=2RsinB,a=2RsinA ?,∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ? ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ?∴sin(A-B)=0 ? ∵0<A,B<π ,∴-π <A-B<π ?,∴A-B=0 即 A=B ? 故此三角形是等腰三角形 ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

课 题:正弦定理、余弦定理(3) 教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容;? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学方法:启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型 与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余 弦值互为相反数等;? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角 互换作用 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、复习引入: a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C
b2 ? c2 ? a2 余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A, ? cos A ? 2bc
2 2 2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC , ? cos C ?

二、讲授新课: 1 正余弦定理的边角互换功能? 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它 其实,在涉及 到三角形的其他问题中,也常会用到它们 两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把 边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决 ? sin A 2 A? B 例 1 已知 a、b 为△ABC 的边,A、B 分别是 a、b 的对角,且 的值 ? ,求 sin B 3 B a b sin A a sin A 3 解:∵ ? ,? ? ,又 ? (这是角的关系), sin A sin B sin B b sin B 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

9



a 3 a ?b 3? 2 5 (这是边的关系) 于是,由合比定理得 ? ? ? . b 2 b 2 2
王新敞
奎屯 新疆

例 2 已知△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差数列 求证:sinA+sinC=2sinB 证明:∵a、b、c 成等差数列, ∴a+c=2b(这是边的关系)①? a b c b sin A 又 ② ? ? ,? a ? sin A sin B sin C sin B b sin C ③ c? sin B b sin A b sin C 将②、③代入①,得 ? ? 2b 整理得 sinA+sinC=2sinB(这是角的关系) sin B sin B 2 正、余弦定理的巧用? 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使 问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

例 3 求 sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°的值

王新敞
奎屯

新疆

解:原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150° ∵20°+10°+150°=180°,? ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 ? 设这三个内角所对的边依次是 a、b、c,由余弦定理得:a2+b2-2abcos150°=c2(※)? 而由正弦定理知:a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代入(※)式得: 1 sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°= 4 1 ∴原式= 4
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

例 4 在△ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三角形的三边长 ( sin 2? ? 2 sin? cos? )? 分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系 其中 可继续利用余弦定理建立关于边长的 sin 2? ? 2 sin? cos? 利用正弦二倍角展开后出现了 cosα , 方程,从而达到求边长的目的 ? 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N*,又设最小角为α ,则? x x?2 x?2 x?2 ,? cos? ? ① ? ? sin ? sin 2? 2 sin ? ? cos? 2x 又由余弦定理可得x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1) (x+2)cosα ? 2 将①代入②整理得:x -3x-4=0 ? 解之得x1=4,x2=-1(舍)? 所以此三角形三边长为 4,5,6 ? 评述: 此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

例 5 已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm2,周长为 20cm,求此三角形的各边长

王新敞
奎屯

新疆

分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是 都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未
10

知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知 60°角的余弦,其二可用面 1 积公式S△ABC= absinC 表示面积,其三是周长条件应用 ? 2 解:设三角形的三边长分别为 a、b、c,B=60°,则依题意得
王新敞
奎屯 新疆

? a2 ? c2 ? b2 ?cos 60 ? ? 2ac ?a ? b ? c ? 20 ? ?1 ? 2 2 2 ? ? ac sin 60 ? ? 10 3 ? ?b ? a ? c ? ac ?2 ?ac ? 40 ? ?a ? b ? c ? 20 ? ?

① ② ③

由①式得:b2=[20-(a+c) ]2=400+a2+c2+2ac-40(a+c) 将②代入④得 400+3ac-40(a+c)=0 ? 再将③代入得 a+c=13 ?
?a1 ? 5 ?a 2 ? 8 ?a ? c ? 13 解得? 或? 由? ?ac ? 40 ?c1 ? 8 ?c 2 ? 5

④?

∴b1=7,b2=7 ?
王新敞
奎屯 新疆

所以,此三角形三边长分别为 5cm,7cm,8cm ? 评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形 式的面积公式的应用 ? (2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路,以提 高自己的解方程及运算能力 ? 三、课堂练习:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

1 在△ABC 中,已知 B=30°,b=50 3 ,c=150,那么这个三角形是(
王新敞
奎屯 新疆

)

A 等边三角形? B 直角三角形? C 等腰三角形? D 等腰三角形或直角三角形 2 在△ABC 中,若 b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为( )? A 直角三角形? B 等腰三角形? C 等边三角形? D 等腰直角三角形 3 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则 secA= ? tan A sin A 4 △ABC 中, ,则三角形为 ? ? tan B sin B 5 在△ABC 中,角 A、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ABC 是
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

6 已知△ABC 中,
王新敞
奎屯 新疆

a2 ? b2 ? c2 ? c 2且a cos B ? b cos A ,试判断△ABC 的形状 a?b?c
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

7 在△ABC 中, (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ABC 的形状 ??? 参考答案:1 D 2 A 3 8 4 等腰三角形? 5 钝角三角形 6 等边三角形 7 等腰三角形或直角三角形? 四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三 角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五、课后作业:?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

1 在△ABC 中,已知
王新敞
奎屯 新疆

sin A sin(A ? B) ? ,求证:a2,b2,c2 成等差数列 sin C sin(B ? C )

王新敞
奎屯

新疆

证明:由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B) ·sin(A-B)? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B ? ? 2cos2B=cos2A+cos2C

11

1 ? cos 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B ∴2sin2B=sin2A+sin2C ? ? ? 2 2 2 由正弦定理可得 2b2=a2+c2, 即 a2,b2,c2 成等差数列 ? 2?
王新敞
奎屯 新疆

2 在△ABC 中,A=30°,cosB=2sinB- 3 sinC
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B=C=75°)? (2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与 AC 的交点,且 AB=2,求 AD∶DC 的值 答案: (1)略 (2)1∶ 3

王新敞
奎屯

新疆

课 题:正弦定理、余弦定理(4) 教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容;? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型 与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余 弦值互为相反数等;? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角 互换作用 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、复习引入: a b c 正弦定理: ? ? ? 2R sin A sin B sin C 余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ?
b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ?

a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC , ? cos C ? 2ab
2 2 2

二、讲解范例: 例 1 在任一△ABC 中求证:
a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

12

证:左边= 2R sin A(sin B ? sin C) ? 2R sin B(sin C ? sin A) ? 2R sin C(sin A ? sin B) = 2R[sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B] =0=右边

例 2 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c
a sin B 3 sin 45 ? 3 ? ? 解一:由正弦定理得: sin A ? b 2 2

∵B=45?<90? 即 b<a 当 A=60?时 C=75?
c? b sin C ? sin B

∴A=60?或 120?
2 sin 75 ? ? sin 45 ? 6? 2 2 6? 2 2

当 A=120?时 C=15?

c?

b sin C 2 sin 15 ? ? ? sin B sin 45 ?

解二:设 c=x 由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 将已知条件代入,整理: x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 解之: x ?
6? 2 2

当c ?

6? 2 时 2

b2 ? c2 ? a2 cos A ? ? 2bc

2?(

6? 2 2 ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

从而 A=60? ,C=75? 当c ?
6? 2 时同理可求得:A=120? ,C=15? 2

例 3 在△ABC 中,BC=a, AC=b, 2cos(A+B)=1 求(1)角 C 的度数

a, b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且

(3)△ABC 的面积 1 解: (1)cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? ∴C=120? 2
?a ? b ? 2 3 (2)由题设: ? ? a?b ? 2
13

(2)AB 的长度

∴AB2=AC2+BC2?2AC?BC?osC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120 ?
? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? ab ? (2 3 ) 2 ? 2 ? 10
1 1 1 3 3 ? (3)S△ABC= ab sin C ? ab sin120 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2

即 AB= 10

例4

如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长

解:在△ABD 中,设 BD=x 则 BA2 ? BD 2 ? AD 2 ? 2BD ? AD ? cos?BDA 即 14 2 ? x 2 ? 10 2 ? 2 ? 10 x ? cos60 ? 整理得: x 2 ? 10 x ? 96 ? 0 解之: x1 ? 16 由余弦定理: BC BD ? sin ?CDB sin ?BCD 例5
x 2 ? ?6 (舍去)

∴ BC ?

16 ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin135

△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1?求最大角 ;
王新敞
奎屯 新疆

2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积 解:1?设三边 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1 ∵C 为钝角 ∵k ? N?
k ? N?且k ?1

a2 ? b2 ? c2 k ?4 ? ? 0 解得 1 ? k ? 4 ∴ cos C ? 2ac 2(k ? 1)

∴k ? 2或 3

但 k ? 2 时不能构成三角形应舍去

1 当 k ? 3 时 a ? 2, b ? 3, c ? 4, cosC ? ? , C ? 109 ? 4

2?设夹 C 角的两边为 x, y S ? xy sin C ? x(4 ? x) ? 当 x ? 2 时 S 最大= 15

x? y ?4

15 15 ? ? (? x 2 ? 4 x) 4 4

例 6 在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长 分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为x后,建立关于x的方程 而正弦 定理涉及到两个角,故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为 D 为 BC 中 x 点,所以 BD、DC 可表示为 ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 ? 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

14

解:设 BC 边为x,则由 D 为 BC 中点,可得 BD=DC=

x , 2

AD 2 ? BD 2 ? AB 2 在△ADB 中,cosADB= ? 2 ? AD ? BD

x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 2 , x 2? 4? 2

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 在△ADC 中,cosADC= ? 2 ? AD ? DC

x 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 . x 2? 4? 2
王新敞
奎屯 新疆

又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC ? x x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 2 ∴ ?? x x 2? 4? 2? 4? 2 2 解得,x=2 ?, 所以,BC 边长为 2 评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这 一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型 ? 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下: AB BD 5 由三角形内角平分线性质可得 ? ? ,设 BD=5k,DC=3k,则由互补角∠ADC、 AC DC 3 ∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同角平方关 系求出 sinA
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

三、课堂练习: 1 半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25,求此三角形三边长的乘积 ? 1 解:设△ABC 三边为 a,b,c 则S△ABC= ac sin B 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆



S ?ABC ac sin B sin B ? ? abc 2abc 2b b ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径 sin B S ?ABC 1 , ∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1 ? abc 4R
王新敞
奎屯 新疆





所以三角形三边长的乘积为 1 ? 评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理: a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式S△ABC sin A sin B sin C 1 = ac sin B 发生联系,对 abc 进行整体求解 2
王新敞
奎屯 新疆

15

2 在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求
王新敞
奎屯 新疆

AB ?
王新敞
奎屯 新疆

解:在△ADC 中, cosC=
AC 2 ? DC 2 ? AD 2 7 2 ? 32 ? 5 2 11 ? ? , 2 ? AC ? DC 2?7?3 14
5 3 14

又 0<C<180°,∴sinC= 在△ABC 中,
AC AB ? sin B sin C

∴AB=

sin C 5 3 5 6 AC ? ? 2 ?7 ? . sin B 14 2

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦定 理的综合运用 3 5 3 在△ABC 中,已知 cosA= ,sinB= ,求 cosC 的值 ? 5 13
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

2 3 解:∵cosA= < =cos45°,0<A<π 2 5

∴45°<A<90°, ∴sinA= ∵sinB=

4 5

5 1 < =sin30°,0<B<π 13 2 ∴0°<B<30°或 150°<B<180° 若 B>150°,则 B+A>180°与题意不符 ? 12 ∴0°<B<30° cosB= 13
王新敞
奎屯 新疆

3 12 4 5 16 ∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB= ? ? ? ? 5 13 5 13 65 又 C=180°-(A+B) ? 16 ∴cosC=cos[180°-(A+B) ]=-cos(A+B)=- 65 评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体确 定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的三角 函数值进行比较 ? 四、小结 通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了 正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提 高三角形问题的求解能力 五、课后作业: 六、课后记及备用资料: 1 正、余弦定理的综合运用? 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得: sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,下面举例说明之 ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

16

[例 1]在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3 sinAsinC,求 B 的度数 解:由定理得 sin2B=sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB,? ∴-2sinAsinCcosB= 3 sinAsinC ∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ =-
3 2

王新敞
奎屯

新疆

∴B=150°
王新敞
奎屯 新疆

[例 2]求 sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值 解:原式=sin210°+sin250°+sin10°sin50° 在 sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA 中,令 B=10°,C=50°, 则 A=120° sin2120°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°
王新敞
奎屯 新疆

=sin210°+sin250°+sin10°sin50°=(

3 2 3 )= 2 4

王新敞
奎屯

新疆

[例 3]在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状 ? 解:在原等式两边同乘以 sinA 得:2cosBsinAsinC=sin2A, 由定理得 sin2A+sin2C-sin2Β =sin2A, ∴sin2C=sin2B ?∴B=C 故△ABC 是等腰三角形 ? 2 一题多证? [例 4]在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形 ? 证法一:欲证△ABC 为等腰三角形 可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使 b sin A 只剩含角的三角函数 由正弦定理得 a= sin B b sin A ∴2bcosC= ,即 2cosC·sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC sin B ∴sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0,?∴B-C=nπ (n∈Z) ? ∵B、C 是三角形的内角,?∴B=C,即三角形为等腰三角形 ? 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB, b cos B 又∵a=2bcosC ?∴2bcosC=bcosC+ccosB ?∴bcosC=ccosB,即 ? . c cos C b sin B sin B cos B 又∵ ? .∴ ? , 即 tanB=tanC c sin C sin C cosC ∵B、C 在△ABC 中,?∴B=C ?∴△ABC 为等腰三角形 ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

证法三:∵cosC=
王新敞
奎屯 新疆

a2 ? b2 ? c2 a a2 ? b2 ? c2 a 及 cosC ? ,∴ ? , 2ba 2b 2ab 2b

化简后得 b2=c2 ?∴b=c

∴△ABC 是等腰三角形 ?
王新敞
奎屯 新疆

17

课后作业: 解三角形§1.1.1 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于……………………....( A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120° 2.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为…………..( A.9 B.18 C.9 3 D.18 3 ) )

3.已知△ABC 中,a∶b∶c=1∶ 3 ∶2,则 A∶B∶C 等于………………………..( ) A.1∶2∶3 B.2∶3∶1 C.1∶3∶2 D.3∶1∶2 4.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k(k≠0),则 k 的取值范围为…..( 1 1 A.(2,+∞) ] B.(-∞,0) C.(- 2 ,0) D.( 2 ,+∞) 5. 在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是………………………..( ) A.b=7,c=3,C=30° C.a=6,b=6 3 ,B=60° B.b=5,c=4 2 ,B=45° D.a=20,b=30,A=30° a?b?c * 6.在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 等于….( sin A ? sin B ? sin C 2 39 8 3 39 A.3 3 B. 3 C. 3 D. 2 二、填空题 7.在△ABC 中,若∠B=30°,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积是________. 8.设△ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠C=45°,则 R=________. 3 9.已知△ABC 的面积为 2 ,且 b=2,c= 3 ,则∠A=________.

)

)

10*.若三角形中有一个角为 60°,夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5,则它的内切圆半径 等于________,外接圆半径等于________. 三、解答题 11.在△ABC 中,∠C=60°,BC=a,AC=b,a+b=16. (1)试写出△ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式.

18

(2)当 a 等于多少时,S 有最大值?并求出这个最大值.

12.在△ABC 中,已知 a2-a=2(b+c),a+2b=2c-3,若 sinC∶sinA=4∶ 13 ,求 a,b,c.

A? B tan a?b 2 ? a ? b tan A ? B 2 . 13.在△ABC 中,求证

14*.在一个三角形中,若有一个内角不小于 120°,求证:最长边与最短边之比不小于 3 .

19

20


赞助商链接
相关文章:
解三角形的教学设计 高三公开课
解三角形教学设计 高三公开课 - 《解三角形教学设计 高三数学组 一、教材分析: 解三角形是高考考察的重点考察内容,由近几年高考可以看出,解三角形 是高考...
高中数学高考二轮复习解三角形教案
高中数学高考二轮复习解三角形教案_高考_高中教育_教育专区。高中数学高考二轮复习教案(全国专用) 突破点 2 解三角形 提炼 1 常见解三角形的题型及解法 (1)已知...
解三角形教案
解三角形教案 - 解三角形 2014.11 教学目标: 1、灵活运用直角三角形两个锐角互余,勾股定理,锐角三角函数解三角形. 2、通过综合运用直角三角形两个锐角互余,...
正余弦定理解三角形教案
正余弦定理解三角形教案 - 1.正、余弦定理解三角形. 2.正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积. 3.正余弦定理的实际应用(灵活运用)
解三角形全章教案(整理)
解三角形全章教案(整理) - 数学 5 第一章 解三角形 第 1 课时 课题: § 1.1.1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索...
解三角形教案
解三角形教案 - 高一数学必修 5 第一章解三角形教学设计 三明九中 (一)课标要求 本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实...
解三角形教学设计
解三角形教学设计 - 《解三角形中的最值问题的教案设计》 三原县北城中学赵小红 一、教学目标 知识目标: 1、能利用正弦定理来解决三角形; 2、通过具体例子使...
解三角形教学设计
解三角形教学设计 - 《 解三角形》高三文科数学第一轮复习课的教学设计 考纲要求;1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题; 2 、能够运用...
解三角形 小结教案
解三角形 小结教案 - 第一章 章末复习课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1.三角形解的个数的确定(易错点) 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形...
解三角形教学设计
解三角形教学设计 - 解三角形的应用 ◎ 教学设计 陈燕 一、学情分析: 1. 2. 3. 学习《解三角形的应用》之前,已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法,...
更多相关标签: